高中数学必修五北师大版-数列的概念-课件.ppt
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1、1.1.了解数列、通项公式的概念,能根据通项公式确定数列了解数列、通项公式的概念,能根据通项公式确定数列的某一项的某一项.(.(重点重点)2.2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(.(难点难点)aan n 与与a an n有何区别?有何区别?提示:提示:数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号,如表示项的位置序号,如a an n表示这个数列的第表示这个数列的第n n项项.a.an n 与与a an n是不是不同的:同的:aan n 表示数列表示数列a a1 1,a a2 2,a
2、 a3 3,a an n,;这里;这里aan n 是数是数列的简记符号,并不表示一个集合列的简记符号,并不表示一个集合.数列与函数的关系数列与函数的关系数列数列 函数函数数列的通项公式就是相应函数的解析式,它揭示了数列数列的通项公式就是相应函数的解析式,它揭示了数列aan n 中第中第n n项项a an n与与n n之间的函数关系,一般用式子之间的函数关系,一般用式子a an n=f(n)=f(n)表示表示.N 推广,自变量任意化自变量特殊化,定义域为或它的有限子集数列的有关概念数列的有关概念 数列的项与项数的区别数列的项与项数的区别数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数数列的项是
3、指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于值,也就是相当于f(n)f(n);而项数是指这个数在数列中的位;而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于置序号,它是自变量的值,相当于f(n)f(n)中的中的n.n.数列是按一定数列是按一定“次序次序”排成的一列数,一个排成的一列数,一个数列不仅与组成数列的数列不仅与组成数列的“数数”有关,而且与这些数的排列有关,而且与这些数的排列顺序有关顺序有关.因此,如果组成数列的数相同而排列次序不同,因此,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列那么它们就是不同的数列.【例例1 1】下列说法哪些是正确的下列说法哪
4、些是正确的?哪些是错误的哪些是错误的?并说明理由并说明理由.(1)0,1,2,3,4(1)0,1,2,3,4是有穷数列是有穷数列;(2)(2)所有自然数能构成数列所有自然数能构成数列;(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为是一个项数为8 8的数列的数列;(4)(4)数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,,2n2n是无穷数列是无穷数列.【审题指导审题指导】解决本题的关键是正确掌握数列的有关概念和特解决本题的关键是正确掌握数列的有关概念和特点,逐项的分析判断正误点,逐项的分析判断正误.【规范解答规范解答】(1)1)错误错误.0,1,2,3
5、,4.0,1,2,3,4是集合是集合,不是数列不是数列.(2)(2)正确正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列如将所有自然数按从小到大的顺序排列.(3)(3)错误错误.当当x,yx,y代表数时为项数为代表数时为项数为8 8的数列的数列;当当x,yx,y中有一个不代中有一个不代表数时表数时,便不是数列便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的次这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成的序排列所组成的.(4)(4)错误错误.数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,2n,2n,共有共有2n2n项项,是有穷数列是有穷数列.【变式训练变式训练】下列说法中,正确的是下列说法中,正确的是()(
6、)(A)(A)数列数列1,3,5,71,3,5,7可表示为可表示为1,3,5,71,3,5,7(B)(B)数列数列1,01,0,1 1,2 2与数列与数列2 2,1,0,11,0,1是相同数列是相同数列(C)(C)数列数列 的第的第k k项为项为1+1+(D)(D)数列数列0,2,4,6,80,2,4,6,8,可记作可记作2n2n【解析解析】选选C.C.解此题需对数列与集合的含义理解透彻,解此题需对数列与集合的含义理解透彻,A A项中项中1,3,5,71,3,5,7表示的是集合而不是数列,表示的是集合而不是数列,B B项中数列中的各元素项中数列中的各元素是有顺序的,所以是不同数列,是有顺序的,
7、所以是不同数列,D D项中的项中的2n2n并不能把前边的并不能把前边的数列体现出来数列体现出来.n1n1k 【误区警示误区警示】解决这类问题最容易出现的问题是对解决这类问题最容易出现的问题是对概念把握不准,似是而非,如选项概念把握不准,似是而非,如选项A A很多同学误选,所很多同学误选,所以解决这类问题需要扣住定义解决以解决这类问题需要扣住定义解决.探求数列的通项公式探求数列的通项公式 通项公式写法技巧通项公式写法技巧已知数列的前几项,写出数列的一个通项公式,是一种常已知数列的前几项,写出数列的一个通项公式,是一种常见的数列问题见的数列问题.解决这一问题时要注意以下几点:解决这一问题时要注意以
8、下几点:(1)(1)通过观察、分析、联想、比较,去发现项与序号之间的通过观察、分析、联想、比较,去发现项与序号之间的关系;关系;(2)(2)如果关系不明显,可将之同时加上或减去一个数,或分如果关系不明显,可将之同时加上或减去一个数,或分解、还原等,将规律呈现出来,便于找通项公式;解、还原等,将规律呈现出来,便于找通项公式;(3)(3)要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等;的平方数列、奇数列、偶数列等;(4)(4)符号用符号用(1)1)n n或或(1)1)n n1 1来调整;来调整;(5)(5)分式的分子、分母分
9、别找通项,同时,还要充分借助分式的分子、分母分别找通项,同时,还要充分借助分子、分母的关系分子、分母的关系.同一个数列的通项公式不一定是唯一的,如数同一个数列的通项公式不一定是唯一的,如数列列1 1,1 1,1,11,1,的通项公式可以写成的通项公式可以写成a an n(1)1)n n(nNnN+),也可以写成),也可以写成a an nsin(nNsin(nN)等等.2n1)2【例例2 2】已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式:式:(1)1,3,7,15,31(1)1,3,7,15,31,;(2)5,55,555,5 555(2)5,55,55
10、5,5 555,;(3)(3);(4)(4);(5)1,2,1,2,1,2(5)1,2,1,2,1,2,.1234513579,49162536,4 14 242,5 211 717,【审题指导审题指导】解决本题有三步,一是观察数列中各项的特点,解决本题有三步,一是观察数列中各项的特点,二是寻找项与序号之间的关系,三是根据以上两点写出一个合二是寻找项与序号之间的关系,三是根据以上两点写出一个合适的能够代表各项的通项公式适的能够代表各项的通项公式.【规范解答规范解答】(1)1)注意观察,发现各项分别加上注意观察,发现各项分别加上1 1,变为,变为2,4,8,2,4,8,16,3216,32,其通
11、项公式为,其通项公式为2 2n n,故原数列的一个通项公式为,故原数列的一个通项公式为a an n2 2n n1.1.(2)(2)各项乘各项乘 ,变为,变为9,99,9999,99,999,9 9999 999,各项加上,各项加上1 1,又,又变为变为10,100,1 00010,100,1 000,10 00010 000,而这一数列的通项公式为,而这一数列的通项公式为1010n n,可得原数列的一个通项公式为,可得原数列的一个通项公式为a an n (10(10n n1).1).5995(3)(3)观察所给数列的各项有这样几个特点:符号正负交替;观察所给数列的各项有这样几个特点:符号正负交
12、替;整数部分构成奇数数列;分母为从整数部分构成奇数数列;分母为从2 2开始的自然数的平开始的自然数的平方;分子构成自然数数列方;分子构成自然数数列.综合这些特点,写出表达式再综合这些特点,写出表达式再化简即可化简即可.由所给的几项可得由所给的几项可得a an n(1)1)n n(2n(2n1)1),所以所以a an n(1)1)n n .2nn13222n3nn1n1(4)(4)数列的符号规律是数列的符号规律是(1)1)n n1 1,使各项分子为,使各项分子为4 4,变,变为为 ,再把各分母分别加,再把各分母分别加1 1,又变,又变为为 ,所以数列的一个通项公式是,所以数列的一个通项公式是a
13、an n .(5)(5)根据各项的特点,是隔项相等,所以可以写成分段根据各项的特点,是隔项相等,所以可以写成分段函数形式:函数形式:a an n44 4425 811,44 4436 912,n 1413n1 12(为奇数)(为偶数)【互动探究互动探究】本例中的第本例中的第(5)(5)个数列还有其他的通项公式吗?个数列还有其他的通项公式吗?【解析解析】可看成两个数列的合成:可看成两个数列的合成:1,1,1,11,1,1,1,与与0,1,0,10,1,0,1,所以,所以a an n1 1 ,即,即a an n .n112 n312【变式训练变式训练】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通根据数
14、列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式项公式.(1)-1(1)-1,7 7,-13-13,1919,;(2)(2),2 2,8 8,;(3)(3);(4)0,3,8,15,24(4)0,3,8,15,24,;(5)1(5)1,.1292252123412342345,1317113121【解析解析】(1)(1)符号问题可通过符号问题可通过(-1)(-1)n n或或(-1)(-1)n+1n+1表示,其各项的绝对表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值比前面的数的绝对值大值的排列规律为:后面的数的绝对值比前面的数的绝对值大6 6,故通项公式为故通项公式为a an n=(-1)=(-1)
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