高中数学人教A版必修一-131-函数的最大值、最小值2-课件.ppt
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1、第2课时 函数的最大值、最小值函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值1.1.最大值最大值对于定义域为对于定义域为I I的函数的函数f(xf(x),条件:,条件:f(x)f(x)M Mf(xf(x0 0)=M)=M结论:结论:M M是定义域为是定义域为I I的函数的函数f(xf(x)的最大值的最大值.几何意义:函数几何意义:函数y=f(xy=f(x)图象上最图象上最_点的点的_._.思考:思考:函数函数f(xf(x)=-x)=-x2 211总成立吗?总成立吗?f(xf(x)的最大值是的最大值是1 1吗吗?提示提示:f(xf(x)=-x)=-x2 211总成立,但是不存在总成立,但是不存在x x
2、0 0使使f(xf(x0 0)=1)=1,所以,所以f(xf(x)的最大值不是的最大值不是1 1,而是,而是0.0.高高纵坐标纵坐标2.2.最小值最小值对于定义域为对于定义域为I I的函数的函数f(xf(x),条件:,条件:结论:结论:M M是函数是函数f(xf(x)在在I I上的最小值上的最小值.几何意义:几何意义:函数函数y=f(xy=f(x)图象上最图象上最_点的点的_._.f(x)f(x)M Mf(xf(x0 0)=M)=M低低纵坐标纵坐标判断:判断:(正确的打正确的打“”,错误的打,错误的打“”)”)(1)(1)函数函数f(xf(x)=x)=x的最小值是的最小值是-.()-.()(2
3、)(2)函数函数f(xf(x)=-x)=-x2 2在在1,31,3上的最小值是上的最小值是-1.()-1.()(3)(3)函数函数f(xf(x)=2x)=2x在区间在区间1,3)1,3)上的最小值是上的最小值是-2-2,无最大,无最大值值.().()提示:提示:(1)(1)错误错误.函数函数f(xf(x)=x)=x在在(,+),+)上无最大值和最小上无最大值和最小值值.(2)(2)错误错误.当当x=3x=3时函数时函数f(xf(x)=-x)=-x2 2在在1,31,3上取得最小值上取得最小值-9.-9.(3)(3)正确正确.由于函数由于函数f(xf(x)=2x)=2x在区间在区间1,3)1,3
4、)上是增函数,故当上是增函数,故当x=-1x=-1时函数取得最小值时函数取得最小值-2-2,函数无最大值,函数无最大值.答案:答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知识点拨【知识点拨】1.1.最大值、最小值定义的理解最大值、最小值定义的理解(1)(1)最大最大(小小)值定义中具备的两个条件值定义中具备的两个条件对于定义域内全部元素对于定义域内全部元素,都有都有f(x)M(f(x)Mf(x)M(f(x)M)成立成立;M M首先是一个函数值首先是一个函数值,它是值域的一个元素它是值域的一个元素,如如f(xf(x)=-x)=-x2 2的最的最大值是大值是0,0,有有f(0)=0,f(0)=0,
5、注意定义中注意定义中“存在存在”一词的理解一词的理解.(2)(2)两条件缺一不可两条件缺一不可,若只有前者若只有前者,M,M不是最大不是最大(小小)值值,如如f(xf(x)=-x)=-x2 211总成立总成立,但但1 1不是最大值不是最大值,更不能只有后者更不能只有后者,那样就那样就丢掉了最大值的核心了丢掉了最大值的核心了.2.2.求最大值、最小值时的三个关注点求最大值、最小值时的三个关注点(1)(1)利用图象写出最值时要写最高利用图象写出最值时要写最高(低低)点的纵坐标点的纵坐标,而不是横而不是横坐标坐标.(2)(2)单调性法求最值勿忘求定义域单调性法求最值勿忘求定义域.(3)(3)单调性法
6、求最值单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意求解时一定要注意.3.3.辨析函数的最值和值域辨析函数的最值和值域(1)(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域个定义域.(2)(2)函数的值域一定存在,而函数的最大函数的值域一定存在,而函数的最大(小小)值不一定存在值不一定存在.(3)(3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.例如,函数例如,函数f
7、(xf(x)=-x)=-x2 2对任意的对任意的xRxR,都有,都有f(x)1,f(x)1,但是但是f(xf(x)的最大值不的最大值不是是1 1,因为,因为1 1不在不在f(xf(x)的值域内的值域内.类型类型 一一 图象法求函数最值图象法求函数最值(值域值域)【典型例题【典型例题】1.1.函数函数y=f(xy=f(x),xx4,74,7的图象如图,则其最大值、最的图象如图,则其最大值、最小值为小值为()()A.3A.3,2 B.32 B.3,-2-2C.3C.3,0 D.20 D.2,-2-22.2.写出函数写出函数f(xf(x)=|x+1|+|2)=|x+1|+|2x|x|,x(x(,3,
8、3的单调区间和的单调区间和最值最值.【解题探究【解题探究】1.1.利用图象法求函数的最值时应写最高利用图象法求函数的最值时应写最高(低低)点的点的纵坐标纵坐标,还是横坐标?还是横坐标?2.2.题题2 2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解?中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解?探究提示:探究提示:1.1.利用图象写出最值时要写最高利用图象写出最值时要写最高(低低)点的纵坐标点的纵坐标,而不是横坐标而不是横坐标.2.2.应先作图象,找出单调区间,最后确定最值应先作图象,找出单调区间,最后确定最值.【解析【解析】1.1.选选B.B.观察图象知,图象的最高点观察图象知,图象的最高
9、点(3(3,3)3),最低点,最低点(-1.5(-1.5,-2)-2),所以其最大值、最小值分别为,所以其最大值、最小值分别为3 3,-2.-2.2.2.其图象如下:其图象如下:由图象得单调递减区间为由图象得单调递减区间为(-,-1(-,-1,单调递增区间为,单调递增区间为2,32,3,有最小值有最小值3 3,无最大值,无最大值.1 2x,x(,1f x3,x(1,22x 1,x(2,3,【互动探究【互动探究】把题把题2 2中的问题改为求中的问题改为求f(x)5f(x)5的的x x的取值范围的取值范围.【解析【解析】结合题结合题2 2图象,令图象,令g(xg(x)=5,)=5,则则x x的范围
10、为的范围为x-2x-2或或x=3.x=3.【拓展提升【拓展提升】利用图象法求函数最值利用图象法求函数最值(1)(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图对图象易作出的函数常用象易作出的函数常用.(2)(2)图象法求最值的一般步骤图象法求最值的一般步骤:类型类型 二二 单调性法求函数的最值单调性法求函数的最值(值域值域)【典型例题【典型例题】1.1.已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x2 2+2x+a(x+2x+a(x0,20,2)有最小值有最小值-2-2,则,则f(xf(x)的最大值为的最大值为()()A.4 B.6 C.1 D.2
11、A.4 B.6 C.1 D.22.2.函数函数f(xf(x)=(x0).)=(x0).(1)(1)求证:求证:f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.(2)(2)若函数若函数f(xf(x)的定义域与值域都是的定义域与值域都是 2 2,求,求a a的值的值.11ax1,2【解题探究【解题探究】1.1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么二次函数在闭区间内求最值的关键是什么?2.2.题题2(1)2(1)证明证明f(xf(x)的单调性的一般步骤是什么?它对解决的单调性的一般步骤是什么?它对解决(2)(2)是否有作用?是否有作用?探究提示:探究提示:1.1.求二次函数求二次函数f(
12、xf(x)在某区间在某区间m,nm,n上的最值的关键是判断函上的最值的关键是判断函数在数在m,nm,n内的单调性内的单调性.2.2.证明证明f(xf(x)单调性的步骤为取值单调性的步骤为取值作差变形作差变形定号定号判断判断(结结论论),可以利用其单调性解决,可以利用其单调性解决(2)(2)中的值域问题,进而求出中的值域问题,进而求出a a的的值值.【解析【解析】1.1.选选B.f(xB.f(x)=x)=x2 2+2x+a(x+2x+a(x0,20,2)为增函数,所以为增函数,所以最小值为最小值为f(0)=a=f(0)=a=2 2,最大值为,最大值为f(2)=8+a=6.f(2)=8+a=6.2
13、.(1)2.(1)任取任取x x1 1,x x2 2(0,+)(0,+),且,且x x1 1xx2 2,则则f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),即即f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.(2)(2)由由(1)(1)知,知,f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数,所以若函数上是增函数,所以若函数f(xf(x)的定的定义域与值域都是义域与值域都是 2 2,则,则 即即解得解得a=a=1212122112xx111111f xf x()0axaxxxx x,1,2 11f(),22f 22,112,a2112,a22.5【拓展提升【拓展提升】1.1.利用单调性
14、求最值的一般步骤利用单调性求最值的一般步骤(1)(1)判断函数的单调性判断函数的单调性.(2).(2)利用单调性写出最值利用单调性写出最值.2.2.利用单调性求最值的三个常用结论利用单调性求最值的三个常用结论(1)(1)如果函数如果函数f(xf(x)在区间在区间a,ba,b上是增上是增(减减)函数函数,则则f(xf(x)在区在区间间a,ba,b的左、右端点处分别取得最小的左、右端点处分别取得最小(大大)值和最大值和最大(小小)值值.(2)(2)如果函数如果函数f(xf(x)在区间在区间(a,b(a,b上是增函数上是增函数,在区间在区间b,cb,c)上上是减函数是减函数,则函数则函数f(xf(x
15、)在区间在区间(a,c(a,c)上有最大值上有最大值f(bf(b).).(3)(3)如果函数如果函数f(xf(x)在区间在区间(a,b(a,b上是减函数上是减函数,在区间在区间b,cb,c)上上是增函数是增函数,则函数则函数f(xf(x)在区间在区间(a,c(a,c)上有最小值上有最小值f(bf(b).).【变式训练【变式训练】已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x2,52,5,求其最大,求其最大值与最小值值与最小值.【解析【解析】任意取任意取x x1 1,x x2 22,52,5且且x x1 1xx2 2,则,则f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)=)=xx1 1,x x2 22,52
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