中考数学课件第25讲锐角三角函数.ppt

1、2023-5-412023-5-422023-5-43 结合近年中考试题分析，锐角三角函数的内容考查主要结合近年中考试题分析，锐角三角函数的内容考查主要有以下特点有以下特点:1.1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现低档题出现.2023-5-44 2.2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数命题的热点为根据题中

2、给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.2023-5-45 1.1.掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值进行计算函数值进行计算.2.2.了解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡度的概念，了解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡度的概念，会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.3.3.会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题解直角三角形的计算问题.2023-

3、5-46 4.4.本讲知识常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标系、本讲知识常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标系、一元二次方程结合命题，在解题时为了减少失误，求解各未一元二次方程结合命题，在解题时为了减少失误，求解各未知元素时，应尽量代入已知条件中的数值，少用中间过程中知元素时，应尽量代入已知条件中的数值，少用中间过程中计算出的数值计算出的数值.2023-5-472023-5-482023-5-492023-5-4102023-5-4112023-5-4122023-5-4132023-5-4142023-5-4152023-5-4162023-5-4172023-5-4182023-5-41

4、9锐角三角函数的概念与性质锐角三角函数的概念与性质锐角三角函数的概念是指锐角的正弦、余弦、正切的概念；锐角三角函数的概念是指锐角的正弦、余弦、正切的概念；锐角的三个三角函数是在直角三角形中定义的，其正弦值等锐角的三个三角函数是在直角三角形中定义的，其正弦值等于锐角的对边长除以直角三角形的斜边长；余弦值等于锐角于锐角的对边长除以直角三角形的斜边长；余弦值等于锐角的邻边长除以斜边长；正切值是锐角的对边长除以锐角的邻的邻边长除以斜边长；正切值是锐角的对边长除以锐角的邻边长；锐角的三角函数有时还可以放到平面直角坐标系中定边长；锐角的三角函数有时还可以放到平面直角坐标系中定义；锐角的三角函数将直角三角形

5、的边与角之间建立了数量义；锐角的三角函数将直角三角形的边与角之间建立了数量关系，是解直角三角形重要的参数关系，是解直角三角形重要的参数.2023-5-420【例例1 1】(2011(2011乐山中考乐山中考)如图，在如图，在4 44 4的正方形网格中，的正方形网格中，tan=()tan=()(A)1 (B)2 (C)(D)(A)1 (B)2 (C)(D)【思路点拨思路点拨】12522023-5-421【自主解答自主解答】选选B.B.根据网格的特点：设每一小正方形的边长根据网格的特点：设每一小正方形的边长为为1 1，可以确定，可以确定的对边为的对边为2 2，邻边为，邻边为1 1，然后利用正切的，

6、然后利用正切的定义定义 故选故选B.B.tan2.的的对边邻边2023-5-4221.(20101.(2010常德中考常德中考)在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,若若AC=2BCAC=2BC，则，则sinAsinA的值是的值是()()(A)(B)2 (C)(D)(A)(B)2 (C)(D)【解析解析】选选C.C.因为因为C=90C=90，所以所以12555222ABACBC5BC.BCBC5sinA.AB55BC2023-5-4232.(20102.(2010黄冈中考黄冈中考)在在ABCABC中，中，C C9090，则，则tanBtanB()()(A)(B)(C)(D)(A)(

7、B)(C)(D)【解析解析】选选B.B.因因 ，所以，所以 ，在，在RtRtABCABC中，中，ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2,所以所以 ，所以，所以 .故选故选B.B.4sinA543343545BC4sinAAB54BCAB53ACAB5AC3tanBBC42023-5-4243.(20113.(2011福州中考福州中考)Rt)RtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分别是分别是A A、B B、C C的对边，那么的对边，那么c c等于等于()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)acosAbsinBasinAbsinBabsin A

8、sinBabcosAsinB2023-5-425【解析解析】选选B.B.过点过点C C作作CDABCDAB于于D,D,在在RtRtACDACD中中,所以所以AD=b cosA,AD=b cosA,同理同理,BD=a cosB,BD=a cosB,所以所以c=AB=AD+BD=b cosA+a cosB,c=AB=AD+BD=b cosA+a cosB,又又A+B=90A+B=90,所以所以cosA=sinB,cosB=sinA,cosA=sinB,cosB=sinA,所以所以c=a sinA+b sinB.c=a sinA+b sinB.ADADcosAACb2023-5-426 特殊角的三角

9、函数值特殊角的三角函数值锐角锐角3030、4545、6060的三角函数值在有关的计算题和证明的三角函数值在有关的计算题和证明题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正切值题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正切值可以总结成以下口诀：可以总结成以下口诀：“1 1、2 2、3 3，3 3、2 2、1 1，3 3、9 9、2727！”即：即：12332 1313.2222223，；，；，2023-5-427【例例2 2】(2010(2010凉山中考凉山中考)计算：计算：【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】原式原式=-2.=-2.1201002cos601|28|tan30121

10、112(21)()1(82)12(21)(21)22 222 222023-5-4284.(20114.(2011茂名中考茂名中考)如图如图,已知已知:45:45A90AcosA(B)sinAcosA(C)sinAtanA(C)sinAtanA(D)sinAcosA(D)sinA45A45时时,BCAC,BCAC,所以所以sinAcosA.sinAcosA.2023-5-4295.(20115.(2011黄冈中考黄冈中考)cos30)cos30=()=()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选C.C.由三角函数的定义知由三角函数的定义知12223233cos30.2

11、2023-5-4306.(20116.(2011丽水中考丽水中考)计算计算:【解析解析】原式原式=011854cos45.2 212142.2 2023-5-4317.(20117.(2011乐山中考乐山中考)计算：计算：【解析解析】1312()12.cos3031312()12.cos3033232 322 332 35.32 2023-5-432解直角三角形及应用解直角三角形及应用解直角三角形是指利用直角三角形中的已知条件探求其他未解直角三角形是指利用直角三角形中的已知条件探求其他未知元素，锐角的三角函数起着桥梁的作用知元素，锐角的三角函数起着桥梁的作用.利用直角三角形或构造直角三角形解决

12、实际问题利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实一般先把实际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添加辅际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添加辅助线助线(如作三角形的高等如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解角形的知识求解.2023-5-433【例例3 3】(2010(2010安徽中考安徽中考)若河岸若河岸的两边平行，河宽为的两边平行，河宽为900900米，一只米，一只船由河岸的船由河岸的A A处沿直线方向开往对处沿直线方向开往对岸的岸的B B处，处，ABAB与河岸的夹角是与河岸的夹角是6060，船的速度为船

13、的速度为5 5米米/秒，求船从秒，求船从A A到到B B处约需时间几分处约需时间几分.(.(参考数参考数据：据：)31.72023-5-434【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】如图如图,过点过点B B作作BCBC垂垂直河岸直河岸,垂足为垂足为C,C,则在则在RtRtACBACB中中,有有=(=(米米),),所以所以 (分分),),即船从即船从A A处到处到B B处约需处约需3.43.4分分.BC900ABsin BACsin60600 3600 3t2 33.45 602023-5-4358.(20108.(2010湖州中考湖州中考)河堤横断面如图所河堤横断面如图所示，堤高示，堤高BCB

14、C5 5米，迎水坡米，迎水坡ABAB的坡比是的坡比是 (坡比是坡面的铅直高度坡比是坡面的铅直高度BCBC与水平与水平宽度宽度ACAC之比之比)，则，则ACAC的长是的长是()()(A)(A)米米 (B)10(B)10米米 (C)15(C)15米米 (D)(D)米米【解析解析】选选A.,A.,米米.135 310 3BC AC13AC3BC5 32023-5-4369.(20119.(2011南通中考南通中考)如图，测量河宽如图，测量河宽AB(AB(假设河的两岸平行假设河的两岸平行)，在，在C C点测得点测得ACB=30ACB=30，在，在D D点测得点测得ADB=60ADB=60,又又CD=6

15、0 mCD=60 m，则河宽，则河宽ABAB为为 _m(_m(结果保留根号结果保留根号).).2023-5-437【解析解析】设河宽设河宽ABAB为为x mx m，在，在RtRtABCABC中，中，在在RtRtABDABD中，中，由由CD=BC-BDCD=BC-BD，得，得 ,所以所以答案：答案：ABBC3 x mtan ACB，AB3BDx m,tan ADB333xx603x30 3.30 32023-5-43810.(201110.(2011金华中考金华中考)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50507070时时(为梯子与地面所成的角为梯子与地面所成的角)，

16、能够使人安，能够使人安全攀爬全攀爬.现在有一长为现在有一长为6 6米的梯子米的梯子ABAB，试求能够使人安全攀爬，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.AC.(结果保留两个有效数字，结果保留两个有效数字，sin70sin700.94,0.94,sin50sin500.77,cos700.77,cos700.34,cos500.34,cos500.64)0.64)2023-5-439【解析解析】当当=70=70时，梯子顶端达到最大高度，时，梯子顶端达到最大高度，AC=sin70AC=sin7060.9460.946=5.645.6(6=5.645.

17、6(米米).).答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约为答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约为5.65.6米米.ACsinAB，2023-5-4402023-5-441方位角的应用方位角的应用方位角是在规定方位角是在规定“上北下南，左西右东上北下南，左西右东”的原则下，确的原则下，确定物体的位置的一种方法；方位角往往与解直角三角形的知定物体的位置的一种方法；方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查，当然有时也与行程问题中的方程联识联系在一起进行考查，当然有时也与行程问题中的方程联系在一起系在一起.2023-5-442【例例】(2010(2010杭州中考杭州中考)如

18、图，台风中如图，台风中心位于点心位于点P P，并沿东北方向，并沿东北方向PQPQ移动，已知移动，已知台风移动的速度为台风移动的速度为3030千米千米/时，受影响区时，受影响区域的半径为域的半径为200200千米，千米，B B市位于点市位于点P P的北偏的北偏东东7575方向上，距离点方向上，距离点P 320P 320千米处千米处.(1)(1)说明本次台风会影响说明本次台风会影响B B市；市；(2)(2)求这次台风影响求这次台风影响B B市的时间市的时间.2023-5-443【思路点拨思路点拨】2023-5-444【自主解答自主解答】(1)(1)作作BHPQBHPQ于点于点H,H,在在RtRtB

19、HPBHP中中,由条件知由条件知,PB=320,BPQ=30 PB=320,BPQ=30,得得BH=320BH=320sin30sin30=160200,=160200,本次台本次台风会影响风会影响B B市市.(2)(2)如图如图,若台风中心移动到若台风中心移动到P P1 1时时,台风开始影响台风开始影响B B市市,台风台风中心移动到中心移动到P P2 2时时,台风影响结束台风影响结束.由由(1)(1)得得BH=160BH=160千米千米,由条由条件得件得BPBP1 1=BP=BP2 2=200=200千米千米,所以所以 (千米千米),),台风影响的时间为台风影响的时间为 (小时小时).).2

20、212PP2 200160240240t8302023-5-4452023-5-446(2011(2011济宁中考济宁中考)日本福岛出现核电站事故后日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋我国国家海洋局高度关注事态发展局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估洋环境的影响及时开展分析评估.如图，上午如图，上午9 9时，海检船位时，海检船位于于A A处，观测到某港口城市处，观测到某港口城市P P位于海检船的北偏西位于海检船

21、的北偏西67.567.5方向，方向，海检船以海检船以2121海里海里/时的速度向正北方向行驶，下午时的速度向正北方向行驶，下午2 2时海检船时海检船到达到达B B处，这时观察到城市处，这时观察到城市P P位于海检船的南偏西位于海检船的南偏西36.936.9方向，方向，求此时海检船所在求此时海检船所在B B处与城市处与城市P P的距离？的距离？2023-5-447(参考数据：参考数据：).).33sin36.9,tan36.9,54 12sin67.5,13 12tan67.55 2023-5-448【解析解析】过点过点P P作作ABAB的垂线交的垂线交ABAB于于C C点，由题意知点，由题意知

22、AB=105AB=105海里，海里，ACP=BCP=90ACP=BCP=90，设，设AC=x cmAC=x cm，则则BC=(105-x)cmBC=(105-x)cm，在在RtRtAPCAPC中，中，在在RtRtBPCBPC中，中，PCtan67.5AC 12PCAC tan67.5x5，PCtan36.9BC，3PCBC tan36.9105x4，2023-5-449 ，解得，解得x=25x=25，即，即AC=25AC=25，BC=80BC=80，答：此时海检船所在的答：此时海检船所在的B B处与城市处与城市P P的距离为的距离为100100海里海里.123x(105x)54222212PC

23、x60PBPCBC6080100.5，2023-5-4501.(20101.(2010日照中考日照中考)如图，在等腰如图，在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，D D是是ACAC上一点，若上一点，若 ，则，则ADAD的的长为长为()()(A)2 (B)(A)2 (B)(C)(D)1(C)(D)11tan DBA5322023-5-451【解析解析】选选A.A.过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E E，在，在RtRtDBEDBE中，中，设设DE=xDE=x，则，则BE=5xBE=5x，又因为在等腰，又因为在等腰RtRtABCABC中，所以中，所以AE=DE

24、=xAE=DE=x，所以，所以AB=5x+x=6xAB=5x+x=6x，又在等腰，又在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，则，则 ,即即 ，所以，所以1tan DBA5，AB6 26 26xx2，AD2x2.2023-5-4522.(20102.(2010宿迁中考宿迁中考)小明沿着坡度为小明沿着坡度为1212的山坡向上走了的山坡向上走了1 000 m1 000 m，则他升高了，则他升高了()()(A)m (B)500 m(A)m (B)500 m(C)m (D)1 000 m(C)m (D)1 000 m【解析解析】选选A.A.设高为设高为x x，由勾股定理得，

25、由勾股定理得，x x2 2+(2x)+(2x)2 2=(1000)=(1000)2 2,解得解得200 5500 3x200 5.2023-5-4533.(20103.(2010济宁中考济宁中考)在一次夏令营活动中，小霞同学从营地在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A A点出发，要到距离点出发，要到距离A A点点1 000 m1 000 m的的C C地去，先沿北偏东地去，先沿北偏东7070方向方向到达到达B B地，然后再沿北偏西地，然后再沿北偏西2020方向走了方向走了500 m500 m到达目的地到达目的地C,C,此时小霞在营地此时小霞在营地A A的的()()2023-5-454(A)(A)北

26、偏东北偏东2020方向上方向上(B)(B)北偏东北偏东3030方向上方向上(C)(C)北偏东北偏东4040方向上方向上(D)(D)北偏西北偏西3030方向上方向上2023-5-455【解析解析】选选.设设A A点正北方向有点点正北方向有点E,BE,B点正北方向与点正北方向与ACAC延长线延长线交于点交于点D,D,由题意可知由题意可知AC=1 000 mAC=1 000 m，BC=500 mBC=500 m，EAB=70EAB=70，DBC=20DBC=20，AEBDAEBD，所以，所以ABDABDEAB=180EAB=180，可得，可得ABD=110ABD=110，则，则ABC=90ABC=9

27、0；因；因AC=2BCAC=2BC，可得，可得CAB=30CAB=30，所以所以EAC=40EAC=40，即小霞在营地，即小霞在营地A A的北偏东的北偏东4040方向上方向上.故选故选C.C.2023-5-4564.(20104.(2010中山中考中山中考)如图如图,已知已知RtRtABCABC中中,斜边斜边BCBC上的高上的高AD=4,AD=4,则则AC=_.AC=_.【解析解析】由题意可得由题意可得B=DACB=DAC，则，则 ，因，因为为 ，所以，所以 ，得，得AC=5.AC=5.答案：答案：5 54cosB54cos DACcosB5ADcos DACAC44AC52023-5-457

28、5.(20105.(2010深圳中考深圳中考)如图如图,一艘海轮位一艘海轮位于灯塔于灯塔P P的东北方向的东北方向,距离灯塔距离灯塔 海里海里的的A A处处,它沿正南方向航行一段时间后它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东3030方向上的方向上的B B处处,则海轮行驶的路程则海轮行驶的路程ABAB为为_海里海里(结果保留根号结果保留根号).).40 22023-5-458【解析解析】在在RtRtACPACP中，中，,在在RtRtBCPBCP中，中，,所以所以AB=AC+BC=40+(AB=AC+BC=40+(海海里里).).答案：答案：2ACPCAP sin

29、4540 2402 BCPCtan6040 3 40 34040 32023-5-4596.(20106.(2010中山中考中山中考)计算计算:【解析解析】原式原式=0114()2cos602.2122214.2 2023-5-4607.(20107.(2010晋江中考晋江中考)已知：如图，有一块含已知：如图，有一块含3030的直角三角的直角三角板板OABOAB的直角边长的直角边长BOBO的长恰与另一块等腰直角三角板的长恰与另一块等腰直角三角板ODCODC的斜的斜边边OCOC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3.AB=3.20

30、23-5-461(1)(1)若双曲线的一个分支恰好经过点若双曲线的一个分支恰好经过点A A，求双曲线的解析式；，求双曲线的解析式；(2)(2)若把含若把含3030的直角三角板绕点的直角三角板绕点O O按顺时针方向旋转后，斜按顺时针方向旋转后，斜边边OAOA恰好与恰好与x x轴重叠，点轴重叠，点A A落在点落在点AA，试求图中阴影部分的面，试求图中阴影部分的面积积(结果保留结果保留).).2023-5-462【解析解析】(1)(1)在在RtRtOBAOBA中，中，AOB=30AOB=30，AB=3AB=3，点点A A的坐标为的坐标为 设双曲线的解析式为设双曲线的解析式为 (k0),(k0),将将

31、A A 代入得代入得 ，所以双曲线的解析式为，所以双曲线的解析式为(2)(2)在在RtRtOBAOBA中，中，AOB=30AOB=30,AB=3,AB=3，.由题意得：由题意得：OBcot AOBOBAB cot303 3AB，3,3 3.kyx3,3 3.k3 3k9 33，9 3y.xAB3sin AOB,sin30,OA6OAOA 2023-5-463AOC=60AOC=60，.在在RtRtODCODC中，中，DOC=45DOC=45，2AOA606S6360 扇形OCOB3 3，22ODC11 3 627SOD().222423 6ODOC cos453 3.22 AOAODC27SSS6.4 扇形阴2023-5-464