（全国通用高考数学一轮导学案）第十章-103数学归纳法课件.pptx

1、数学数学 浙浙（文）（文）10.3数学归纳法第十章推理与证明、复数 基础基础知识知识自主学习自主学习 题型题型分类分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟感悟提高提高 练出高分练出高分基础知识自主学习知识梳理第一个值n0数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 (n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.nk1基础知识自主学习知识梳理u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第

2、一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()基础知识自主学习知识梳理(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()基础知识自主学习考点自测题号答案解析1234 CC解析题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(

3、2n1)(nN*).题型分类深度剖析n从k变到k1，左边增乘了2(2k1).思维点拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).证明当n1时,等式左边2,右边2,故等式成立；假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(

4、n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)2题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).2k1135(2k1)(2k1)，这就是说当nk1时等式也成立.由 可 知，对 所 有nN*等式成立.题型分类深度剖析用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.思维点

5、拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).题型分类深度剖析(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.思维点拨 解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析左边右边，等式成立.即对所有nN*，原式都成立.题型分类深度剖析思维点拨 解析题型分类深度剖析(1)利用题中条件分别确定a的范围进而求a；思维点拨 解析题型分类深度剖析思维点拨 解析题型分类

6、深度剖析所以a21.思维点拨 解析题型分类深度剖析解得a1.又因为a21，所以a1.思维点拨 解析题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析(2)利用数学归纳法证明.思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析证明用数学归纳法证明：思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析故n2时,原不等式也成立.思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析(2)用数学归纳法证明

7、不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.思维点拨 解析思维升华题型分类深度剖析左边右边，不等式成立.题型分类深度剖析(2)假设nk(k2，且kN)时不等式成立，则当nk1时，题型分类深度剖析当nk1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华(2)

8、证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列

9、结合的问题是最常见的问题.思维点拨 解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.题型分类深度剖析跟踪训练3 在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0).(1)求a2，a3，a4；解a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.题型分类深度剖析跟踪训练3 (2)猜想an 的通项公式，并加以证明.解由(1)可猜想数列通项公式为：an(n1)n2n.下面用数学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kN*)时等式成立，即ak(k1)k2k，题型分类深度剖析那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2k

10、k12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，an(n1)n2n，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nN*，0).题型分类深度剖析思维点拨规范解答答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题典例：(10分)数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；题型分类深度剖析(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4观察所得数值的特征猜出通项公式.答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题典例：(10分)数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a

11、2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；思维点拨规范解答题型分类深度剖析答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题典例：(10分)数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；解当n1时，a1S12a1，当n2时，a1a2S222a2，a11.思维点拨规范解答题型分类深度剖析2分 答题答题模板模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题典例：(10分)数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；当n3时，a1a2a3S323a3，当n4时，a1a2a3a4S424a4，4分

12、思维点拨规范解答题型分类深度剖析规范解答答题模板温馨提醒答题答题模板模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.题型分类深度剖析5分 答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.证明当n1时，a11，结论成立.假设nk(k1且kN*)时，结论成立，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，规范解答答题模板温馨提醒题型分类深度剖析答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.2ak12ak.9分 10分 规范解答答题模板温馨

13、提醒题型分类深度剖析归纳猜想证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列 的通项或一般结论.第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立.答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模板温馨提醒题型分类深度剖析第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结 论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立.答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模板温馨提醒题型分类深度剖析解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题

14、及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模板温馨提醒题型分类深度剖析(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.答题模板答题模板系列系列7 归纳归纳猜想猜想证明问题证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模

15、板温馨提醒思想方法感悟提高方 法 与 技 巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.思想方法感悟提高方 法 与 技 巧3.利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.思想方法感悟提高失 误 与 防 范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2.推证

16、nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练1.用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是()A.1 B.2 C.3 D.4解析n1时，212,2113,2n2n1不成立；C23456789101练出高分A组专项基础训练2.如果命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立解析n2时，nk，nk2成立，n为2,4,6，所有正偶数.

17、B23456789101练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.答案D23456789101练出高分A组专项基础训练C23456789101练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练答案C23456789101练出高分A组专项基础训练6.设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.23456789101练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练8

18、.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).523456789101练出高分A组专项基础训练原等式成立.(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，23456789101练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练nk1时，等式也成立，23456789101练出高分A组专项基础训练证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(k1，kN*)时，0akak1，23456789101练出高分A组专项基础训练根据

19、(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立.23456789101练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立，则f(10)100成立B.若f(2)4成立，则f(1)1成立C.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立1213141511练出高分B组专项能力提升解析f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立，f(4)16时，有f(5)5

20、2，f(6)62，f(k)k2成立.答案D1213141511练出高分B组专项能力提升代入验证可知n的最小值是8.B1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D1213141511练出高分B组专项能力提升解当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；1213141511练出高分B组专项能力提升(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.解由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.当n1,2,3时，不等式显然成立，1213141511练出高分B组专项能力提升由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立.1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升(1)当n1时，已证得不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升所以当nk1时不等式也成立.1213141511练出高分B组专项能力提升所以a的最大值等于25.1213141511更多精彩内容请登录