《概率论与数理统计》期末复习题课件.ppt
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- 概率论与数理统计 概率论 数理统计 期末 复习题 课件
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1、l 题目类型:选择题,填空题,计算题。提醒注意以下几点:l 1、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题l 2、要求熟知事件关系及其运算,各种概率计算公式等;l 3、常用分布的概率计算以及性质,数学期望与方差;l 4、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算,随机变量的独立性与相关性的关系以及判别;l 5、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算;l 6、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算;l 7、数理统计的基本概念,常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质;l 8、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有
2、效性;l 9、区间估计与假设检验,只考单个正态总体的两个参数的区间估计和假设检验,对于假设检验,要求会区分并进行单侧或双侧检验。概率论与数理统计概率论与数理统计 复习复习一、填空题一、填空题 CBA1.设设A、B、C为三事件,则事件为三事件,则事件“A发生发生B与与C都不发生都不发生”可可 表示为表示为_;事件事件“A、B、C不都发生不都发生”可表示为可表示为_ 事件事件“A、B、C都不发生都不发生”可表示为可表示为_。CBACBA 2.100件产品中有件产品中有10件次品,任取件次品,任取5件恰有件恰有3件次品的概率为件次品的概率为_(只写算式)。(只写算式)。5100290310CCC 3
3、,132,5.021,4.01,0 xxxxxF3.已知随机变量已知随机变量X的分布函数为的分布函数为,则P(X=1)=_0.4,P(X=2.5)=0_ 4.设设 3,1 NX则则X的函数的函数Y=31X N(0,1)。5.设二维随机变量(设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 121,jiyYxXP;3,2,1i4,3,2,1j则则1xXP_1/3_ _15_2XD5.1EX62EX _3_2XE_75.3_)(XD6.已知已知,则则 7.在假设检验中若原假设在假设检验中若原假设H0实际为真时却拒绝实际为真时却拒绝H0,称这类错误为称这类错误为 弃真(第一类弃真(第一类)错误错
4、误 8.设随机变量设随机变量 pnbX,4.2EX44.1DX则则_6_n_4.0_p 66.00 xp9.若X2(10),则E(X)=10,D(X)=2010.P(2(11)s)=0.05,则675.19)11(250.0s357.080.21)12,9(1)12,9(1)9,12(.110.0595.0195.0FFF05.005.005.095.0)50()5()5(.12uttt,213121)(,)(,)(ABPBPAP,12/7)(,4/1)(BAPABP则4/3)(BAP13.13.已知已知A,BA,B为两事件,为两事件,14.14.已知已知A A,B B为两事件,为两事件,4.
5、0AP6.0ABP16.0ABP则15.设随机变量设随机变量X N(0,1),Y U(0,1),Z B(5,0.5),且且X,Y,Z独立,独立,则则E(2X+3Y)(4Z-1)=27/2 16.若若X与与Y相互独立,则必有相互独立,则必有X与与Y 不相关不相关二、解答题二、解答题 1.将两信息分别编码为将两信息分别编码为A和和B传送出去,接收站收到时,传送出去,接收站收到时,A被误收作误收作B的概率为的概率为 0.02,而,而 B被误收作被误收作 A的概率为的概率为 0.01.信息信息 A与信息信息 B传送的频率程度为传送的频率程度为2:1。(1)若接受站收到一信息,是若接受站收到一信息,是
6、A的概率是多少?的概率是多少?(2)若接受站收到的信息是)若接受站收到的信息是 A,问原发信息是,问原发信息是 A的概率是多少?的概率是多少?解:设解:设 21AA,分别表示发出分别表示发出A,B.1B2B 分别表示收到分别表示收到A,B 2121111ABPAPABPAPBP01.03198.0326567.0 9949.01971966567.098.032111111BPABPAPBAP事件独立性的应用举例事件独立性的应用举例1、加法公式的简化加法公式的简化:若事件A1,A2,An相互独立,则 )()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP2、乘法公式的简化乘法公式的简化:若事件A1
7、,A2,An相互独立,则 )()()()(2121nnAPAPAPAAAP2.甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为率分别为0.90.9与与0.80.8,求在一次射击中,求在一次射击中(每人各射一次每人各射一次)目标目标被击中的概率被击中的概率。解 设A,B分别表示甲、乙射中目标的事件,C表示目标被击中的事件,则P(A)=0.9,P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98另解 02.0)8.01)(9.01()()()()(BPAPBAPCP98.0)(1)(CP
8、CP3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率 分别为分别为1/5,1/3,1/4。(1)求密码能破译的概率;)求密码能破译的概率;(2)求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。)求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。解解 设设A,B,C分别表示甲、乙、丙译出的事件,分别表示甲、乙、丙译出的事件,D表示密码被破译的事件,表示密码被破译的事件,E表示恰有一人译出的事件,则表示恰有一人译出的事件,则53)(1)()(52)411)(311)(511()(*)(*)()()()1(DPCBAPDPCPBPAPCBAP
9、DP3013)()()()()()()()()()()()2(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBACBACBAPEP恰有一人译出的概率为4.设设X是连续型随机变量,已知是连续型随机变量,已知X的密度函数为的密度函数为 00,00,)(,xxAexfx试求试求(1)常数常数A (2)X的分布函数的分布函数F(x)10)(00AdxAedxdxxfxA解:解:xdxxfxF)()(,当0 x00)(xdxxF0 x当xxxxedxedxdxxfxF10)()(000001)(xxexFx5.已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为其他021210 xxxaxxf)(求求(1)常数常
10、数a (2)分布函数分布函数)2321(3 XP)(4)求)求E(X),D(X)解:解:1212)2(1)(12110adxxaxdxdxxf)(得得a=12121)2(1000)(21010 xxdtttdtxtdtxxFxx)(2121122102100)(22xxxxxxxxF)2321(3 XP)(43)22(2)2()(231212122311212321xxxdxxxdxdxxf131312421321210321102xxxdxxxdxxEX)(6741324122132131042121032xxxdxxxdxxEX6116722EXEXDX6.6.设一汽车在开往目的地的道路上
11、需经过设一汽车在开往目的地的道路上需经过3 3盏信号灯。每盏信号盏信号灯。每盏信号灯以概率灯以概率1/21/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的盏数停下时,它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立各信号灯工作相互独立)。求。求X的分布律、分布函数以及概率的分布律、分布函数以及概率),2523(),23(XPXP解解 设设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率,则为每盏信号灯禁止汽车通过的概率,则 P(X=k)=p(1-p)k,k=0,1,2;P(X=3)=(1-p)3,故,故X的分布律为:的分布律为:)32(XPX01
12、23P1/21/41/81/8X的分布函数:的分布函数:332211000)()(81814121814121412121xxxxxxXPxF3132211000874321xxxxx7.7.离散型随机变量离散型随机变量X X的分布函数为的分布函数为2/122,21,3/211,1,0)()(且XPxbaxaxaxxF求求a,ba,b及及X X的分布律的分布律,E(X),D(X),E(X),D(X)。解解 因因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ,a+b=1a+b=1 于是于是a=1/6,b=5/6a=1/6,b=5/6 X X的分布律为
13、的分布律为 X -1 1 2 p 1/6 1/3 1/28.设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 求(求(1)常数)常数A,B的值;的值;(2)P(-1X1););(3)求)求X的密度函数。的密度函数。)0(0,00,)(xxBeAxFx0,00,1)(10)(lim1)(lim)(1)1(0 xxexFBBAxFXAABeAFxxxx故以分布函数是连续的,是连续型随机变量,所因解eFFXP1)1()1()11()2(0 x,00 x,e)x(F)x(f)3(x/万公里的概率。只行驶路程不足只轮胎,试求至少有两今从中随机抽取其概率密度为是一个随机变量,已知(以万公里计)能
14、行驶的路程设某种轮胎在损坏以前305,0,00,101)(;910 xxexfXx 99997.09502.019502.0159502.019502.00513059502.01101)(3030415030300310PedxedxxfXPx万公里的概率为驶路程不足只轮胎中至少有两只行)(万公里的概率为程不足解一只轮胎能行驶的路10.二维随机变量(二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为其他,00,10,1,xyxyAyyxf(1)试确定常数试确定常数A;(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度函数;的边缘密度函数;(3)判断判断X和和Y是否相互独立。是否相互独立。解:解:(1)
15、dyyAydxdxdyyxfx 0101,112321032AdxxAxA12A 其他其他)(,010,46010)1(12,2320 xxxxdyyydyyxfxfxX其他其他010)1(12010)1(12),()(21yyyydxyydxyxfyfy yfxfyxfYX,3)(所以 X与Y不独立11.二维随机变量(二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为(1),01,01(,)0,Ay xyxyf x y 其 他(1)确定常数)确定常数A(2)试问)试问X与与Y是否相互独立?是否相互独立?解:解:(1)dxdyyxf,1dxxyyAdy10101dyyxxyxA101022
16、1AyyA474310274A dyxyydyyxfxfX174,210)(xxyyy3722121741022当当0 x1 dxxyydxyxfyfY174,10yyxxyx231742174102当当0y1.yxfyfxfYX,所以所以X与与Y不独立不独立(1)求常数求常数K;(2)求联合分布函数求联合分布函数F(x,y);(3)求概率求概率P(X+2Y 1)。12.12.已知已知解解 (1)其其它它00,0),(),(32yxKeyxfYXyx 1),(dxdyyxf00321dyKedxyx030216kdyedxeKyxK=6O xyx+2y=1(2)xydudvvufyxF),()
17、,(其它其它00,060 032yxdudvex yvu其它其它00,0)1)(1(32yxeeyx(3)10210326)12(xyxdyeedxYXP5135.02)1(2101032dxeexyx13.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具具有概率密度函数有概率密度函数 其它其它0 00y,0 xe),()yx(xyxf(1)求求X,Y的边缘概率密度;的边缘概率密度;(2)问问X与与Y是否相互独立?是否相互独立?O xy解解 dyyxfxfX),()(其它其它0 00 xxe0)yx(dy其其它它0 00 xxexdxyxffY),()y(其它其它0 00yexey0yx(dx)由于由
18、于f(x,y)=fX(x)fY(y),因此,因此X与与Y相互独立。相互独立。14.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX010q010p其中其中p+q=1,求相关系数,求相关系数XY,判断判断X,Y相相关性和独立性。关性和独立性。解解 由题意可得由题意可得X,Y的边缘分布律为的边缘分布律为X01PqpY01Pqp均为均为01分布,分布,E(X),D(X)=pq,E(Y)=p,D(Y)=pq,所以所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+11p pp =p p2=pq因此因此1)()(),(CovpqpqpqYDXDYXXY(1)X
19、,Y正相关正相关(2)X,Y不独立不独立其其它它0),(2),(Dyxyxf解解322)(010 xdyxdxXE312)(010 xydydxYE181942)(0102xdydxxXD412)(010 xydyxdxXYE181912)(0210 xdyydxYD361)()()(),(CovYEXEXYEYX)()(),(CovYDXDYXXY2115.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数。的相关系数。16.16.(X,Y)的联合分布律如下:的联合分布律如下:试求试求(1)X,Y的边缘分布律。的边缘分布律。解解YX1234pi
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