第八章线性分组码课件.ppt

1、第八章 线性分组码第八章第八章 线性分组码线性分组码内容提要内容提要目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线性的。本章首先介绍有关纠错码的基本概念，性的。本章首先介绍有关纠错码的基本概念，然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理论。在此基础上，介绍了一种典型的线性分组论。在此基础上，介绍了一种典型的线性分组码：汉明码。码：汉明码。8.1 8.1 纠错码的基本概念纠错码的基本概念 8.1.1 信道纠错编码信道纠错编码 l l信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率。信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率

2、。l l信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增加信息传输的可靠性。加信息传输的可靠性。香农第二定理指出，当信息传输速率低于信道容量时，香农第二定理指出，当信息传输速率低于信道容量时，通过某种编译码方法，就能使错误概率为任意小。目通过某种编译码方法，就能使错误概率为任意小。目前已有了许多有效的编译码方法，并形成了一门新的前已有了许多有效的编译码方法，并形成了一门新的技术技术纠错编码技术。纠错编码技术。纠错编码即信道编码，与信源编码一样都是一种纠错编码即信道编码，与信源编码一样都是一种编码，但两者的作用是完全不同的。编码，但两者的作用是完全不同

3、的。8.1.2 差错控制系统模型及分类差错控制系统模型及分类 信息传输系统模型简化成图信息传输系统模型简化成图8.1所示的简化模型所示的简化模型图图8.1 8.1 简化的信息传输系统模型简化的信息传输系统模型 模型突出了以控制差错为目的的纠错码编码器和译码器，模型突出了以控制差错为目的的纠错码编码器和译码器，因此也称为差错控制系统。因此也称为差错控制系统。在差错控制系统中使用的码按其纠错能力的不同可分为两在差错控制系统中使用的码按其纠错能力的不同可分为两种：种：检错码检错码和和纠错码纠错码。能发现错误但不能纠能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码正错误的码称为检错码；不仅能发不仅能发现错误而且

4、还现错误而且还能纠正错误的能纠正错误的码称为纠错码。码称为纠错码。（）前向纠错（）前向纠错(FEC)方式方式：FEC(Forward Error Control)方式是发端发送有纠错方式是发端发送有纠错能力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译能力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译码器自动地纠正传输中的错误。码器自动地纠正传输中的错误。差错控制系统大致可分为前向纠错、重传反馈和混合纠错差错控制系统大致可分为前向纠错、重传反馈和混合纠错等三种方式。等三种方式。l l优点优点:是不需要反馈是不需要反馈信道；能进行一个用信道；能进行一个用户对多个用户的同时户对多个用户的同时通信，

5、特别适合于移通信，特别适合于移动通信；译码实时性动通信；译码实时性较好，控制电路也比较好，控制电路也比较简单。较简单。l l缺点是译码设缺点是译码设备较复杂；编码备较复杂；编码效率较低。效率较低。（）重传反馈（）重传反馈(ARQ)方式方式:ARQ(Automatic Repeat Request)方式是：发端发出方式是：发端发出能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉发端。发端把收端认为有错的消息再次传送，直到收端认发端。发端把收端认为

6、有错的消息再次传送，直到收端认为正确接收为止。为正确接收为止。l l优点是译码设备简单，优点是译码设备简单，在多余度一定的情况在多余度一定的情况下，码的检错能力比下，码的检错能力比纠错能力要高得多，纠错能力要高得多，因而整个系统能获得因而整个系统能获得极低的误码率。极低的误码率。l l应用应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反馈信道。并要求信方式必须有一条从收端至发端的反馈信道。并要求信源产生信息的速率可以进行控制，收、发两端必须互相配合，其源产生信息的速率可以进行控制，收、发两端必须互相配合，其控制电路比较复杂，传输信息的连贯性和实时性也较差。控制电路比较复杂，传输信息的连贯性和实时性也较

7、差。（）混合纠错（）混合纠错(HEC)方式：方式：HEC(Hybrid Error Control)方式是上述两种方式的方式是上述两种方式的结合。发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力。收结合。发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力。收端译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进端译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进行纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，行纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，则通过反馈信道告知发方重发。这种方式在一定程度上避则通过反馈信道告知发方重发。这种方式在一定程度上避免了免了 FEC方式译码设备复杂和方式译码设备复杂和 A

8、RQ方式信息连贯性差的方式信息连贯性差的缺点。缺点。在设计差错控制系统时，选择何种实现方式，应综合考在设计差错控制系统时，选择何种实现方式，应综合考虑各方面的因素。主要有：虑各方面的因素。主要有：满足用户对误码率的要求；满足用户对误码率的要求；有尽可能高的信息传输速率；有尽可能高的信息传输速率；(4)可接受的成本。可接受的成本。有尽可能简单的编译码算法且易于实现；有尽可能简单的编译码算法且易于实现；8.1.3 纠错码的分类纠错码的分类 常用的纠错码按其码字结构形式和对信息序列处理方式常用的纠错码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同可分成两大类：的不同可分成两大类：分组码分组码和和卷积码卷

9、积码。分组码是把信息序列以每分组码是把信息序列以每k个码元分组，编码器将每个信息组个码元分组，编码器将每个信息组按一定规律产生按一定规律产生r个多余的码元（称为校验元），形成一个长个多余的码元（称为校验元），形成一个长为为n=k+r 的码字。的码字。卷积码是把信息序列以每卷积码是把信息序列以每k个分组，通过编码器输出长为个分组，通过编码器输出长为n（n k）的一个子码。但是该子码的的一个子码。但是该子码的nk个校验元不仅与本子码的信息元个校验元不仅与本子码的信息元有关，而且也与其前有关，而且也与其前m个子码的信息元有关。个子码的信息元有关。an 1an 2arar 1a0时 间k个 信 息 位

10、r个 监 督 位码 长nkr8.1.4 差错类型差错类型 讨论码字序列讨论码字序列c通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信道和有记忆信道。道和有记忆信道。l l在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一个差错的出现与其前后是否有错无关个差错的出现与其前后是否有错无关,如图如图8.2。在无记忆信道中，在无记忆信道中，错误是错误是随机随机产生的，因此被称作随机错误，产生的，因此被称作随机错误，无记忆信道也被称为随无记忆信道也被称为随机信道机信道（random channel）。图图8

11、.2 8.2 二进制对称信道二进制对称信道 l l有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成群、成串地出现，表现出错误之间有相关性。图群、成串地出现，表现出错误之间有相关性。图8.3就是这种信道的就是这种信道的一个模型。一个模型。图图8.3 8.3 有记忆信道模型有记忆信道模型 就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误并存。随机错误与突发错误并存的信道，称为并存。随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复组合信道或复合信道合信道。11p1p21 p2p21pp

12、表表8.1给出了一个（给出了一个（7，3）线性分组码的例子。该例）线性分组码的例子。该例子中，信息组为（子中，信息组为（c6 c5 c4），），码字为（码字为（c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0）。）。当已知信息组时，按以下规则得到四个校验元：当已知信息组时，按以下规则得到四个校验元：（83）这组方程称为校验方程。这组方程称为校验方程。8.2 8.2 线性分组码的编码线性分组码的编码 8.2.1 生成矩阵生成矩阵 4505614562463ccccccccccccc信息组信息组 码码 字字 0000 0 0 0 0 0 0 0010 0 1 1 1 0 1 0100 1 0 0 1 1

13、1 0110 1 1 1 0 1 0 1001 0 0 1 1 1 0 1011 0 1 0 0 1 1 1101 1 0 1 0 0 1 1111 1 1 0 1 0 0 表表8.1（7，3）线性分组码）线性分组码（7，3）线性分组码有）线性分组码有23个许用码字或合法码字，另有个许用码字或合法码字，另有2723个禁用码字。发方发送的是许用码字，若收方收到的个禁用码字。发方发送的是许用码字，若收方收到的是禁用码字，则说明传输中发生了错误。是禁用码字，则说明传输中发生了错误。为了深化对线性分组码的理论分析，与线性空间联系起为了深化对线性分组码的理论分析，与线性空间联系起来。来。将（将（n，k）

14、线性分组码的定义如下：线性分组码的定义如下：定义定义8.1 2k个个n重的集合重的集合C称为线性分组码，当且仅当它是称为线性分组码，当且仅当它是n维线性空间维线性空间Vn中的一个中的一个k k维子空间。维子空间。（n，k）线性分组码的线性分组码的2k个码字组成了个码字组成了n维线性空间维线性空间Vn的一的一个个k维子空间，因此这维子空间，因此这2k个码字完全可由个码字完全可由k个线性无关的矢个线性无关的矢量所组成的基底所张成。量所组成的基底所张成。设此设此k个矢量为个矢量为c1，c2，ck:c1（g1,n-1，g1,n-2，g1,0）c2（g2,n-1，g2,n-2，g2.0）ck（gk,n-

15、1，gk,n-2，gk,0）（n，k）码中的任一码字码中的任一码字ci，均可由这组基底的线性组合生成：均可由这组基底的线性组合生成：(8 (85)5)0,2,1,0,22,21,20,12,11,121knknknnnnknnniigggggggggmmmG Gm mc c写成矩阵形式：写成矩阵形式：(8 (84)4)0,2,1,0,22,21,20,12,11,1knknknnnngggggggggk21c cc cc cG G信息组信息组 码码 字字 0000 0 0 0 0 0 0 0010 0 1 1 1 0 1 0100 1 0 0 1 1 1 0110 1 1 1 0 1 0 10

16、01 0 0 1 1 1 0 1011 0 1 0 0 1 1 1101 1 0 1 0 0 1 1111 1 1 0 1 0 0 表表8.1（7，3）线性分组码）线性分组码 定义定义8.2 若信息组以不变的形式，在码字的任意若信息组以不变的形式，在码字的任意k位中出现位中出现的码，称为系统码；否则，称为非系统码。的码，称为系统码；否则，称为非系统码。说明：说明：常见系统码有两种形式：常见系统码有两种形式：（1 1）、信息组排在码字的最左边）、信息组排在码字的最左边k k位；（本教材采用）位；（本教材采用）（2 2）、）、信息组排在码字的最右边信息组排在码字的最右边k位；位；一个系统码的生成矩

17、阵一个系统码的生成矩阵G，其左边，其左边k行行k列应是一个列应是一个k阶单位方阵阶单位方阵Ik 因此生产矩阵因此生产矩阵G表示为：表示为：其中，其中，P是一个是一个 阶矩阵。阶矩阵。QIGk)(knkQ为为kr阶矩阵阶矩阵,Ik为为k阶单位阵，称为阶单位阵，称为典型生成矩阵典型生成矩阵。8.2.2 校验矩阵校验矩阵 表表8.1所示所示（7，3）线性分组码的四个校验元是由线性分组码的四个校验元是由(83)式所示的线式所示的线性方程组决定的。把性方程组决定的。把(8(83)3)式移项：式移项：上式写成矩阵形式得上式写成矩阵形式得00000451562456346ccccccccccccc00001

18、0001100100011001011100011010123456ccccccc这里的四行七列矩阵称为（这里的四行七列矩阵称为（7，3）码的一致校验矩阵，简称）码的一致校验矩阵，简称校验矩阵校验矩阵，用，用H表示：表示：1000110010001100101110001101H H 由由H矩阵得到的（矩阵得到的（n，k）线性分组码的每一码字线性分组码的每一码字ci，（i i1 1，2 2，2k），），都必须满足由都必须满足由H矩阵各行所确定的线矩阵各行所确定的线性方程组，即性方程组，即 c ci iH H T T0 0 (8 (88)8)或或 H Hc ci iT T0 0T T (8 (8

19、9)9)又，（又，（n n，k k）线性分组码的生成矩阵线性分组码的生成矩阵G G中的每一行及其线性组中的每一行及其线性组合都是（合都是（n n，k k）码的码字，所以有码的码字，所以有 G GH H T T0 0 (8 (810)10)或或 HG T0T (8 (811)11)系统码的校验矩阵系统码的校验矩阵H H具有以下形式：即具有以下形式：即 rIPH 一个系统码的校验矩阵一个系统码的校验矩阵H，其右边，其右边r行行r列应是一个列应是一个r阶单位方阵阶单位方阵Ir，而而PT是一个是一个 阶矩阵阶矩阵：kkn)(TQP 8.2.3 编码的实现编码的实现 设码的设码的G矩阵为矩阵为0,2,1

20、,0,22,21,20,12,11,1kknkknkknknknknkpppppppppI IG G当信息组当信息组m（mn-1mn-2 mn-k）时，相应的码字时，相应的码字c是是 c mG（cn-1 cn-2 c1 c0）cj mn-1 p1,j+mn-2 p2,j+mn-k pk,j 0 j nk cjmj nk j n1 其中其中图8.4 （n，k）线性分组码编码电路 编码实现电路如图编码实现电路如图8.4所示。电路由移位寄存器、模二加法器和模所示。电路由移位寄存器、模二加法器和模二乘法器组成二乘法器组成根据图根据图8.4的电路，可画出的电路，可画出（7，3）线性分组码的编码线性分组码

21、的编码器电路，如图器电路，如图8.5。图图8.5 8.5 （7,37,3）线性分组码编码电路）线性分组码编码电路 8.3 8.3 伴随式与译码伴随式与译码 8.3.1 码的距离和重量码的距离和重量 定义定义8.5 一个码的最小距离一个码的最小距离dmin定义为定义为 (8 (813)13),(,),(minminknjiddjijic cc cc cc c 定义定义8.4 码字中码字中非零码元的个数，非零码元的个数，称为该码字的汉明称为该码字的汉明重量，简称重量，重量，简称重量，用用w（c）表示。表示。定义定义8.3 两个两个码字码字之间，对应位取值之间，对应位取值不同的个数，称为不同的个数，

22、称为它们之间的它们之间的汉明汉明距距离，简称距离，用离，简称距离，用d d（c1，c 2）表示。表示。码的距离和重量满足以下不等码的距离和重量满足以下不等 d d（c 1，c 2）d d（c 1 1，c 3 3）d d（c 3 3，c 2 2）(8 (814)14)w（c 1 1c 2 2）w（c 1 1）w（c 2 2）(8 (815)15)定理定理8.1 线性分组码的最小距离等于其非零码字的最小重线性分组码的最小距离等于其非零码字的最小重量。量。根据定理，要得到码的最小距离，只要检查根据定理，要得到码的最小距离，只要检查2k1个非零个非零码字的重量即可。码字的重量即可。当当 当生成矩阵给定

23、时，当生成矩阵给定时，线性分组码有如下性质线性分组码有如下性质：（1 1）零向量；）零向量；（2 2）任意两码字的和仍是一个码字；）任意两码字的和仍是一个码字；（3 3）任意码字）任意码字 是是 的行向量的行向量 的线性组合；的线性组合；（4 4）线性分组码的最小距离等于最小非零码字重量。）线性分组码的最小距离等于最小非零码字重量。110,kgggcG信息组信息组 码码 字字 0000 0 0 0 0 0 0 0010 0 1 1 1 0 1 0100 1 0 0 1 1 1 0110 1 1 1 0 1 0 1001 0 0 1 1 1 0 1011 0 1 0 0 1 1 1101 1 0

24、 1 0 0 1 1111 1 1 0 1 0 0 表表8.1（7，3）线性分组码）线性分组码 事实上，两个码字之间的距离表示了它们之间差别的大小。事实上，两个码字之间的距离表示了它们之间差别的大小。因此，一个线性分组码的最小距离是衡量码抗干扰能力的因此，一个线性分组码的最小距离是衡量码抗干扰能力的重要参数。码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。重要参数。码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。8.3.2 线性码的纠检错能力线性码的纠检错能力 该定理是纠错码理论中最重要的基本定理之一，它说该定理是纠错码理论中最重要的基本定理之一，它说明了一个距离为明了一个距离为d的线性分组码，既可用来纠正的线性分组

25、码，既可用来纠正个错误，又可用来检测个错误，又可用来检测e d1个错误。个错误。21dt定理定理8.2 对于任一个（对于任一个（n，k）线性分组码，若要在码字线性分组码，若要在码字内内 检测检测e个错误，则要求码的最小距离个错误，则要求码的最小距离d e1；纠正纠正t个错误，则要求码的最小距离个错误，则要求码的最小距离d 2t1；纠正纠正t个错误同时检测个错误同时检测e（t）个错误，则要求个错误，则要求d te1。定理定理8.3 （n，k）线性分组码有最小距离为线性分组码有最小距离为d的充的充要条件，是要条件，是H矩阵中任意矩阵中任意d1列线性无关。列线性无关。推论推论8.4 （n，k）线性分

26、组码的最大的，可能线性分组码的最大的，可能的最小距离等于的最小距离等于n k1。由此定理可知，所有列相同，但排列位置不同的各种由此定理可知，所有列相同，但排列位置不同的各种H矩阵所对应的不同（矩阵所对应的不同（n，k）线性分组码，都有相同的线性分组码，都有相同的最小距离，即它们在纠错能力和码率上是完全等价的。最小距离，即它们在纠错能力和码率上是完全等价的。8.3.3 伴随式伴随式 由于信道中噪声的影响，由于信道中噪声的影响，y序列中的某些码元可能与序列中的某些码元可能与c序序列中对应码元的值不同，有列中对应码元的值不同，有 yce (8(816)16)称称e为信道的为信道的错误图样错误图样。（

27、n，k）码的任一码字，均满足码的任一码字，均满足(88)式或式或(89)式，因式，因此，可以将接收码字此，可以将接收码字y用二式中之任一式进行检验：用二式中之任一式进行检验：(8(817)17)TTTTTHHHHHe ee ec ce ec cy y)(令令 s s=y y.H H T T=e e.H H T T (8 (818)18)称为接收序列的称为接收序列的伴随式伴随式或校正子。或校正子。当当s 0时，译码器要做的就是如何从伴随式时，译码器要做的就是如何从伴随式s中找到错误中找到错误图样，从而译出发送的码字。图样，从而译出发送的码字。得到（得到（n，k）线性分组码的译码步骤如下：线性分组

28、码的译码步骤如下：若若s=0，则认为收到的则认为收到的y没有错误；否则认为没有错误；否则认为有错，并查译码表，由有错，并查译码表，由s找出错误图样找出错误图样 ；e eTH Hy ys s 由接收到的由接收到的y计算伴随式计算伴随式 ；由和由和y计算计算 ，就作为纠错后的判决码就作为纠错后的判决码字输出。字输出。e ey yc cc c8.3.4 线性分组码的译码线性分组码的译码 8.4 8.4 汉明码汉明码 8.4.1 汉明码的构造汉明码的构造 定义定义8.6若若H矩阵的列是由非全零且互不相矩阵的列是由非全零且互不相同的所有二进制同的所有二进制r重组成，则由此得到的线性重组成，则由此得到的线

29、性分组码，称为分组码，称为GF(2)上的（上的（2r1，2r1r）汉明码。汉明码。8.4.2 汉明限与完备码汉明限与完备码 一个二进制（一个二进制（n，k）线性分组码，若要纠正线性分组码，若要纠正t个错误，则个错误，则应使小于或等于应使小于或等于t个错误所组成的所有错误图样，都必须有不个错误所组成的所有错误图样，都必须有不同的伴随式与之对应，即以下不等式成立：同的伴随式与之对应，即以下不等式成立：(8 (820)20)式式(820)称为称为汉明限汉明限。tiknintnnn0102 如果某一（如果某一（n，k）线性分组码能使线性分组码能使(8(820)20)式等号成立，式等号成立，即错误图样总

30、数正好等于伴随式数目，则称这种码为即错误图样总数正好等于伴随式数目，则称这种码为完备完备码码。如果一个（如果一个（n，k）线性分组码，除了能将重量小于等于线性分组码，除了能将重量小于等于t的所有错误图样作为陪集首外，还有部分（但不是全部）的所有错误图样作为陪集首外，还有部分（但不是全部）重量大于重量大于t的错误图样作为陪集首，则称这种码为的错误图样作为陪集首，则称这种码为准完备码准完备码。本章的主要内容是：本章的主要内容是：本本 章章 小小 结结l l（3）线性分组码的检纠错能力：汉明距离和汉明重量，）线性分组码的检纠错能力：汉明距离和汉明重量，码的最小距离，码的最小距离与检纠错能力的关系，距

31、离码的最小距离，码的最小距离与检纠错能力的关系，距离为为d的线性分组码的构造，的线性分组码的构造，MDSMDS码。码。l l（2）线性分组码的编码：线性分组码的定义，生成矩阵）线性分组码的编码：线性分组码的定义，生成矩阵和校验阵的构成，系统码的生成矩阵和校验矩阵，对偶码和校验阵的构成，系统码的生成矩阵和校验矩阵，对偶码，编码实现电路。，编码实现电路。l l（1）纠错码的基本概念：信道纠错编码及其目的，差错）纠错码的基本概念：信道纠错编码及其目的，差错控制系统的三种实现方式，检错码与纠错码，分组码与卷控制系统的三种实现方式，检错码与纠错码，分组码与卷积码，随机错误与突发错误。积码，随机错误与突发错误。l l（5）汉明码：汉明码的定义，构造一个汉明码，汉明限，）汉明码：汉明码的定义，构造一个汉明码，汉明限，完备码与准完备码。完备码与准完备码。l l（4）伴随式与译码：错误图样，接收序列的伴随式，）伴随式与译码：错误图样，接收序列的伴随式，码的标准阵列的构成，选择陪集首，将标准阵列简化为译码的标准阵列的构成，选择陪集首，将标准阵列简化为译码表，线性分组码的译码步骤。码表，线性分组码的译码步骤。