数学史融入中学数学教学实践与案课件.pptx

1、汪晓勤汪晓勤华东师范大学教师教育学院华东师范大学教师教育学院数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例杭州杭州 2017-04-27数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结语 如何在数学教学中体现如何在数学教学中体现“立德树人立德树人”的根本任务，如何实的根本任务，如何实施数学学科德育，日益受到人们的关注。施数学学科德育，日益受到人们的关注。国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情感，而国内目前的数学核心素养

2、框架中并未涉及数学情感。感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。数学史与数学教育之间的关系（数学史与数学教育之间的关系（HPM）是今日数学教育）是今日数学教育领域的热门课题。领域的热门课题。数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的中学一线教师对越多的中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。产生浓厚兴趣。如何设计、实施、评价如何设计、实施、评价HPM课例？课例？HPM视角下的数学教视角下的数学教学实践是否可以促进教师的专业发展？学实践是否可以促进教师的专业发展？背背 景景 为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？为什么

3、要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？背背 景景数学史料数学史料 人物事人物事件件 概念术概念术语语 数学问数学问题题 公式定公式定理理 学科思学科思想想 工具符工具符号号选材原则选材原则 趣味性趣味性 可学性可学性 科学性科学性 有效性有效性 新颖性新颖性运用方式运用方式 附加式附加式 复制式复制式 顺应式顺应式 重构式重构式效果评价效果评价 知识之知识之谐谐 方法之方法之美美 探究之探究之乐乐 能力之能力之助助 文化之文化之魅魅 德育之德育之效效背背 景景教师专业发展教师专业发展信念信念知识知识能力能力教学取向的数学知识（教学取向的数学知识（MKT）的构成）的构成背背 景景HPM课例

4、的设计、实施和评价课例的设计、实施和评价数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结语u教学设计教学设计引入 古埃及一元一次方程问题古埃及一元一次方程问题探究 古希腊丢番图问题的求解古希腊丢番图问题的求解形成形成 用字母表示任意数或一类数用字母表示任意数或一类数巩固 字母表示数的应用字母表示数的应用小结小结 字母表示数的意义字母表示数的意义案例1 用字母表示数案例1 用字母表示数问题问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。21133327xxxx案例1 用字母表示

5、数问题问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人古巴比伦人修辞代数：修辞代数：用文字来表达用文字来表达一个方程一个方程丢番图丢番图缩略代数：缩略代数：用字母表示未用字母表示未知数知数符号代数符号代数用字母表示任用字母表示任意数意数韦韦 达达案例1 用字母表示数案例1 用字母表示数问题问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：任意多个正方形所需火柴棍数：生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数正方形个数-1)3案例1 用字母表示数 知识之谐知识之谐经历从字母表示未知数到字母经历从字母表示未知数到

6、字母表示任意数的自然过程表示任意数的自然过程 探究之乐探究之乐积累数学活动经验积累数学活动经验 文化之魅文化之魅字母表示数的历史字母表示数的历史 德育之效德育之效数学思想发展的曲折与艰辛数学思想发展的曲折与艰辛学学 生生教教 师师 内容与课程知识（内容与课程知识（KCC）字母表示数的历史字母表示数的历史 内容与学生知识（内容与学生知识（KCS）从字母表示未知数到字母表从字母表示未知数到字母表示任意数的困难示任意数的困难 内容与教学知识（内容与教学知识（KCT）借鉴代数学的历史来设计教借鉴代数学的历史来设计教学学太上感应篇太上感应篇“入重入重出轻出轻”的的故事故事。案例2 反比例函数 引入引入案

7、例2 反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和和n不变不变,b和和m之间的正比例关系之间的正比例关系 新课探究新课探究案例2 反比例函数a和和m不变不变,b和和n之间的反比例关系之间的反比例关系数据a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200总结：当n增加时，b却减少，b随n的增加而减小。且满足bn=am=非零常数，b与n成反比例。案例2 反比例函数定义：设b=y，n=x，则y=k/x。形如y=k/x（k为常数，且k 0）的函数成为反比例函数，其中x是自变

8、量，y是x的函数，k是比例系数。概念形成概念形成辨析：（1）对“形如”怎样理解？（2）怎样理解“k为常数，且k 0”？（3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？（4）为什么成为反比例函数？u教学设计教学设计引入 笛卡儿的故事笛卡儿的故事探究 如何表示天花板上的苍蝇的位置？如何表示天花板上的苍蝇的位置？形成形成 直角坐标的概念直角坐标的概念巩固 在直角坐标系中求点的坐标在直角坐标系中求点的坐标小结小结 直角坐标系的意义直角坐标系的意义案例 3 直角坐标系从那天起，当它们臆测从那天起，当它们臆测又一个真理揭开了面容又一个真理揭开了面容在地狱般的圈栏在地狱般的圈栏暴发出一阵阵哀鸣暴发出一阵阵哀鸣案

9、例 3 直角坐标系缪斯女神把这光芒馈赠缪斯女神把这光芒馈赠毕达哥拉斯要把祭礼行毕达哥拉斯要把祭礼行百牛烤熟又切片百牛烤熟又切片难表心中感激之情难表心中感激之情难阻真理发现者的暴行难阻真理发现者的暴行毕氏让它们永不得安宁毕氏让它们永不得安宁它们瑟瑟颤抖着它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛绝望地闭上了眼睛 复习旧知：数轴的三要素复习旧知：数轴的三要素；笛卡儿的故事；笛卡儿的故事；问题问题1：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬5cm，如何，如何表示它的位置？表示它的位置？问题问题2：苍蝇向左爬：苍蝇向左爬5cm，如何，如何表示它的位置？表示它的位置？案例 3 直角坐标系 问题问题3：苍蝇向上爬：苍蝇向上爬5cm，如

10、何表示它的位置？如何表示它的位置？问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm，再向上再向上5cm，如何表示它的，如何表示它的位置？位置？S：用：用+3表示。表示。T：那如果苍蝇向上爬了：那如果苍蝇向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置，又如何表示它的位置呢？呢？S：还是：还是+3。T：可是，苍蝇的位置明明：可是，苍蝇的位置明明不同啊？不同啊？案例 3 直角坐标系 问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？案例 3 直角坐标系S：用：用8来表示。来表示。T：那么如果苍蝇先向右爬：那么如果苍蝇先向右爬4cm，再向上爬再向上爬4cm，那你

11、怎么表示？，那你怎么表示？S：还是：还是8。T：不同的位置，但是你却用：不同的位置，但是你却用同同一一个个数来表示，同学们觉得这样数来表示，同学们觉得这样可行吗？可行吗？S：不可行。：不可行。问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？案例 3 直角坐标系S：用：用“5垂直于垂直于3”表示。表示。T：那如果苍蝇向左爬了：那如果苍蝇向左爬了3cm，再向上爬了，再向上爬了5cm呢？呢？S：“5垂直于垂直于-3”。T：这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么能不能再简练一点呢？能不能再简练一点呢？S

12、：5 3。S：5.3。S：5/3。问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？T：还有其他表示方法吗？：还有其他表示方法吗？有两组学生开始用量角器与直尺有两组学生开始用量角器与直尺S7：北偏东北偏东50。T：T：我们将：我们将5垂直于垂直于3表示为（表示为（3,5）。）。案例 3 直角坐标系案例 3 直角坐标系 知识之谐知识之谐经历坐标概念的自然发生过程经历坐标概念的自然发生过程 探究之乐探究之乐体验成功的快乐、积累数学活体验成功的快乐、积累数学活动经验动经验 文化之魅文化之魅数学与现实生活之间的联系数学与现实生活之间的联系 德育之效德

13、育之效兴趣、自信心、亲近数学兴趣、自信心、亲近数学学学 生生教教 师师 内容与课程知识（内容与课程知识（KCC）直角坐标系的历史直角坐标系的历史 内容与学生知识（内容与学生知识（KCS）从一维到二维的困境从一维到二维的困境 内容与教学知识（内容与教学知识（KCT）借鉴坐标概念的历史来设计借鉴坐标概念的历史来设计教学教学 水平内容知识（水平内容知识（HCK）直角坐标系与数轴的联系直角坐标系与数轴的联系案例4 函数的概念函数概念的历史函数概念的历史总之有自变量、因总之有自变量、因变量且一变量且一个个 x 有且有且仅有一个仅有一个 y 的值与的值与其对应的式子其对应的式子案例4 函数的概念师师：关于

14、函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？引入引入L.Euler(1707 1783)案例4 函数的概念 欧拉的函数定义欧拉的函数定义(1748)：一个变量的函数是由该变量一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式和一些数或常量以任何方式组成的解析式。组成的解析式。无穷分析引论无穷分析引论 德摩根代数学德摩根代数学的定义的定义(1837)：A.de Morgan(1806-1871)案例4 函数的概念Any expression which contains x in any way is called a function of x.李善兰李善兰的译

15、文：的译文：“凡式中含天，凡式中含天，为天之为天之函数函数。”这便是中文这便是中文“函数函数”名称的由来。名称的由来。案例4 函数的概念例例1(课本课本)：表表1列出了列出了男子一百米栏项目男子一百米栏项目从从1900年开始年开始的世界纪录的世界纪录创立的时间和成就，创立的时间和成就，请请思考：思考：（1）统计表中有统计表中有哪哪几个变量？是什么？几个变量？是什么？（2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出成绩随时间变化的关系式吗？成绩随时间变化的关系式吗？年份年份1900190819201936195919731993200

16、6成绩成绩15.41514.814.213.213.112.9112.88男子男子100米栏世界纪录统计表米栏世界纪录统计表案例4 函数的概念概念生成概念生成 从从“解析式解析式”到到“变量依赖关系变量依赖关系”案例4 函数的概念问题问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？如果某个量依赖于另一个量，如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。量称为后面这个量的函数。微分学基础微分学基础L.Eul

17、er(1707 1783)案例4 函数的概念 欧拉欧拉的新定义（的新定义（1755）：）：案例4 函数的概念例例2：y=0(x R)是不是一个函数？说明理由。是不是一个函数？说明理由。师师：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等，初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等，在这些函数中，变量在这些函数中，变量 y 与与 x 之间就有明确的依赖关系。之间就有明确的依赖关系。但是，利用但是，利用“依赖关系依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美来刻画函数，是否尽善尽美了呢？了呢？从从“变量依赖关系变量依赖关系”到到“变量对应关系变量对应关系”课前的问卷调查表明：课前的问卷调查表明：161人中有人中有65

18、人认为它不是函数关系，占比人认为它不是函数关系，占比40.37%。理由是：。理由是：y 不随不随 x 的变化而变化；的变化而变化；没有没有 y 与与 x 的关系式；的关系式；x 与与 y 之间没有关系；之间没有关系；y没有依赖没有依赖 x 的变化而改变，的变化而改变，是60%否40%案例4 函数的概念例例2：y=0(x R)是不是一个函数？说明理由。是不是一个函数？说明理由。师师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重新审视函数 y=0(x R)，无论 怎样变化，的值都是以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之意，也就是对每一个 的值，都有 的值0与之对应。我们能否从这样一个新的视角

19、来理解前面遇到的例子呢？生生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对应。案例4 函数的概念师师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2 呢？生生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。师师：我们还发现，对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？生生：以上函数关系中，对变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一确定的值与之对应。案例4 函数的概念师师：那么，能不能用集合的语言

20、和对应关系来描述初中所学的函数概念呢？生生：如果在某个变化的过程中有两个变量 x 和 y，对于某个实数集合 D 内的每一个确定的 x，y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和 x 对应的 y 的值叫做函数值。师师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提出的函数定义。案例4 函数的概念 狄利克雷的现代定义（狄利克雷的现代定义（1837）：）：设设 a、b 是两个确定的值，是两个确定的值，x 是可取是可取 a、b 之间一切值的之间一切值的变量。如果对于每一个变量。如果对于每一个 x，有唯一有限的有唯一有限的 y 值与它对应

21、值与它对应,当当x连续变化时，连续变化时，y 也随之变也随之变化那么化那么 y 叫做叫做 x 的函数。的函数。L.Dirichlet（1805-1859）案例4 函数的概念案例4 函数的概念师师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把它统称为“对应法则”。例如表1中，14.2与1936对应，1973有唯一的13.1与之对应，这个表表格格就是一个对应法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的对应关系呢?生生：图2的沪指变化图图像像就是一种对应法则。生生：函数 y=2x2，这个解析式解析式就是一种对应法则。案例4 函数的概念 3 4096 32

22、768案例5 对数的概念计算：计算：1 16 256 2 256 4096案例5 对数的概念x1234567891024816326412825651210242xx11121314151617182048409681921638432768655361310722621442xx1920212223245242881048576209715241943048388608167772162xx252627282933554432671088641342177282684354565368709122xx3031323310737418242147483648429496729685899345

23、922xmnm+nMN=MN案例5 对数的概念299792.45831536000+光在真空中的速度光在真空中的速度 （千米（千米/秒秒)一年的秒数一年的秒数=1光年光年一个天文单位一个天文单位29979245831536 179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例案例5 对数的概念对数的概念计算：计算：案例5 对数的概念x11121314151617182048409681921638432768655361310722621442xx25262728293355443267108864134217728268

24、4354565368709122x31536299792458案例5 对数的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.33114.9450031537.7031532768.0002x2log 31536我们需要创造新数！我们需要创造新数！31536.000几何原本几何原本卷卷11之棱柱定义之棱柱定义 一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。案例 6 棱柱的概念Wentworth&Smith(

25、1913)之棱柱之棱柱定义：定义：有两个面为平行平面上的全等多边形、其他面均为平行四边形的多边形叫棱柱。案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念421021124051015202530354045欧氏定义改进的欧氏定义基于棱锥的定义基于棱的定义基于棱柱面的定义基于棱柱空间的定义历史上的棱柱定义分布历史上的棱柱定义分布0246810121416181829-1848 1849-1868 1869-1888 1889-1908 1909-1929欧氏定义改进的欧氏定义棱柱面定义棱锥定义棱柱空间定义案例 6 棱柱的概念棱柱定义的演进棱柱定义的演进 Schuyler(1876)最早最早对欧对欧氏定义

26、进行改进。氏定义进行改进。棱柱是一个多面体，它有棱柱是一个多面体，它有两个面为全等、平行的多两个面为全等、平行的多边形且对应边平行，其余边形且对应边平行，其余各面均为以全等多边形对各面均为以全等多边形对应边为底的平行四边形。应边为底的平行四边形。案例 6 棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定义：棱柱是这样的多面体，它的两棱柱是这样的多面体，它的两个面为平行平面上的全等多边个面为平行平面上的全等多边形，其余各面均为平行四边形、形，其余各面均为平行四边形、且有一组对边分别为这两个全且有一组对边分别为这两个全等多边形的对应边。等多边形的对应边。案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念

27、尝试对空间几何体进行归类尝试对空间几何体进行归类案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念师师：我们身边有各种各样的空间几何体，下面请大家将下列几何体按照一定的特征进行分类。生生：根据有没有曲面，、和为一类，、和为一类。案例 6 棱柱的概念师师：很好，像、和这些几何体，是由什么图形围成的？生生：平面多边形。师师：这些几何体就叫做多面体。师师：像、和这些几何体可以由一个平面图形绕其平面内一条定直线旋转而围成，它们叫做旋转体。师师：如果将、和这些多面体再细分的话，应该怎么分呢？生生：我根据上下两头的大小，认为、为一类，、为一类，是一类，是一类。案例 6 棱柱的概念师师：很好，大家都同意他的意见吗？生

28、生：我认为与、是同一类，因为它们都不是尖的。（犹豫一下）但是好像又不能归为一类，毕竟上下不一样大，侧面是梯形。师师：很好，其实、就是棱柱，、是棱锥，是棱台，而这三类几何体是多面体中最基本、最简单的几何体。下面，我们逐个对棱柱、棱锥、棱台进行研究。首先，我们来研究棱柱的结构特征。案例 6 棱柱的概念 棱柱定义的初步构建棱柱定义的初步构建让学生用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱下一给棱柱下一个定义个定义。教师强调：定义必须真正刻画出棱柱这一类几何体，而不会产生意外。经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学生的定义分成7类，分别用D1、D2、D7表来示，见下表。案例 6 棱柱的概念类别类别定义

29、定义属性属性D1上下面相同且平行的多面体叫棱柱。底面特征D2两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。边形。底面、侧面特征底面、侧面特征D3侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。底面、侧棱特征D4有互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。底面、侧棱特征D5至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。底面、侧面、侧棱特征D6上下有两个平行并相等的多边形，并由相对不平行的线段将上下各点平行相连的柱体。动态生成D7由一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。动态生成案例 6 棱柱的概念 棱

30、柱定义的不断完善棱柱定义的不断完善师师：满足条件D1的多面体是棱柱吗？生生：不是，就是反例。师师：看来只规定上下两个面的属性是不够的，那如何完善呢？生生：侧面都是平行四边形。师师：很好，这就是D2（屏幕投影D2），我们来看看，满足条件 D2 的几何体是不是棱柱呢？D1：上、下面相同且平行的多面体叫棱柱。D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。案例 6 棱柱的概念教师逐一将“棱柱类”实物进行验证，发现侧面都是平行四边形，绝大多数学生也开始相信 D2 是正确的。生生：将两个像这样的棱柱叠在一起，让它们“扭”一下，也许是个反例。师师：你能利用现有的教具将反例构造出来吗？学生用斜棱柱拼接

31、形成一个反例学生用斜棱柱拼接形成一个反例案例 6 棱柱的概念生生：这个不算反例，因为它本质上是两个棱柱。师师：很好，看来有同学对这个反例不满意，毕竟它是可以分解成两个棱柱。师师：其实，D2与历史上伟大的数学家欧几里得的定义是一致的。几何原本几何原本卷卷11之棱柱定义之棱柱定义 一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。PPT放映欧几里得的画像、生平以及几何原本中的棱柱定义。案例 6 棱柱的概念生生：哇，好神奇！它符合D2，但一点棱柱的影子都没有。师师：是的，但是它可以分解成4个棱柱。学生们用期待的眼神看着教师，迫切想见证奇

32、迹的发生。教师用事先制作好的模型现场分解（如下图），学生惊呆了。教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念生生：（惊叹）竟然是4个棱柱！师师：对，这就是立体几何的奇妙之处。看来把棱柱当成最基础、最简单的几何体来研究是非常有必要。师师：既然 D2 规定了底面的特征以及侧面是平行四边形还不够，那么如何修改呢？生生：加上“侧棱都平行”这个条件。师师：很好，如果加上“侧棱都平行”这个条件，棱柱的定义就完整了。但我们再仔细剖析一下，如果有了“侧棱都平行”这个条件，那么侧面一定会是平行四边形吗？生生：会的。案例 6 棱柱的概念师：所以，我们这时把“侧

33、面都是平行四边形”弱化成“侧面都是四边形”可不可以？生：可以。师：很好，这就是D5，也是教材上对棱柱的定义，下面请大家一起看教材。师：其实D3、D4都关注到了侧棱的特征，而D6、D7是从棱柱生成的角度定义了棱柱。历史上都有类似的定义（PPT上放映），有兴趣的同学课后自己去查阅资料。D5：至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。D3：侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。D4：互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。D7：一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案

34、例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结语案例案例8 三角形内角和三角形内角和从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现。三角形内角和的发现三角形内角和的发现案例案例8 三角形内角和三角形内角和师师：请同学们以小组为单位，分别用六个同样的等腰三角形（黄色）和六个同样的不等边三角形（红色）来拼图，感受泰勒斯当年的探究和发现过程。案例案例8 三角形内角和三角形内角和 等腰三角形拼图方案等腰三角形拼图方案案例案例8 三角形内角和三角形内角和 不等边三角形拼图方案不等边三角形拼图方案案例案例8 三角形内角和三角形内角和案例案例8 三角形内角和三角形内角和教师让学生在图中锁定某一

35、个三角形，通过添加辅助线来说理。按位置，六个三角形分别称为上左、上中、上右、下左、下中和下右三角形。各小组经过讨论之后，产生了多种方案。三角形内角和的说理三角形内角和的说理案例案例8 三角形内角和三角形内角和第第 1 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与毕达哥拉斯的证明相同 案例案例8 三角形内角和三角形内角和第第2组的方案组的方案：锁定下中三角形。与19世纪末美国教科书上的证明相同 案例案例8 三角形内角和三角形内角和第第 3 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与克莱罗的证明相同 案例案例8 三角形内角和三角形内角和第第 4 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与欧几里得的证明相同 案例案例8

36、 三角形内角和三角形内角和 方法之美方法之美三角形内角和定理的不同证明三角形内角和定理的不同证明 探究之乐探究之乐积累数学活动经验、体验成功积累数学活动经验、体验成功快乐快乐 文化之魅文化之魅三角形内角和定理的历史三角形内角和定理的历史 德育之效德育之效兴趣、自信心、亲近数学兴趣、自信心、亲近数学学学 生生教教 师师 内容与课程知识（内容与课程知识（KCC）三角形内角和定理的历史材三角形内角和定理的历史材料料 专门内容知识（专门内容知识（SCK）三角形内角和定理的发现与三角形内角和定理的发现与各种证明各种证明 内容与教学知识（内容与教学知识（KCT）借鉴定理的历史来设计教学借鉴定理的历史来设计

37、教学案例9 正弦定理同学们有没有想过，流星离我们有多远呢？像星星那样远吗？比月亮离得近吗？图5是某次测量的示意图，其中O是地球的球心，A、B是两个观测者所在的位置，相距500 km（球面距离）。AD、BD表示地平线，相交于点D。两人观测到同一颗流星C时的仰角分别为 =23.2，=44.3。问题是：流星距离两位观测者分别有多远呢？引入引入案例9 正弦定理 定理探究定理探究u直角三角形中的边角关系sinsinsinsinsinsinaAcbabcBcABCcCc，sinsinsinsinCDAAabCDBbBau 斜三角形中有同样结果吗？案例9 正弦定理 定理定理新证新证u 17世纪，中国清代数学

38、家和天文学家梅文鼎在平三角举要给出了另一种精彩的证明。sin:sin:CDEFABCD EFACBEBC BEBC ACa b梅文鼎梅文鼎(1633-1721)u韦达韦达(1571)的证明的证明案例9 正弦定理22sin2sinaBDBODA22sin2sinbAEAOEB22sin2sincAFAOFC:sin:sin:sinaAbBcC，故得 定理定理拓展拓展F.Viete（1540-1603)案例9 正弦定理 历史概说历史概说雷格蒙塔努斯梅文鼎纳绥尔丁韦达案例9 正弦定理 一个定理一个定理：正弦定理 两种方法两种方法；纳绥尔丁同径法和韦达的外接圆方法；三类应用三类应用：角边角、角角边、边

39、边角（一般含两个解）。四则启示四则启示：（1）数学源于实际问题；（2）数学发展逐渐完善；（3）数学方法丰富灵动；（4）多元文化精彩纷呈。课堂小结课堂小结数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结语案例10 全等三角形的应用 Thales(624 B.C.?-547?B.C.)泰勒斯泰勒斯出生于米利都，希腊七贤之一。青年时代曾游历埃及，利用竿影测量过金字塔的高度，利用全等三角形计算过轮船到海岸的距离。创立爱奥尼亚学派爱奥尼亚学派。最早将最早将几何学引入希腊，并将其变几何学引入希腊，并将其变为演绎科

40、学。被誉为为演绎科学。被誉为“几何几何学鼻祖学鼻祖”。u几何鼻祖泰勒斯几何鼻祖泰勒斯案例10 全等三角形的应用 对顶角相等；圆为直径所平分；三角形内角和定理；三角形内角和定理；等腰三角形底角相等；角边角定理角边角定理；半圆上的圆周角为直角；相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例u泰勒斯发现的几何命题泰勒斯发现的几何命题案例10 全等三角形的应用普罗克拉斯（普罗克拉斯（Proclus,5世纪）世纪）说：说：“欧得姆斯在其欧得姆斯在其几何史几何史中将该定理归于泰勒斯。因为中将该定理归于泰勒斯。因为他说，他说，泰勒斯证明了如何求出泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离海上轮船到海岸的距离，其

41、方，其方法中必须用到该定理。法中必须用到该定理。”Thalesu泰勒斯与角边角定理泰勒斯与角边角定理案例10 全等三角形的应用 直竿直竿 EF 垂直于地面，垂直于地面，在其上有一固定钉子在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕另一横杆可以绕 A 转动，转动，但可以固定在任一位置但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一将细竿对准岸上的某一点点C。则根据。则根据ASA定理，定理，DC=DB。u泰勒斯的测量方法泰勒斯的测量方法案例10 全等三角形的应用 16世纪意大利数学家贝里（世

42、纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于）出版于1565年的测年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。拿破仑军队在行军途中为一拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。中一直扮演者重要角色。案例10 全等三角形的应用u战争中的泰勒斯方法战争中的泰勒斯方法案例10 全等三角

43、形的应用在抗美援朝战争中，一名志在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用愿军战士利用泰勒斯的方法泰勒斯的方法测量敌营的距离。测量敌营的距离。u战争中的泰勒斯方法战争中的泰勒斯方法案例10 全等三角形的应用 巩固两个三角形全等的基本判定方法；巩固两个三角形全等的基本判定方法；经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学生学习的积极性和自信心；生学习的积极性和自信心；认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密切联系。切联系。感悟数学背后的

44、人文精神。感悟数学背后的人文精神。u教学目标教学目标案例10 全等三角形的应用 巩固两个三角形全等的基本判定方法；巩固两个三角形全等的基本判定方法；经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学生学习的积极性和自信心；生学习的积极性和自信心；认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密切联系。切联系。感悟数学背后的人文精神。感悟数学背后的人文精神。u教学目标教学目标案例10 全等三角形的应用探究之乐探究之乐 体验成功的快乐、积累数学体

45、验成功的快乐、积累数学活动经验活动经验文化之魅文化之魅 角边角定理的悠久历史；角边角定理的悠久历史；数学与现实生活之间的联系数学与现实生活之间的联系德育之效德育之效 人文精神与意志品质；人文精神与意志品质；倾听、合作、交流、包容倾听、合作、交流、包容学学 生生教教 师师内容与课程知识（内容与课程知识（KCC）全等三角形的历史全等三角形的历史内容与教学知识（内容与教学知识（KCT）借鉴全等三角形的历史来设借鉴全等三角形的历史来设计教学计教学水平内容知识（水平内容知识（HCK）全等三角形与相似三角形之全等三角形与相似三角形之间的联系；间的联系；案例11 解一元二次方程的配方法数学泥版数学泥版 YB

46、C 6967227607/2607/25xxx案例11 解一元二次方程的配方法几何原本几何原本卷卷2命题命题62222aax xax案例11 解一元二次方程的配方法花拉子米代数学花拉子米代数学2222103910539255643xxxxxx222210395104392525643xxxxxx 案例11 解一元二次方程的配方法 复习旧知复习旧知 2116;x 解一元二次方程：22536;x 2329x 用几何语言来表达上述方程。案例11 解一元二次方程的配方法 问题提出问题提出9世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代数学中提出以下问题：一平方与十根等于二十迪拉姆，求根一平方与十根等于二十迪拉姆，求

47、根。（解一元二次方程方程 ）21020 xx师师：在古代，开方就相当于“已知正方形面积求边长”。那么，这个问题是否也可以借助几何图形来解决呢？请同学们观察一下，这个方程的左边可以表示成什么图形？生生1：边长为x的正方形面积，再加上一个长和宽分别为x和10的长方形。方法引导方法引导案例11 解一元二次方程的配方法师师：将它们拼在一起，能得到什么图形？生生：长为x+10，宽为x的长方形。师师：请画到黑板上，让大家看看。生生1：在黑板上作出一个长方形。案例11 解一元二次方程的配方法师师：但问题又来了，这不是一个正方形，不能直接开平方吧。生生2：要把它变成一个正方形，用截补的方法。生生3：在黑板上将

48、生1所作的长方形补成正方形。案例11 解一元二次方程的配方法师师：我们一起来看看，此时这个图形的面积是怎么表示的？生生：表示为 x2+20 x+100。师师：对比一下原来的方程，这里的一次项与原方程有出入，怎么办？生生4：在等式右边也加上10 x。生生5：不行，这样不满足开平方法的特征呀。生生：左边满足，右边不行，加得太复杂了。师师：右边多了一次项，那怎么办？能不能不让它多出来？案例11 解一元二次方程的配方法生生5：在黑板上给出了一种作图法。案例11 解一元二次方程的配方法2545x师师：请生5说说你的具体做法。生生5：把长为x、宽为10的矩形一分为二，再把其中一半移到正方形的下方，最后补上

49、边长为5的小正方形。师师：太棒了！和花拉子米的做法完全一样。众生啧啧称奇。请同学们想一想，这相当于对原方程实施了怎样的操作呢？生生：。师师：我们最后得到的方程满足开平方法的特征。2222102010520545xxxx案例11 解一元二次方程的配方法 拓展理解拓展理解古巴比伦泥板上的问题古巴比伦泥板上的问题：已知两数乘积为10，差为4，求这两数，相当于解方程一元二次方程 x2-4x=10。教师让学生分小组讨论相应的几何方法。学生遇到了很大困难，一筹莫展！案例11 解一元二次方程的配方法最后，一个学生仿照一次项系数为正的情形解决了难题。2222241042102214xxxxx相应的配方过程：相应的配方过程：数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例背景背景概念与思想概念与思想公式与定理公式与定理问题与求解问题与求解结语结语数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史与教师数学史与教师MKT之间的密切关联之间的密切关联数学史数学史一般内一般内容知识容知识专门内专门内容知识容知识内容与内容与课程知课程知识识内容与内容与学生知学生知识识内容与内容与教学知教学知识识水平内水平内容知识容知识 一种模式一种模式 一个团队一个团队 一批案例一批案例 一条进路一条进路数学史融入中学数学教学的实践与案例谢谢聆听谢谢聆听