第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)(DOC 17页).doc

1、专题14人教A版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题寒假作业14（解析版）一导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：； ； 法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：换元，令，则分别求导再相乘回代三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有

2、。2.Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。四导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。五函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在

3、该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论该区间内为增函数； 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区

4、间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负

5、，则是极大值；若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极

6、大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0。但是，f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 的符号 单调性 与x轴的交点且交点两侧异号 极值 的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度） 的增 的每一点的

7、切线斜率增大（的图象的变化幅度快） 减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）一、单选题1下列求导运算正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据导数的运算公式与运算法则计算，对每个选项逐一分析.【详解】A. ，故A错；B. ，故B错；C. ，故C正确；D. ，故D错.故选：C.2已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.

8、3已知函数的导函数为，且，则（ ）ABCD【答案】D【分析】直接由导数定义可得答案.【详解】由导数定义和，得.故选：D.4已知函数在处的切线与y轴垂直，则实数m等于（ ）ABCD【答案】A【分析】由切线与y轴垂直知切线斜率为0，根据求解.【详解】由得因为切线与y轴垂直，所以切线斜率为0，则，.故选：A【点睛】判断切线斜率为0是解题的关键点.5一物体做直线运动，其位移与时间的关系是，则物体在时的瞬时速度为（ ）ABCD【答案】B【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果.【详解】由得：，当时，即物体在时的瞬时速度为.故选：B.6已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 （ ）ABCD【答案】C【分析

9、】根据导数的几何意义可求得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线的倾斜角为.故选：C7若函数的导函数为，且满足，则（ ）ABCD【答案】C【分析】求导得，再代入即可计算出.【详解】由题意，所以，得.故选：C.8函数在区间上的最大值是，最小值是，若，则（ ）A小于0B等于0C大于0D以上都有可能【答案】B【分析】由最大最小相等，可得是常数函数，即可得出结论.【详解】在区间上的最大最小相等，是常数函数，故选：B.9设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ）A的极值点一定是最值点B的最值点一定是极值点C在区间上可能没有极值点D在区间上可能没有最值点【答

10、案】C【分析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确故选：C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题10已知在上递增，则实数的范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】转化为导函数在给定区间上大于等于0恒成立，然后利用不等式恒成立的意义和二次函数的性质得解.【详解】由已知可得在上满足，即在上恒成立，由于在上的最小值为时取得，最小值为3，故选：D.【点睛】本题考查

11、利用导数判定函数的单调性问题，属基础题，关键是将函数的单调性问题转化为导数在给定区间上大于等于0恒成立问题.11如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】B【分析】通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案【详解】由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，知在，上，所以此时函数在，上单调递增，在上，此时在上单调递减，所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值则函数的极小值点的个数为1故选: B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题12已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（

12、 ）ABCD【答案】C【分析】计算，然后根据，可得，最后可得结果.【详解】由题可知：，则解得，.经检验，当，时，在处取得极大值，所以.故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.二、填空题13已知的导函数为，则_【答案】4【分析】求得函数的导数，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，则.故答案为：.14函数是R上的单调函数，则m的范围是_.【答案】【分析】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于或恒小于等于，而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可.【详解】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于则，故答案为：【点

13、睛】若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到15若点在曲线上，且，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【分析】利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】由题意知，切线的斜率所以，曲线在点处的切线方程为，即故答案为：16函数的最小值是_【答案】【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为.故答案为：三、解答题17（1）求导：（2）求函数在处的导数.【答案】（1）；（2）1；【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；（2

14、）求导后可得，再将代入即可得答案；【详解】（1）；（2）；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.18已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所

15、以，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.19已知函数，且.（1）求的值； （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.【详解】解：（1）因为，所以，因为,所以,解得所以.（2）由（1）可知，则，令，得,和的变化情况如下表：20极小值因为，所以函数在上的最大值为,所以，解得,所以,由上面可知在上单调递增，在上单调递减

16、；又因为，所以函数在上的最小值为.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.20已知函数（）求函数在点处的切线方程；（）求证：【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求切线方程先求导，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.（）所以则切线方程为（）令则设的两根为，由于不妨设则在是递减的，在是递增的，而所以在单调递增，所以，因为所以.点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.21已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若有两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2

17、）.【分析】（1）求出，然后解出不等式、即可；（2）将条件转化为方程在上有两个不等实根，然后可得，解出即可.【详解】（1）当时，当时，当时，或，此时为增函数，当时，此时为减函数，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）函数的定义域为函数有两个极值点，则，即方程在上有两个不等实根设，结合图象分析可得：，解得22函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在点处的切线斜率，进而可得切线方程；（2）对函数求导，判断其在给定区间的单调性，计算端点值比较大小，即可得出结果.【详解】（1）因为的定义域为，所以，因此，即曲线在点处的切线斜率为.又，所以曲线在点处的切线方程为，即；(2)因为，所以当时，即单调递减；当时，即单调递增；所以；又，而，所以在区间上的最大值为.【点睛】思路点睛：利用导数的方法求函数的最值时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出给定区间内的极值以及端点值，比较大小，即可求解.试卷第18页，总18页