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类型高考数学《数列》分类汇编及解析(DOC 35页).doc

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    1、高考数学数列分类汇编及解析一、选择题(共18题)1(北京卷)设,则等于(A)(B) (C) (D)解:依题意,为首项为2,公比为8的前n4项求和,根据等比数列求和公式可得D2(北京卷)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(A)b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9解:由等比数列的性质可得ac(1)(9)9,bb9且b与奇数项的符号相同,故b3,选B3(福建卷)在等差数列a中,已知a=2,a+a=13,则a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.45解:在等差数列中,已知 d=3,a5=14,=3a5=42,选B.4(广东卷)已

    2、知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为A.5 B.4 C. 3 D. 2解:,故选C.5(湖北卷)若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且,则A4 B2 C2 D4解:由互不相等的实数成等差数列可设abd,cbd,由可b2,所以a2d,c2d,又成等比数列可得d6,所以a4,选D6(湖北卷)在等比数列an中,a11,a103,则A. 81 B. 27 C. D. 243解:因为数列an是等比数列,且a11,a103,所以(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)(a1a10)43481,故选A7(江西卷)已知等差数列an的前n项和为Sn,若,且A、B、

    3、C三点共线(该直线不过原点O),则S200( )A100 B. 101 C.200 D.201解:依题意,a1a2001,故选A8(江西卷)在各项均不为零的等差数列中,若,则()解:设公差为d,则an1and,an1and,由可得2an0,解得an2(零解舍去),故2(2n1)4n2,故选A9(辽宁卷) 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A) (B) (C) (D)【解析】因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则即,所以,故选择答案C。【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。10(全国卷I)设是公差为正数的等差数列,若,则A B C D【解析】是公差为

    4、正数的等差数列,若,则, d=3,选B.11(全国卷I)设是等差数列的前项和,若,则A B C D【解析】是等差数列的前项和,若 ,选D.12(全国II)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则(A) (B) (C) (D)解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A【点评】本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般13(全国II)已知等差数列中,则前10项的和(A)100 (B)210 (C)380 (D)400解:d,3,所以 210,选B14(陕西卷)已知等差数列an中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.45解:在等差数列an中,a2+a8=8,

    5、 ,则该数列前9项和S9=36,选C.15(天津卷)已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,设(),则数列的前10项和等于()A55 B70C85D100解:数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,设(),则数列的前10项和等于=, =,选C.16(天津卷)设是等差数列,则这个数列的前6项和等于()12 24 36 48解:是等差数列, ,则这个数列的前6项和等于,选B.17(重庆卷)在等差数列an中,若aa+ab=12,SN是数列an的前n项和,则SN的值为(A)48 (B)54 (C)60 (D)66解:在等差数列中,若,则,是数列的的前n项和,则=54,选B. 1

    6、8(重庆卷)在等差数列中,若且,的值为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解:a3a7a5264,又,所以的值为8,故选D二、填空题(共7题)19(广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第堆第层就放一个乒乓球,以表示第堆的乒乓球总数,则;(答案用表示). 解:10,20(湖南卷) 若数列满足:,2,3.则. 解:数列满足:,2,3,该数列为公比为2的等比数列, .21(江苏卷)对正整数n,设曲线在x2处的

    7、切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是【思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式【正确解答】,曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。22(山东卷)设为等差数列的前n项和,14,S1030,则S9.解:设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意得,联立解得a1=2,d=1,

    8、所以S923(浙江卷)设为等差数列的前项和,若,则公差为(用数字作答)。【考点分析】本题考查等差数列的前项和,基础题。解析:设首项为,公差为,由题得【名师点拔】数学问题解决的本质是,你已知什么?从已知出发又能得出什么?完成了这些,也许水到渠成了。本题非常基础,等差数列的前项和公式的运用自然而然的就得出结论。24 (重庆卷)在数列an中,若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.解析:在数列中,若, ,即是以为首项,2为公比的等比数列,所以该数列的通项.25(重庆卷)在数列中,若,则该数列的通项 。解:由可得数列为公差为2的等差数列,又,所以2n1三、解答题(共29题)

    9、26(安徽卷)数列的前项和为,已知()写出与的递推关系式,并求关于的表达式;()设,求数列的前项和。解:由得:,即,所以,对成立。由,相加得:,又,所以,当时,也成立。()由,得。而,27(安徽卷)在等差数列中,前项和满足条件, ()求数列的通项公式;()记,求数列的前项和。解:()设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又,所以。()由,得。所以,当时,;当时,即。28(北京卷)在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.()举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);()若“绝对差数列”中,数列满足,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;()证明:任何“绝

    10、对差数列”中总含有无穷多个为零的项.解:(),(答案不惟一) ()因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限不存在. 当时, ,所以 ()证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下 假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1,要么比至少小1.令则由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.2

    11、9(北京卷)设等差数列an的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式;()若a16,a110,S1477,求所有可能的数列an的通项公式.解:()由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此,an的通项公式是an=222n,n=1,2,3()由得 即由+得7d11。即d。由+得13d1,即d于是d又dZ,故d=1将代入得10a112.又a1Z,故a1=11或a1=12.所以,所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,30。(福建卷)已知数列a满足a=1,

    12、a=2a+1(nN)()求数列a的通项公式;()若数列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;()证明:(nN*).解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。满分14分。(I)解:是以为首项,2为公比的等比数列。即(II)证法一:,得即,得即是等差数列。证法二:同证法一,得令得设下面用数学归纳法证明(1)当时,等式成立。(2)假设当时,那么这就是说,当时,等式也成立。根据(1)和(2),可知对任何都成立。是等差数列。(III)证明:31(福建卷)已知数列满足(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通

    13、项公式;(II)若数列满足证明是等差数列。解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。满分14分。(I)证明:是以为首项,2为公比的等比数列。(II)解:由(I)得(III)证明:,得即,得即是等差数列。32(广东卷)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为.(I)求数列的首项和公比;(II)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列,求的前10项之和;(III)设为数列的第项,求,并求正整数,使得存在且不等于零.(注:无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限)解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即

    14、数列的前10项之和为155.() =,=当m=2时,=,当m2时,=0,所以m=233(湖北卷)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。()、求数列的通项公式;()、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;点评:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。解:()设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上,所以3n22n.当n2时,anSnSn1(3n2

    15、2n)6n5.当n1时,a1S13122615,所以,an6n5 ()()由()得知,故Tn(1).因此,要使(1)()成立的m,必须且仅须满足,即m10,所以满足要求的最小正整数m为10.34(湖北卷)设数列的前n项和为,点均在函数y3x2的图像上。()求数列的通项公式;()设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力。解:(I)依题意得,即。当n2时,a;当n=1时,-21-1-61-5所以。(II)由(I)得,故=。因此,使得成立的m必须满足,即m10,故满足要求的最小整数m为10

    16、。35(湖南卷)在m(m2)个不同数的排列P1P2Pn中,若1ijm时PiPj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.()求a4、a5,并写出an的表达式;()令,证明,n=1,2,.解()由已知得,.()因为,所以. 又因为,所以 =.综上,.36(江苏卷)设数列、满足:,(n=1,2,3,),证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,)本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识,考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。证明:必要性,设是an公

    17、差为d1的等差数列,则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立。又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列。充分性: 设数列cn是公差为d2的等差数列,且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=(anan+2)+2 (an+1an+3)+3 (an+2an

    18、+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得(bn+1bn)+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,),由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3从而cn+1=4an+1+2an+25d3 ,两式相减得cn+1cn=

    19、2( an+1an) 2d3因此(常数) ( n=1,2,3,)所以数列an公差等差数列。【解后反思】理解公差d的涵义,能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.37(江西卷)已知数列an满足:a1,且an(1) 求数列an的通项公式;(2) 证明:对于一切正整数n,不等式a1a2an2n!解:(1)将条件变为:1,因此1为一个等比数列,其首项为1,公比,从而1,据此得an(n1)1(2)证:据1得,a1.a2an为证a1a2an2显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个nN*,有1()3用数学归纳法证明3式:(i) n

    20、1时,3式显然成立,(ii) 设nk时,3式成立,即1()则当nk1时,1()()1()()1()即当nk1时,3式也成立。故对一切nN*,3式都成立。利用3得,1()11故2式成立,从而结论成立。38(江西卷)已知各项均为正数的数列,满足:,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,求,并确定最小正整数,使为整数解:(1)条件可化为,因此为一个等比数列,其公比为2,首项为,所以1因an0,由1式解出an2(2)由1式有SnTn为使SnTn为整数,当且仅当为整数.当n1,2时,显然SnTn不为整数,当n3时, 只需为整数,因为3n1与3互质,所以为9的整数倍.当n9时,13为整数,故n的最小值为9

    21、.39(辽宁卷)已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列,且a0,d0.设1-上,在,将点A,B,C(I)求(II)若ABC有一边平行于x轴,且面积为,求a,d的值【解析】(I)解:令,得当时,;当时,所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II)的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2:又c0知在上的最大值为即:又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积

    22、为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力41(辽宁卷)已知等差数列的前项和为()求q的值;()若a1与a5的等差中项为18,bn满足,求数列的bn前n项和.解析:本小题考查数列的概念,等差数列,等比数列,对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分.()解法一:当时,,当时,.是等差数列,4分解法二:当时,当时,.当时,.又,所以,得.4分()解:,.又,8分又得.,即是等比数列.所以数列的前项和.

    23、41(全国卷I)设数列的前项的和,()求首项与通项;()设,证明:解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3, , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3,4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+1

    24、1)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0 , anan1=5 (n2) 当a1=3时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , a1=2, an=5n348(上海卷)已知有穷数列共有2项(整数2),首项2设该数列的前项和为,且2(1,2,21),其中常数1(1)求证:数列是等比数列;(2)若2,数列满足(1,2,2),求数列的通项公式;(3)若(2)中的数列满足不等式|4,求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a; 2n2k1时,

    25、 an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解:由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).(3)设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.49(上海卷)设数列的前项和为,且对任意正整数,。(1)求数列的通项公式(2)设数列的前项和为,对数列,从第几项

    26、起?.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.50(四川卷)已知数列,其中,(),记数列的前项和为,数列的前项和为。()求;()设(),(其中为的导数),计算。本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运算的能力,同时考查分类讨论的思想方法,满分12分。解:()由题意,

    27、是首项为,公差为的等差数列 前项和,() 51(四川卷)数列的前项和记为()求的通项公式;()等差数列的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分12分。解:()由可得,两式相减得又 故是首项为,公比为得等比数列 ()设的公比为由得,可得,可得故可设又由题意可得解得等差数列的各项为正,52(天津卷)已知数列满足,并且(为非零参数,)(1)若成等比数列,求参数的值;(2)当时,证明;当时,证明.本小题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力。满

    28、分14分。(I)解:由已知,且若、成等比数列,则,即。 而, 解得。(II)证明:由已知及,可得由不等式的性质,有另一方面,因此,故。(III)证明:当时,由(II)可知。又由(II)则 从而因此 53(天津卷)已知数列满足,并且(为非零参数,)()若成等比数列,求参数的值;()设,常数且证明本小题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力。满分14分。(I)解:由已知且若、成等比数列,则即而解得(II)证明:设由已知,数列是以为首项、为公比的等比数列,故则因此,对任意当且时,所以54(上海春)已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(1)若,求;(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?解:(1). (2), , 当时,. (3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围. 研究的结论可以是:由, 依次类推可得 当时,的取值范围为等.

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