历年高考数学真题汇编专题16-以基本不等式为背景的应用题(解析版)(DOC 15页).docx

1、历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角A

2、BE，ADE.(1) 该小组已测得一组，的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？规范解答 (1) 由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此算出的电视塔的高度H是124 m.(2) (1) 由题知dAB，则tan.由ABADBD，得tan，所以tan()，当且仅当d55时取等号又0，所以当d55时，tan()的值最大因为00)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求

3、炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力满分14分规范解答 (1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a0，所以炮弹可击中目标等价于存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立，即关于k的方程a2k220aka2640有正根，所以判别式(20a)24a2(a264)0，解得a6，所以0a6.所以当a不超过6km时，炮

4、弹可击中目标一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。题型一、与几何体有关的应用题以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特

5、色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。例1、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1) 求S关于x的函数关

6、系式；(2) 求S的最大值规范解答 (1) 由题设得S(x8)2x916，x(8,450)(6分)(2) 因为8x450，所以2x2 240，(8分)当且仅当x60时等号成立(10分)从而S676.(12分)答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(14分)例2、(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.

7、(1) 当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值 思路分析 (1) 纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2) 先猜想并证明ab时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值规范解答 (1) 当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x，周长为2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，(3分)故S(x)maxS.答：当a90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米(6分)(2) 纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.(8分)

8、因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x360x2900x)，x(0,30)(10分)记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值(12分)答：当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米(14分)例3、(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与

9、售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得EAF45. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 规范解答 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2105S105(1S)105(S1)，从而只要求S的最小值即可(2分)设EAB(045)，在ABE中，因为AB1，B90，所以BEtan，则SABEABBEtan，(4分)又DAF45，同理得SADFtan

10、(45)，(6分)所以Stantan(45)tan，(8分)令xtan(0,1)，S (10分) (22)1，当且仅当x1，即x1时取等号(12分)从而三个区域的总投入T的最小值约为105元(14分)题型二、与利润等有关的应用题与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例4、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Qbt，其中a，b为常数现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利

11、润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值 规范解答 (1)由题意P，Qbt，故当t3时，P，Q3b1. (3分)解得a3，b. (5分)所以P，Qt.从而f(x)，x. (7分)(2)由(1)可得f(x). (9分)故2，当且仅当，即x2时取等号从而f(x)2. (11分)所以f(x)的最大值为 .答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元(14

12、分)例5 （2017苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解析（1）（）（2）法一：当且仅当时，即时取等号故答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元法二：，由得，故当时，在上单调递增

13、；当时，在上单调递减；故答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元例6、（2016镇江期末）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价x为多少时，下

14、月的月总利润最大？并求出下月最大总利润 规范解答 (1) 设每只售价为x元，则月销售量为万只由已知得(x6)(86)5，(3分)所以x2x0，即2x253x2960.(4分)解得8x.(5分)即每只售价最多为18.5元(6分)(2) 下月的月总利润y(x6)(x9)(9分) x x .(10分)因为x9，所以2，(12分)当且仅当，即x10，等号成立，所以ymin14.(13分)答：当x10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元(14分)1、.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2

15、千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用_年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少).答案10解析设使用x年的年平均费用为y万元.由已知，得y，即y1(xN*).由基本不等式知y12 3，当且仅当，即x10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.2、为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地建成生态休闲园，园区内有一景观湖（图中阴影部分）.以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.景观湖的边界曲线符合函数模型，园区服务中心在轴正半轴上，百米.（1）若在点和景观湖边界曲线上一点之间修建一条休闲长廊，求的最短长度；（2）若在线段上设置一园

16、区出口，试确定的位置，使通道最短.解：（1）设直线（其中一定存在），代入，得，化简为.设，则， 所以 令，则，当且仅当时等号成立，即时成立.综上，的最短长度为百米 （2）当直线与边界曲线相切时，最短. 若直线斜率不存在，则直线方程为，不符合题意；若直线斜率存在，设PQ方程为，代入，化简得.当时，方程有唯一解（舍去）， 当时，因为直线与曲线相切，所以，解得或（舍去），此时直线方程为， 令，得，即点在线段上且距离轴百米.答：当点在线段上且距离轴百米，通道最短. 3、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P(其中0xa，a为正常数)已知生产该

17、批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？规范解答 (1) 由题意知，yPx6.(3分)将P代入化简得y19x(0xa)(5分)(2) y2222310，当且仅当x2，即x2时，上式取等号(8分)所以当a2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)由y19x，得y，当x0，此时函数y在0,2上单调递增，所以当a2时，函数y在0，a上单调递增，(11分)所以当xa时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大(12分)综上，当a2时，促销费用投入2万

18、元，厂家的利润最大；当a2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大(14分)4、(2017南通一调）如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1) 当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由规范解答 (1) 当EFP时，由条件得EFPEFDFEP.所以FPE.所以FNBC，四边形MNPE为矩形(3分)所以四边形MNPE的面积S

19、PNMN2(m2). (5分)(2) 解法1 设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.(8分)由得(*)所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN 2 6 6 6 (12分) 6262.当且仅当tan，即tan，时取“”(14分)此时，(*)成立答：当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62) m2.(16分)5、(2016镇江期末）如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域(1) 设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较

20、小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值 规范解答 (1) 如图1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，2AOH，因为cosAOH，(1分)要使有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，dOP5 km，(3分)当且仅当ABOP时，dmax5 km.此时min2AOH2.(4分)设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，由题意得Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6分)f()50(1cos)0恒成立，所以f()为增函数，(7分)所以Sminf50 km2.(8分)答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是

21、50km2.(9分)图1(2) 如图2，过O分别作OHAB，OH1CD，垂足分别是H，H1，记OHd1，OH1d2，由(1)可知d10,5，所以ddOP225，且d25d，(10分)因为AB2，CD2，所以ABCD2() 2()，(11分)记L(d1)ABCD2()，可得L2(d1)41752，(12分)由d0,25，可知d0或d25时，L2(d1)的最小值是100(74)，从而ABCD的最小值是(2010) km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是(2010) km.(14分)图26、(2018扬州期末）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，

22、Q分别在射线OA和OB上经测量得，扇形OPQ的圆心角(即POQ)为、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧相切于点S.设POS(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1) 试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围；(2) 试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值规范解答 (1) 因为MN与扇形弧相切于点S，所以OSMN.在RtOSM中，因为OS1，MOS，所以SMtan.在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtantan，(4分)其中.(6分)(2) 解法1(基本不等式)

23、因为0.令ttan10，则tan(t1)，所以MN.(8分)由基本不等式得MN2，(10分)当且仅当t，即t2时取“”(12分)此时tan，由于，故.(13分)解法2(三角函数) MN.(10分)因为，所以2，故sin1，(12分)所以当sin1，即时，MNmin2.(13分)答：(1) MN，其中；(2) 当时，MN的长度最小，为2千米(14分)(注：第(2)问中最小值对，但第(1)问定义域不对的扣2分)7、某市近郊有一块400m400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3000 m2的矩形场地(如图所示) 图中，阴影部分是宽度为2 m的通道，三个矩形区域

24、将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为S m2（1）求S关于x的函数关系式，并给出定义域；（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值aax米(第17题) 解析 （1）设矩形场地的另一条边的长为y，则xy3000即y，且7.5x400S(x4)a+(x6)a(2x10)a因为2a + 6y，所以a33， 所以S(2x10)3030，其定义域是(7.5，400)（2）S303030302303023002430当且仅当6x，即x50(7.5，400)时，上述不等式等号成立，此时x50，Smax2430(m2) 答：当x50m时，S取得最大值，其最大值为2430m2 16 / 16