高考数学压轴题-圆锥曲线大题十个大招含答案全解析(DOC 70页).doc
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1、 终结圆锥曲线大题十个大招招式一:弦的垂直平分线问题2招式二:动弦过定点的问题4招式四:共线向量问题6招式五:面积问题13招式六:弦或弦长为定值、最值问题16招式七:直线问题20招式八:轨迹问题24招式九:对称问题31招式十、存在性问题34招式一:弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程,往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直
2、平分线L的方程,然后解决相关问题,比如:求L在x轴y轴上的截距的取值范围,求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例题分析1:已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于解:设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,由弦长公式可求出招式二:动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程;(II)若直线与x轴交于
3、点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论招式三:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E: 上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。 招式四:共线向量问题1:如图所示,已知圆为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程;II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足,
4、求的取值范围.2:已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点,交轴于点,若, ,求证:.3、已知OFQ的面积S=2, 且。设以O为中心,F为焦点的双曲线经过Q, ,当取得最小值时,求此双曲线方程。类型1求待定字母的值例1设双曲线C:与直线L:x+y=1相交于两个不同的点A、B,直线L与y轴交于点P,且PA=,求的值思路:设A、B两点的坐标,将向量表达式转化为坐标表达式,再利用韦达定理,通过解方程组求a的值。类型2求动点的轨迹例2如图2 ,动直线与y轴交于点A,与抛物交于不同的两点B
5、和C, 且满足BP=PC, AB=AC,其中。求POA的重心Q的轨迹。思路:将向量表达式转化为坐标表达式,消去参数获得重心Q的轨迹方程,再运用判别式确定实数k的取值范围,从而确定轨迹的形状。ABCOPxy类型3证明定值问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线。设M为椭圆上任意一点,且,其中证明:为定值。思路:设A、B、M三点的坐标,将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系,再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。类型4探索点、线的存在性例4在ABC中,已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D,ABC的
6、垂心H分有向线段AD 设P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H,使成等差数列,为什么?思路:先将ACBH转化为代数关系,由此获得动点H的轨迹方程;再将向量的长度关系转化为代数(坐标)关系,通过解代数方程组获解。类型5求相关量的取值范围 例5给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,且,求l在轴上截距的变化范围。思路:设A、B两点的坐标,将向量间的共线关系转化为坐标关系,再求出l在轴上的截距,利用函数的单调性求其变化范围。存在、向量例6、双曲线,若上存在一点。定值问题例7:是抛物线上的两点,满足(为坐标原点),求证:(1)两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定
7、值;(2)直线经过一定点。招式五:面积问题例题1、已知椭圆C:(ab0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值。2、已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值.3、已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且,垂足为()设点的坐标为,证明:;()求四边形的面积的最小值招式六:弦或弦长为定值、最值问题1、已知的面积为,(1)设,求正切
8、值的取值范围;(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图), 当 取得最小值时,求此双曲线的方程。2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2,P是椭圆在第一象限弧上一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.()求P点坐标;()求证直线AB的斜率为定值;()求PAB面积的最大值.3、已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。解:4、已知点的坐标分别是,直线相交于点M,且它们的斜率之积为(1)求点M轨迹的
9、方程;(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间),试求与面积之比的取值范围(为坐标原点)解:5、已知椭圆:的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为 (I)求椭圆的方程; (II)设点在抛物线:上,在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值解析:招式七:直线问题例题1、设椭圆过点,且着焦点为()求椭圆的方程;()当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上解 2、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4(1)求曲线的方程;(2)设过的直线与曲线交于、两点,且(为坐标原点),求直线的方程解:3、设、分别是椭圆的左、右
10、焦点。()若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;()设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。解:招式八:轨迹问题轨迹法:1直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;例1、已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为,动点M到圆C的切线长与的比等于常数,求动点M的轨迹。评析:1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅
11、要求出方程而且要说明轨迹是什么。2定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点,且与直线相切,其中.求动圆圆心的轨迹的方程; 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,O切直线l于点A,又过B、C作O异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程. l O PE D C B A 评析:定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件
12、。 三、相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x,y表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。例3、如图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。已知椭圆的左、右焦点分别是F1(c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,
13、并且满足求点T的轨迹C的方程;四、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。例4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如图4所示).求AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;【解析】如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求APB的重心G的轨迹方程.五、交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,
14、也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5 、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。1、已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且(1)动点N的轨迹方程;(2)线l与动点N的轨迹交于A,B两点,若,求直线l的斜率k的取值范围.招式九:对称问题1、例:若椭圆上存在两点A,B 关于:对称,求的取值范围2、已知实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上,直线是双曲线S的一条渐近线,而且原点O,点A(a,0)和点B(0,-b)使等式成立.(I)求双曲线
15、S的方程;(II)若双曲线S上存在两个点关于直线对称,求实数k的取值范围.招式十:存在性问题1、设椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。2、在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和(I)求的取值范围;(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由3、设、分别是椭圆的左、右焦点. ()若P是该椭圆上的
16、一个动点,求的最大值和最小值; ()是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. 解4、椭圆G:的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为(1)求此时椭圆G的方程;(2)设斜率为k(k0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由解:5、已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线与相交于、两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为
17、(I)求,的值;(II)上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与的方程;若不存在,说明理由。解:6、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,直线与直线分别交于两点。 (I)求椭圆的方程; ()求线段MN的长度的最小值; ()当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由7、已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(II)在轴上是否存在定点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说
18、明理由解:8、在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 (1)求圆的方程; (2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由解: 9、设椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。解: 终结圆锥曲线大题十个大招招式一:弦的垂直平分线问题2招式二:动弦过定点的问题
19、4招式四:共线向量问题6招式五:面积问题13招式六:弦或弦长为定值、最值问题16招式七:直线问题20招式八:轨迹问题24招式九:对称问题31招式十、存在性问题34招式一:弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线,。由消y整理,得 由直线和抛物线交于两点,得即 由韦达定理,得:。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为:令y=0,得,则为正三角形,到直线AB的距离d为。解得满足式此时。【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主
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