2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列.doc

1、2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）1.（2019江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”. （1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足: ，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn ，对任意正整数k ， 当km时，都有成立，求m的最大值【答案】 （1）解：设等比数列an的公比为q ， 所以a10，q0. 由 ，得 ，解得 因此数列 为“M数列”.（2）解：因为 ，所以 由 得 ，则 .由 ，得 ，当 时，由 ，得 ，整理得 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn

2、的通项公式为bn=n .由知，bk=k ， .因为数列cn为“M数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q0.因为ckbkck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有 设f（x）= ，则 令 ，得x=e.列表如下：x e(e，+) +0 f（x）极大值因为 ，所以 取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ，经检验知 也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3 ， 且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公

3、式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M数列”的定义证出数列an为“M数列”。（2）利用 与 的关系式结合已知条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列 的通项公式。由知，bk=k ， .因为数列cn为“M数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q0，因为ckbkck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，m ， 再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。2.（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合 （1）若，求集合S； （2）若，求d使得集合S恰好有两个元素；

4、 （3）若集合S恰好有三个元素：，T是不超过7的正整数，求 T的所有可能的值 【答案】 （1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 当 ，集合 （2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ， 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图 ， ，此时 ，综上， 或者 （3）解：当 时， ，集合 ，符合题意当 时， ， ， ，或者 ，等差数列 的公差 ，故 ， ，又 当 时满足条件，此时 当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 当 时， 满足题意当 时， ， ，

5、所以 或者 ， ，故 当 时， ，满足题意当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故 当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意综上， 【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式 【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列

6、的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S. (2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。 （3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值 3.（2019浙江）设等差数列an的前n项和为Sn ，a3=S3 ，数列bn满足：对每个nN* ，Sn+bn

7、 ，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列（1）求数列an，bn的通项公式 ;（2）记Cn= ，nN* ，证明：C1+C2+Cn2，nN* .【答案】 （1）设数列 的公差为d ， 由题意得 ，解得 从而 由 成等比数列得 解得 所以 （2） 我们用数学归纳法证明当n=1时，c1=02，不等式成立；假设 时不等式成立，即 那么，当 时， 即当 时不等式也成立根据（1）和（2），不等式 对任意 成立【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设

8、n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.4.（2019天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知 （）求和的通项公式；（）设数列满足 求.【答案】 解：（）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 . 所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .（）解： = . ， -得， .所以， 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；（II）数列 的通项公式由等差和

9、等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 5.（2019天津）设是等差数列，是等比数列.已知 （）求和的通项公式；（）设数列满足 其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】 解：（）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 . 所以， 的通项公式为 的通项公式为 .（）（i） .所以，数列 的通项公式为 .（ii） 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。（）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；（）由（） 的通项公式为 的通项公

10、式为 ， 得出数列 的通项公式；（）将 代值并化简即可求值。6.（2019卷）已知是各项均为正数的等比数列， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和。 【答案】 （1）解：设的公比为q，由题设得 ，即 .解得 （舍去）或q=4.因此 的通项公式为 .（2）由（1）得 ，因此数列的前n项和为 . 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。 7.（2019北京）设an是等差数列，a1=-10

11、，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列. （I）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn ，求Sn的最小值.【答案】 解：（I）根据三者成等比数列， 可知 ，故 ，解得d=2，故 ；（）由（I）知 ，该二次函数开口向上，对称轴为n=，故n=5或6时， 取最小值-30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.8.（2019卷）已知数列an和bn满足a1=1，b1=0， （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an

12、和bn的通项公式. 【答案】 （1）解：由题设得 ，即 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列由题设得 ，即 又因为a1b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知， ， 所以 ， 【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列an和bn的通项公式。9.（2019北京）已知数列an，从中选取第i1项、第i2项第im项（i1i2im）.若ai1ai2ai

13、m.则称新数列ai1 ， ai2 ， ，aim.为an的长度为m的递增子列.规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列an的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0 ， 长度为q的递增子列的末项的最小值为an0 ， 若pq，求证：am0an0；（III）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=.），求数列an的通项公式。【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或

14、3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；（II）设数列 的长度为q的一个递增数列为 且 ；设数列 的长度为p的一个递增数列为 且 ；因为p ;（III） （用数学归纳法证明即可）. 【考点】数列的应用 【解析】【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；（II）构造数列证明即可；（III）根据题意写出通项公式即可.10.（2019卷）记Sn为等差数列an的前n项和，已知Sn=-a5 （1）若a3=4，求an的通项公式。 （2）若a10，求使得Snan的n取值范围。 【答案】 （1）解：设 的公差为d 由 得 由a3=4得 于是 因此 的通项公式为 （2）由（1）得 ，故 .由 知 ，故 等价于 ，解得1n10所以n的取值范围是 【考点】等差数列 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。( 2 )由（1）得 ，故 .由 知 ，故 等价于 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合n自身的取值范围，从而求出n的取值范围。