(完整版)高考圆锥曲线经典真题.doc
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1、高考圆锥曲线经典真题知识整合: 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.1.(江西卷15)过抛物线的焦点作倾角为的直线,与抛物线分别交于、两点(在轴左侧),则 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( )A. B. C. D. 3(2008年海南-宁夏卷)设双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双
2、曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为_.热点考点探究:考点一:直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C:2x2y2=2与点P(1,2)(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程,并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当2k2=0,即k=时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当
3、=0,即32k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.当0,即k时,方程(*)无解,l与C无交点.综上知:当k=,或k=,或k不存在时,l与C只有一个交点;当k,或k,或k时,l与C有两个交点;当k时,l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得:2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与
4、C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在.(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.考点二:圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量,从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系,此时,用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例2 直线:和双曲线的左支交于A、B两点,直线过P()和AB线段的中点M,求在轴上的截距的取值范围。解:由消去得,由题意,有:设M(),则由P()、M()、Q()三点共线,可求得设,则在上为减函数。所以,且所以 所以或考点三:弦长问题涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利
5、用韦达定理,设而不求简化运算.例3.如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求AMN面积最大时直线l的方程,并求AMN的最大面积.解:由题意,可设l的方程为y=x+m,5m0.由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N,方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m,x1x2=m2,|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S=2(5+m),从而S2=4(1m)
6、(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号.故直线l的方程为y=x1,AMN的最大面积为8.考点4:圆锥曲线关于直线对称问题例4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为,(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围.【解析】(I)设椭圆的方程为由条件知,故椭圆的方程是(II)依题意,直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是,设点F(2,0)关于直线的对称点为,则因为在椭圆上,所以即故,则因为于是,当且仅当(*)上述方程存在正实根,即直线
7、存在.解(*)得即的取值范围是规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线方程与圆锥曲线C的方程联立,消去(也可消去)得一个关于变量的一元方程当时,若有,则与C相交;若,则与C相切;若,则与C相离. 当时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2. “设而不求”的方法若直线与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A()、B(),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,
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