中考数学中的几何最值问题.doc

1、中考数学中的几何最值问题在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。OyxACB1（2009年潍坊市）已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是_ 解：取AB的中点D，连结OD、CD、OC，则OD=，且CDAB，

2、CD=，当C，D，O三点共线时，OC=OD+CD，否则OCOD+CD，OC长的最大值是+。点评 本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第三边，寻找突破口从而求解。2（2008年兰州）如图，在中，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）A B C5 D4.8解：易知ABC是直角三角形，所以EF是圆的直径，设切点是D，因为直径是圆中最长的弦，所以EFCD，作CHAB于点H，则CDCH，所以有EFCH，即长度的最小值是CH，利用面积方法易得CH=4.8。所以线段长度的最小值是4.8，故选D。点评 本题求一条线段的最小值，通

3、过转化后利用垂线段最短求解。3（2009年四川达州）在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）。解：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动。PBQ中，B、Q为定点，故BQ长度不变，要使PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小。直线AC是正方形的对称轴，点Q关于对角线AC的对称点Q一定落在边CD上，如图所示，当B、P、 Q共线时PB+PQ=PB+PQ=BQ=取最小值，则PBQ周长的最小值为+1。点评 本题有一定的难度，PBQ周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问

4、题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和PBQ周长的最小。4（2010年苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（ ） A2 B1 C D解：当AD为C的切线，切点为D时，OE最长，BE最短，此时ABE面积最小，易证AOEADC，所以，可求得OE=，于是BE=2-，从而ABE面积的最小值是。选D。点评 本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即可，根据圆的性质，易知AD处于极端位置（切线）时，所求三角形的面积最小。5（2010年天

5、津市）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，D为边OB的中点.（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.温馨提示 如图可以作点D关于x轴的对称点D，连接C D与x轴交于点E，的周长是最小的。这样，你只需要求出OE的长，就可以确定点E的坐标了。yBODCAxEyBODCAx解：（1）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.若在边上任取点（与点E不重合），连接、.由，可知的周长最小. 在矩形中，为的中点，yBODCAxE ，. OEBC， RtRt，有. . 点的坐标

6、为（1，0）. （2）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取. GCEF， 四边形为平行四边形，有.又 、的长为定值，yBODCAxEGF 此时得到的点、使四边形的周长最小. OEBC， RtRt, 有 . . . 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）点评 本题（1）有一个温馨提示，而问题（2）要使四边形CDEF的周长最小，注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，用轴对称及平移方法设法将DE、CF集中到一条直线上解决问题。6（2009年郴州市）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，

7、PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值图2图1解：（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为 2分同样可得，反比例函数解析式为 3分（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为， 4分于是，而，所以有，解得 6分所以点Q的坐标为和 7分（3）因

8、为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值8分因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，所以当即时，有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2 9分 由勾股定理得OP，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是10分点评 本题中的（1）、（2）小题相对较简单，问题（3）求平行四边形周长的最小值，注意到OP的长为定长，只需求邻边OQ的最小值，通过勾股定理、配方求解。其实本题还有另外两种解法：，即OQ的最小值为4。反比例函数的一条对称轴

9、为一、三象限的角平分线，即直线y=x，所以取到最小值的点Q只能是反比例函数与直线y=x在第一象限的交点，同样可求得OQ的最小值为4。7（2010年宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.EA DB CNM解：ABE是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即ABMEBN.又MBNB，AMBENB（S

10、AS）. 5分当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 7分如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 9分FEA DB CNM理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 10分根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.11分过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 12分解得，x（舍去负值）.正方形

11、的边长为. 13分点评 此题中第（2）小题将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，特别是第（2）小题，更是利用了BM绕点B逆时针旋转60得到BMN是等边三角形的特殊结构，将三条线段的和转化为“两点之间，线段最短”问题，再结合图形的特殊对应结构进行分析，从而确定AMBMCM取最小值时，点M的位置，在第（2）小题的基础上，第（3）小题显而易见可转化为RtEFC来解决。在动转化为静的过程中，对同学们的思维能力提出了更高的要求。8（2010年通化市）如图，四边形ABCD中，ADCD，DABACB90，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E（1）求证：ABAFCBCD；（2）已知

12、AB15 cm，BC9 cm，P是射线DE上的动点设DPx cm（），四边形BCDP的面积为y cm2求y关于x的函数关系式；当x为何值时，PBC的周长最小，并求出此时y的值解： AD=CD，DEAC， DE垂直平分AC，AF=CF， DFA=DFC=90，DAF=DCF。 DAB=DAF+CAB=90ABCDEFP CAB+B=90，DCF=DAF=B 在RtDCF和RtABC中，DFC=ACB=90，DCF=BDCFABC. ABAF=CBCD AB=15, BC=9, ACB=90, AC=CF=AF=6. y=(x+9)6=3x+27(x0). BC=9(定值)，PBC的周长最小，就是

13、PB+PC最小.由知,点C关于直线DE的对称点是A, PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小. 显然当P,A,B三点共线时PA+PB最小.此时DP=DE, PA+PB=AB. 由知ADF=FAE, DFA=ACB=90 得DAFABC. 由EFBC,得AE=BE=AB=,EF=.AFBC=ADAB,即69=AD15. AD=10. 在RtADF中,AD=10,AF=6, DF=8. DE=DF+FE=8+= 当x=时，PBC的周长最小，此时y=. 点评 此题中的第小题对学生有较大的迷惑性，问题是用函数研究运动变化图形中的数量关系，进而建立函数关系式；问题从表面上看似乎要用到问题的结论，

14、易使学生的思维从函数关系式入手探求PBC的周长最小值的陷阱，此问构思巧妙，需要学生利用几何方法探求PBC的周长最小值，并求出x和y的值.问题动静结合，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力.9（2010年济南）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E求A、B、C三个点的坐标点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN求证：AN=BMDCMNOABPlyE在点P运动的过程中，四边形AMNB的

15、面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.x解：令，解得：， A(1，0)，B(3，0)2分=，抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，C（1，2）. 3分在RtACE中，tanCAE=，CAE=60，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，AC=BC，ABC为等边三角形， 4分AB= BC =AC = 4，ABC=ACB= 60，又AM=AP，BN=BP，BN = CM， ABNBCM， AN=BM. 5分四边形AMNB的面积有最小值 6分设AP=m，四边形AMNB的面积为S，由可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，SABC=42=，CM=BN= BP=4m

16、，CN=m， 过M作MFBC,垂足为F,则MF=MCsin60=，SCMN=，7分S=SABCSCMN=（）= 8分m=2时，S取得最小值3. 9分点评 此题的第小题将函数与圆的有关知识蕴涵于几何图形中,以较为新颖的方式出现,使问题更具有综合性.将不规则的四边形转化为三角形来解决,充分体现了转化思想在解题中的应用,由于四边形AMNB的面积随着点P的位置变化而变化,所以用函数的观点,从函数关系式入手探求四边形AMNB的最小值.本题较好地体现了对学生合情理及转化能力的考查,通过建立面积与动点坐标之间的函数关系式,利用函数知识求解.10（2009年恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、

17、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图11（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB. (1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂

18、直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 解：图11（1）中过B作BCAP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,AC=30 1分在RtABC 中，AB=50 AC=30 BC=40 BP=S1= 2分图11（2）中，过B作BCAA垂足为C，则AC=50，又BC=40BA=由轴对称知：PA=PAS2=BA= 3分 4分(2)如 图11（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA，由轴对称知MA=MAMB+MA=MB+MAABS2=BA为最小 7分（3）过A作关于X轴的对称点A, 过B作关于Y轴的对称点B，连接AB,交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 分过A、 B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,AB=所求四边形的周长为 10分点评 本题求四边形周长的最小值，由于AB的长确定，因此只要求三条线段和的最小值，利用轴对称将三条线段转移到山同一条直线上，再根据两点之间线段最短原理确定最小值。