中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案.doc

1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA点P是抛物线上的一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点D，连接PC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PFBC于点F，试问PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由 （3）当点P在抛物线上运动时，将CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由【答案】(1) y=+

2、x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，）【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P（m，m2+m+3），PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=x+3，表示PD=，证明PFDBOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=（m2）2+，求L的最大值即可；（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，又知Q落在y轴上时，则CQPD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n， +n+3

3、），则D（n，n+3），G（0，n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论试题解析:（1）由OC=3OA，有C（0，3），将A（1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：，解得：，故抛物线的解析式为：y=+x+3；（2）如图2，设P（m，m2+m+3），PFD的周长为L，直线BC经过B（4，0），C（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则解得：直线BC的解析式为：y=x+3，则D（m，），PD=，PEx轴，PEOC，BDE=BCO，BDE=PDF，PDF=BCO，PFD=BOC=90，PFDBOC，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故BO

4、C的周长=12，即L=（m2）2+，当m=2时，L最大=；（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，当点Q落在y轴上时，CQPD，PCQ=CPD，PCD=CPD，CD=PD，CD=DP=PQ=QC，四边形CDPQ是菱形，过D作DGy轴于点G，设P（n， +n+3），则D（n，n+3），G（0，），在RtCGD中，CD2=CG2+GD2=（n+3）32+n2=，而|PD|=|（）（n+3）|=|+3n|，PD=CD，解方程得：n=或0（不符合条件，舍去），解方程得：n=或0（

5、不符合条件，舍去），当n=时，P（，），如图3，当n=时，P（，），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，）点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题2抛物线yax2+bx3（a0）与直线ykx+c（k0）相交于A（1，0）、B（2，3）两点，且抛物线与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若PCD是以

6、CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标【答案】（1）yx22x3;（2）C（0，3）,D（0，1）;（3）P（1+，2）.【解析】【分析】（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得抛物线解析式（2）当x0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x0可求D点坐标（3）由题意可知P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可求P点横坐标【详解】解：（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得 解得 yx22x3（2）把x0代入yx22x3中可得y3C（0，3）设ykx+b，把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入解得 yx1D（0，1）（3）由C（0，3），D（0，

7、1）可知CD的垂直平分线经过（0，2）P点纵坐标为2，x22x32解得：x1，x0x1+P（1+，2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标3如图，抛物线yax2bx（a0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得ABP的面积为ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标

8、，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积 【答案】（1）yx24x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，5）；（4）或5【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到yax2bx中，得 ，解得 ，抛物线的表达式

9、为yx24x（2）抛物线的表达式为yx24x，抛物线的对称轴为直线x2又C，B关于对称轴对称，C（3，3）BC2，SABC233（3）存在点P作PQBH于点Q，设P（m，m24m）SABP2SABC，SABC3，SABP6SABPSBPQSABHS梯形AHQP6（m1）（3m24m）33（3m1）（m24m）整理得m25m0，解得m10（舍），m25，点P的坐标为（5，5）（4）或5提示：当以M为直角顶点，则SCMN；当以N为直角顶点，SCMN5；当以C为直角顶点时，此种情况不存在【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图

10、形，分情况进行讨论是解题的关键.4红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天)1361036日销售量(件)9490847624未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1t20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=t+40(21t40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预

11、测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）y=2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3a4【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大

12、日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围 详解：（1）设数m=kt+b，有,解得m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96 （2）设日销售利润为P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，21t40且对称轴为t=44，函数P在21t40上随t的增大而减小，当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元）， 答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.（3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+4

13、80-96n， 对称轴为t=14+2a，1t20，14+2a20得a3时，P1随t的增大而增大，又a4，3a4点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解5已知抛物线.（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总

14、有交点（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果（3）根据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论【详解】（1）证明： 抛物线与x轴总有交点. （2）解：由（1），根据求根公式可知，方程的两根为：即由题意，有 (3)解：令 x = 0， y = M（0，）由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（，0），它们关于直线的对称点分别为（0 ， 1）和（0， ），由题意，可得： 【点睛】本题考查对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，

15、对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算6如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yx+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，1）；（3）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=

16、4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y3）2=1+y2；当CD为斜边时得到4+（y3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明CEF=90得到ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图2，EPG、PHF都为等腰直角三角形，则PE=PG，PF=PH，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=t2+4t，然后利用二次函数的性质解决问题试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线y=

17、x2+bx+c的表达式为y=x24x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y3）2=1+y2+18，解得：y=1，此时D点坐标为（2，1）；（3）易得BC的解析式为y=x+3直线y=x+m与直线y=x平行，直线y=x+3与直线

18、y=x+m垂直，CEF=90，ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图2，EPG、PHF都为等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），PF=PH=t，PG=t+3（t24t+3）=t2+3t，PE=PG=t2+t，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=t2+3t+t=t2+4t=（t2）2+4，当t=2时，PE+EF的最大值为4点睛：本题考查了二次函数的综合题熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式7二次

19、函数y=x2-2mx+3（m）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n0且n为整数），与y轴交于C点（1）若a=1，求二次函数关系式；求ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=【解析】试题分析：（1）首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积； （2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-

20、m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m-m）2-m2+3，求得m的值即可确定a的值试题解析：（1）a=1，A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，y=x2-4x+3；在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，A（1，0）、B（3，0）， AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3）， OC=3，ABC的面积=23=3；（2）y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，对称轴为直线x=m， 二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B点A和点

21、B关于直线x=m对称， a+n-m=m-a， a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m）当a为整数，因为n0且n为整数 所以a+n是整数， 线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， n=2， a=m-1，A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，m2-4=0，m=2，m=-2（舍去）， a=2-1=1， 当a不是整数，因为n0且n为整数 所以a+n不是整数， 线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， n=3， a=m-A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m-m）2-m2+3

22、，m2=，m=，m=-（舍去），a=，综上所述：a=1或a=考点：二次函数综合题8如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标【答案】（1）yx2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，2x+6），利用勾股定理表示出P

23、C2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标【详解】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得，所求的抛物线的函数表达式为yx2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE抛物线的对称轴为x1当x1时，y4，点D的坐标为（1，4）设直线BD的解析式为ykx+b，则， 解得直线BD的解析式为：y2x+6，设点P的坐标为（x，2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2x2+（3+2x6）2，PE2（x1）2+（2x+6）2，PCPE，x2+（3+2x6）2（x1）2+（2x+6）2，解得，x2，则y22+62，点P的坐标为（2，2）【点睛】本

24、题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键9如图1，已知抛物线yax2+bx+3(a0)与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时

25、E点的坐标【答案】（1）yx22x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（1，）或P（1，）或P（1，6）或P（1，）；（3）存在，Q（1，2）；（4）， .【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离然后分三种情况进行讨论：当CPPM时，P位于CM的垂直平分线上求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQy轴于Q，如果设PMCPx，那么直角三角形CPQ中CPx，

26、OM的长，可根据M的坐标得出，CQ3x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标当CMMP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）当CMCP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EFx轴于F，S四边形BOCESBFE+S梯形FOCE直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的

27、长在BFE中，BFBOOF，因此可用E的横坐标表示出BF的长如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值即可求出此时E的坐标【详解】（1）抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），解得：所求抛物线解析式为：yx22x+3；（2）如答图1，抛物线解析式为：yx22x+3，其对称轴为x1，设P点坐标为（1，a），当x0时，y3，C（0，3），M（1，0）当CPPM时，（1）2+（3a）2a2，解得a，P点坐标为：P1（1，）；当CMPM时

28、，（1）2+32a2，解得a，P点坐标为：P2（1，）或P3（1，）；当CMCP时，由勾股定理得：（1）2+32（1）2+（3a）2，解得a6，P点坐标为：P4（1，6）综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（1，）或P（1，）或P（1，6）或P（1，）；（3）存在，Q（1，2），理由如下：如答图2，点C（0，3）关于对称轴x1的对称点C的坐标是（2，3），连接AC，直线AC与对称轴的交点即为点Q设直线AC函数关系式为：ykx+t（k0）将点A（1，0），C（2，3）代入，得，解得，所以，直线AC函数关系式为：yx+1将x1代入，得y2，即：Q（1，2）；（4）过点E作EFx轴于点F，设E（a

29、，a22a+3）（3a0）EFa22a+3，BFa+3，OFaS四边形BOCEBFEF+（OC+EF）OF（a+3）（a22a+3）+（a22a+6）（a）a2a+（a+）2+，当a时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（ ，）【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解10如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t0)个单位

30、，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当AMN为直角三角形时，求t的值【答案】（1）；（2）BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当AMN为直角三角形时，t的值为1或4【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公

31、式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论【详解】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为（2）为直角三角形，理由如下：，顶点的坐标为当时，点的坐标为点的坐标为，为直角三角形（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，为直角三角形，分三种情况考虑：当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，该方程无解（或解均为增解）综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分MAN=90、AMN=90及ANM=90三种情况考虑