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类型中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含答案.doc

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    关 键  词:
    中考 数学 二次 函数 提高 练习题 压轴 训练 答案 下载 _各科综合资料_初中
    资源描述:

    1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1如图,抛物线yx22x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标;(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQAB交抛物线于点Q,过点Q作QNx轴于点N,可得矩形PQNM如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长;(3)当矩形PQNM的周长最大时,m的值是多少?并求出此时的AEM的面积;(4)在(3)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平

    2、行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方)若FG2DQ,求点F的坐标【答案】(1)A(3,0),B(1,0);C(0,3) ;(2)矩形PMNQ的周长2m28m+2;(3) m2;S;(4)F(4,5)或(1,0)【解析】【分析】(1)利用函数图象与坐标轴的交点的求法,求出点A,B,C的坐标;(2)先确定出抛物线对称轴,用m表示出PM,MN即可;(3)由(2)得到的结论判断出矩形周长最大时,确定出m,进而求出直线AC解析式,即可;(4)在(3)的基础上,判断出N应与原点重合,Q点与C点重合,求出DQDC,再建立方程(n+3)(n22n+3)4即可【详解】(1)由抛物线yx22x+3可知,C(

    3、0,3)令y0,则0x22x+3,解得,x3或xl,A(3,0),B(1,0)(2)由抛物线yx22x+3可知,对称轴为x1M(m,0),PMm22m+3,MN(m1)22m2,矩形PMNQ的周长2(PM+MN)(m22m+32m2)22m28m+2(3)2m28m+22(m+2)2+10,矩形的周长最大时,m2A(3,0),C(0,3),设直线AC的解析式ykx+b,解得kl,b3,解析式yx+3,令x2,则y1,E(2,1),EM1,AM1,SAMEM(4)M(2,0),抛物线的对称轴为xl,N应与原点重合,Q点与C点重合,DQDC,把x1代入yx22x+3,解得y4,D(1,4),DQD

    4、CFG2DQ,FG4设F(n,n22n+3),则G(n,n+3),点G在点F的上方且FG4,(n+3)(n22n+3)4解得n4或n1,F(4,5)或(1,0)【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法,待定系数法求函数解析式,函数极值的确定,解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长2如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA1,tanBAO3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90,得到DOC,抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接

    5、PE,交CD于F,求以C、E、F为顶点三角形与COD相似时点P的坐标【答案】(1)抛物线的解析式为y=x22x+3;(2)当CEF与COD相似时,P点的坐标为(1,4)或(2,3)【解析】【分析】(1)根据正切函数,可得OB,根据旋转的性质,可得DOCAOB,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)分两种情况讨论:当CEF90时,CEFCOD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点;当CFE90时,CFECOD,过点P作PMx轴于M点,得到EFCEMP,根据相似三角形的性质,可得PM与ME的关系,解方程,可得t的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案【详解】(1)在RtAOB中,OA1,t

    6、anBAO3,OB3OA3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的,DOCAOB,OCOB3,ODOA1,A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,3),(3,0),代入解析式为,解得:,抛物线的解析式为yx22x+3;(2)抛物线的解析式为yx22x+3,对称轴为l1,E点坐标为(1,0),如图,分两种情况讨论:当CEF90时,CEFCOD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(1,4);当CFE90时,CFECOD,过点P作PMx轴于M点,CFE=PME=90,CEF=PEM,EFCEMP,MP3ME点P的横坐标为t,P(t,t22t+3)P在第二象限,PMt22t+3,ME1t

    7、,t0,t22t+33(1t),解得:t12,t23(与t0矛盾,舍去)当t2时,y(2)22(2)+33,P(2,3)综上所述:当CEF与COD相似时,P点的坐标为(1,4)或(2,3)【点睛】本题是二次函数综合题解(1)的关键是利用旋转的性质得出OC,OD的长,又利用了待定系数法;解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出MP3ME3如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存

    8、在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)抛物线解析式为y=x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(,)或(,),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B,连接DB交y轴于M,如图1,则B(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+

    9、MD的值最小,则此时BDM的周长最小,然后求出直线DB的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3,再解方程组得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x3),即y=ax22ax3a,2a=2,解得a=1,抛物线解析式为y=x2+2x+3;当x=0时,y=x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(1,0),C(0

    10、,3)代入得,解得,直线AC的解析式为y=3x+3;(2)y=x2+2x+3=(x1)2+4,顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B,连接DB交y轴于M,如图1,则B(3,0),MB=MB,MB+MD=MB+MD=DB,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,此时BDM的周长最小,易得直线DB的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,点M的坐标为(0,3);(3)存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,直线AC的解析式为y=3x+3,直线PC的解析式可设为y=x+b,把C(0,3)代入得b=3,直线PC的解析式为y=x+3,解方程组,解得或,则此时P点坐标为(,)

    11、;过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=x+b,把A(1,0)代入得+b=0,解得b=,直线PC的解析式为y=x,解方程组,解得或,则此时P点坐标为(,).综上所述,符合条件的点P的坐标为(,)或(,).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题4抛物线(b,c为常数)与x轴交于点和,与y轴交于点A,点E为抛物线顶点。()当时,求点A,点

    12、E的坐标; ()若顶点E在直线上,当点A位置最高时,求抛物线的解析式;()若,当满足值最小时,求b的值。【答案】(),;();().【解析】【分析】()将(-1,0),(3,0)代入抛物线的解析式求得b、c的值,确定解析式,从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标,运用配方求出顶点E的坐标即可;()先运用配方求出顶点E的坐标,再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系,利用二次函数的性质得出当b=1时,点A位置最高,从而确定抛物线的解析式;()根据抛物线经过(-1,0)得出c=b+1,再根据()中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标,然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式,再根据点在直线AP上

    13、,此时值最小,从而求出b的值.【详解】解:()把点和代入函数,有。解得()由,得点E在直线上,当时,点A是最高点此时,():抛物线经过点,有E关于x轴的对称点为设过点A,P的直线为.把代入,得把点代入.得,即解得,。舍去.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离,数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键,属于中考压轴题5如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),交y轴于C(0,2);(1)求二次函数的解析式;(2)连接AC,在直线AC上方的抛物线上是否存在点N,使NAC的面积最大,若存在,求出这个最大

    14、值及此时点N的坐标,若不存在,说明理由(3)若点M在x轴上,是否存在点M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由(4)若P为抛物线上一点,过P作PQBC于Q,在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO(点C与点B对应),若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由【答案】(1)二次函数的解析式为:y=-x2-x+2;(2)最大值为1,此时N(-1,2);(3)M的坐标为(-1,0)或(1,0)或(-,0);(4)点P的坐标为:(-1,2)或(-,-)【解析】【分析】(1)利用交点式求二次函数的解析式;(2)求直线AC的解析式,作辅助线ND,根据

    15、抛物线的解析式表示N的坐标,根据直线AC的解析式表示D的坐标,表示ND的长,利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积,根据二次函数的最值可得面积的最大值,并计算此时N的坐标;(3)分三种情况:当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时,分别以三边为腰,画图形,求M的坐标即可;(4)存在两种情况:如图4,点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件;如图5,图3中的M(-,0)时,MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,则CP2QBCO,P2为直线CM的抛物线的交点【详解】(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),设二次函数的解析式为:y=a(x+2)(x-

    16、1),把C(0,2)代入得:2=a(0+2)(0-1),a=-1,y=-(x+2)(x-1)=-x2-x+2,二次函数的解析式为:y=-x2-x+2;(2)如图1,过N作NDy轴,交AC于D,设N(n,-n2-n+2),设直线AC的解析式为:y=kx+b,把A(-2,0)、C(0,2)代入得:,解得:,直线AC的解析式为:y=x+2,D(n,n+2),ND=(-n2-n+2)-(n+2)=-n2-2n,SANC=2-n2-2n=-n2-2n=-(n+1)2+1,当n=-1时,ANC的面积有最大值为1,此时N(-1,2),(3)存在,分三种情况:如图2,当BC=CM1时,M1(-1,0);如图2

    17、,由勾股定理得:BC=,以B为圆心,以BC为半径画圆,交x轴于M2、M3,则BC=BM2=BM3=,此时,M2(1-,0),M3(1+,0);如图3,作BC的中垂线,交x轴于M4,连接CM4,则CM4=BM4,设OM4=x,则CM4=BM4=x+1,由勾股定理得:22+x2=(1+x)2,解得:x=,M4在x轴的负半轴上,M4(-,0),综上所述,当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时,M的坐标为(-1,0)或(1,0)或(-,0);(4)存在两种情况:如图4,过C作x轴的平行线交抛物线于P1,过P1作P1QBC,此时,CP1QBCO,点P1与点C关于抛物线的对称轴对称, P1(-1,2),

    18、如图5,由(3)知:当M(-,0)时,MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,过P2作P2QBC,此时,CP2QBCO,易得直线CM的解析式为:y=x+2,则,解得:P2(-,-),综上所述,点P的坐标为:(-1,2)或(-,-)【点睛】本题是二次函数的综合题,计算量大,考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定,是一个不错的二次函数与几何图形的综合题,采用了分类讨论的思想,第三问和第四问要考虑周全,不要丢解6如图,已知抛物线的对称轴为直线,且抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,其中,.(1)若直线经过、两点,求直线和抛物线的解析

    19、式;(2)在抛物线的对称轴上找一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小,求出点的坐标;(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点,求使为直角三角形的点的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为,直线的解析式为.(2);(3)的坐标为或或或.【解析】分析:(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3

    20、得y的值,即可求出点M坐标;(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标详解:(1)依题意得:,解得:,抛物线的解析式为.对称轴为,且抛物线经过,把、分别代入直线,得,解之得:,直线的解析式为.(2)直线与对称轴的交点为,则此时的值最小,把代入直线得,.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.(注:本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小,所以答案未证明的值最小的原因).(3)设,又,若点为直角顶点,则,

    21、即:解得:,若点为直角顶点,则,即:解得:,若点为直角顶点,则,即:解得:,.综上所述的坐标为或或或.点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题7综合与探究如图,抛物线经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为.连接AC,BC,DB,DC(1)求抛物线的函数表达式;(2)BCD的面积等于AOC的面积的时,求的值;(3)在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,

    22、N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)3;(3).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可;(2)作直线DE轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为F,先求出SOAC=6,再根据SBCD=SAOC,得到SBCD =,然后求出BC的解析式为,则可得点G的坐标为,由此可得,再根据SBCD=SCDG+SBDG=,可得关于m的方程,解方程即可求得答案;(3)存在,如下图所示,以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图,以BD为边时,有3种情况,由点D的坐标可得点N点纵坐标为,然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分

    23、别求解;以BD为对角线时,有1种情况,此时N1点与N2点重合,根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4,继而求得OM1= 8,由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0),B(4,0),解得,抛物线的函数表达式为;(2)作直线DE轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为F,点A的坐标为(-2,0),OA=2,由,得,点C的坐标为(0,6),OC=6,SOAC=,SBCD=SAOC,SBCD =,设直线BC的函数表达式为,由B,C两点的坐标得,解得,直线BC的函数表达式为,点G的坐标为,点B的坐标为(4,0),OB=4,SBCD=SCDG+SBDG=,SBCD =,

    24、解得(舍),的值为3;(3)存在,如下图所示,以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图,以BD为边时,有3种情况,D点坐标为,点N点纵坐标为,当点N的纵坐标为时,如点N2,此时,解得:(舍),;当点N的纵坐标为时,如点N3,N4,此时,解得:,;以BD为对角线时,有1种情况,此时N1点与N2点重合,D(3,),N1D=4,BM1=N1D=4,OM1=OB+BM1=8,M1(8,0),综上,点M的坐标为:.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识,运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想,熟练掌握和灵活运用相关知识是解

    25、题的关键.8如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点,其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角和等腰直角,连接,试确定面积最大时点的坐标.(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)当,即时,最大,此时,所以;(3)存在点坐标为或.【解析】分析:(1)把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值,确定出A与B坐标,代入二次函数解析式求出b与c的值即可; (2)由等腰直角

    26、APM和等腰直角DPN,得到MPN为直角,由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积,利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可; (3)存在,分两种情况,根据相似得比例,求出AQ的长,利用两点间的距离公式求出Q坐标即可详解:(1)把A(m,0),B(4,n)代入y=x1得:m=1,n=3,A(1,0),B(4,3) y=x2+bx+c经过点A与点B,解得:,则二次函数解析式为y=x2+6x5; (2)如图2,APM与DPN都为等腰直角三角形,APM=DPN=45,MPN=90,MPN为直角三角形,令x2+6x5=0,得到x=1或x=5,D(5,0),即DP=51=4,设AP=m,则有

    27、DP=4m,PM=m,PN=(4m),SMPN=PMPN=m(4m)=m2m=(m2)2+1,当m=2,即AP=2时,SMPN最大,此时OP=3,即P(3,0); (3)存在,易得直线CD解析式为y=x5,设Q(x,x5),由题意得:BAD=ADC=45,分两种情况讨论:当ABDDAQ时,=,即=,解得:AQ=,由两点间的距离公式得:(x1)2+(x5)2=,解得:x=,此时Q(,); 当ABDDQA时,=1,即AQ=,(x1)2+(x5)2=10,解得:x=2,此时Q(2,3) 综上,点Q的坐标为(2,3)或(,)点睛:本题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,二次函数的

    28、图象与性质,相似三角形的判定与性质,两点间的距离公式,熟练掌握各自的性质是解答本题的关键9如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求BCP面积的最大值;(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当BMN是等腰三角形时,直接写出m的值【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x24x+3;(2)SBCP最大=;(3)当BMN是等腰三角形时,m的值为,1,2【解析】分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的

    29、纵坐标,可得PE的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;(3)根据等腰三角形的定义,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案详解:(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式,得,解得,这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3;(2)当x=0时,y=3,即点C(0,3),设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式,得,解这个方程组,得 直线BC的解析是为y=-x+3,过点P作PEy轴,交直线BC于点E(t,-t+3),PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,SBCP=SBPE+SCPE=(-t2+3t)3=-(t-)2+,-

    30、0,当t=时,SBCP最大=.(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)MN=m2-3m,BM=|m-3|,当MN=BM时,m2-3m=(m-3),解得m=,m2-3m=-(m-3),解得m=-当BN=MN时,NBM=BMN=45,m2-4m+3=0,解得m=1或m=3(舍)当BM=BN时,BMN=BNM=45,-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍),当BMN是等腰三角形时,m的值为,-,1,2点睛:本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法;解(2)的关键是利用面积的和差得出二次函数,又利用了二次函数的性质,解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的

    31、方程,要分类讨论,以防遗漏10一次函数yx的图象如图所示,它与二次函数yax24axc的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点C(1)求点C的坐标;(2)设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于x轴对称,且ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式;若CDAC,且ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式【答案】(1)点C(2,);(2)yx2x; yx22x【解析】试题分析:(1)求得二次函数yax24axc对称轴为直线x2,把x2代入yx求得y=,即可得点C的坐标;(2)根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标,并且求得CD的长,设A(m,m) ,根据

    32、SACD3即可求得m的值,即求得点A的坐标,把A.D的坐标代入yax24axc得方程组,解得a、c的值即可得二次函数的表达式.设A(m,m)(m2),过点A作AECD于E,则AE2m,CEm,根据勾股定理用m表示出AC的长,根据ACD的面积等于10可求得m的值,即可得A点的坐标,分两种情况:第一种情况,若a0,则点D在点C下方,求点D的坐标;第二种情况,若a0,则点D在点C上方,求点D的坐标,分别把A、D的坐标代入yax24axc即可求得函数表达式.试题解析:(1)yax24axca(x2)24ac二次函数图像的对称轴为直线x2当x2时,yx,C(2,)(2)点D与点C关于x轴对称,D(2,),CD3.设A(m,m) (m2),由SACD3,得3(2m)3,解得m0,A(0,0).由A(0,0)、 D(2,)得解得a,c0.yx2x.设A(m,m)(m2),过点A作AECD于E,则AE2m,CEm,AC(2m),CDAC,CD(2m).由SACD10得(2m)210,解得m2或m6(舍去),m2A(2,),CD5.若a0,则点D在点C下方,D(2,),由A(2,)、D(2,)得解得yx2x3.若a0,则点D在点C上方,D(2,),由A(2,)、D(2,)得解得yx22x.考点:二次函数与一次函数的综合题.

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