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类型几何难题精选中考压轴题带答案和详细解析30道解答题(DOC 79页).doc

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    1、几何难题精选 解答题(共30小题)1(2015河南)如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为(1)问题发现当=0时,= ;当=180时,= (2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决当EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长 2(2015济南)如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC,EAC=90,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点

    2、F、D(1)直接写出NDE的度数;(2)如图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若EAC=15,ACM=60,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长 3(2015岳阳)已知直线mn,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点(1)操作发现:直线lm,ln,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图所示),连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系: (2)猜想证明:在图的情况下,把直线l向上平移到如图的位置,试问(1)中

    3、的PA与PB的关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(3)延伸探究:在图的情况下,把直线l绕点A旋转,使得APB=90(如图所示),若两平行线m、n之间的距离为2k求证:PAPB=kAB 4(2015重庆)在ABC中,AB=AC,A=60,点D是线段BC的中点,EDF=120,DE与线段AB相交于点EDF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F(1)如图1,若DFAC,垂足为F,AB=4,求BE的长;(2)如图2,将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F求证:BE+CF=AB;(3)如图3,将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF

    4、与线段AC的延长线相交于点F,作DNAC于点N,若DNAC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BECF) 5(2015烟台)【问题提出】如图,已知ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明:AB=DB+AF【类比探究】(1)如图,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由(2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由 6(2015莆田)在RtACB和RtAEF中,ACB=A

    5、EF=90,若点P是BF的中点,连接PC,PE特殊发现:如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,则结论:PC=PE成立(不要求证明)问题探究:把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)记=k,当k为何值时,CPE总是等边三角形?(请直接写出k的值,不必说明理由) 7(2015襄城区模拟)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(3,3)将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度(09

    6、0),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG(1)求证:AOGADG;(2)求PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;(3)当1=2时,求直线PE的解析式;(4)在(3)的条件下,直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由 8(2015重庆校级一模)已知,四边形ABCD是正方形,点P在直线BC上,点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合,且在CD的同侧),PD=PG,DFPG于点H,DF交直线AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE,连

    7、结EF(1)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时,若PC=1,计算出DG的长;(2)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时,证明:四边形DFEP为菱形;(3)如图2,当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时,(2)的结论:四边形DFEP为菱形是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 9(2015房山区二模)在ABC中,AB=BC=2,ABC=90,BD为斜边AC上的中线,将ABD绕点D顺时针旋转(0180)得到EFD,其中点A的对应点为点E,点B的对应点为点FBE与FC相交于点H(1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系: ;(2)如图2,M、N分别

    8、为EF、BC的中点求证:MN=;(3)连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之间的数量关系: 10(2015衢州校级模拟)图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起(C与O重合)(1)操作:固定ABC,将0DE绕点C顺时针旋转30后得到ODE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论(2)在(1)的条件下将的ODE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的CDE设为PQR,当点P与点F重合时停止运动(图3)探究:设PQR移动的时间为x秒,PQR与AB

    9、C重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围(3)将图1中0DE固定,把ABC沿着OE方向平移,使顶点C落在OE的中点G处,设为ABG,然后将ABG绕点G顺时针旋转,边BG交边DE于点M,边AG交边DO于点N,设BGE=(3090);(图4)探究:在图4中,线段ONEM的值是否随的变化而变化?如果没有变化,请你求出ONEM的值,如果有变化,请你说明理由 11(2015武义县模拟)(1)将矩形OABC放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点C、A分别在x轴和y轴上,OA=8,OC=10,点E为OA边上一点,连结CE,将EOC沿CE折叠如图1,当点O落在AB边上的点

    10、D处时,求点E的坐标;如图2,当点O落在矩形OABC内部的点D处时,过点E作EGx轴交CD于点H,交BC于点G,设H(m,n),求m与n之间的关系式;(2)如图3,将矩形OABC变为边长为10的正方形,点E为y轴上一动点,将EOC沿CE折叠点O落在点D处,延长CD交直线AB于点T,若=,求AT的长 12(2015石家庄校级模拟)如图1,在菱形ABCD中,AC=6,BD=6,AC,BD相交于点O (1)求边AB的长;(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60角的两边分别于边BC,CD相交于E,F,连接EF与AC相交于点G判断AEF

    11、是哪一种特殊三角形,并说明理由;旋转过程中是否存在线段EF最短,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由 13(2015春泰安校级期中)如图,正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转,边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N(1)求证:OM=ON;(2)设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P,连结PM若PM=13,试求AM的长;(3)连接MN,求AMN周长的最小值,并指出此时线段MN与线段BD的关系 14(2014天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OEDF

    12、,记旋转角为()如图,当=90时,求AE,BF的长;()如图,当=135时,求证AE=BF,且AEBF;()若直线AE与直线BF相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可) 15(2014春青山区期末)已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF,H为AF的中点,连EH,正方形EBGF绕点B旋转(1)如图1,当F点落在BC上时,求证:EH=FC;(2)如图2,当点E落在BC上时,连BH,若AB=5,BG=2,求BH的长;(3)当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时,求的值 16(2013盐城)阅读材料如图,ABC与DEF都是等腰直角三角形,ACB=EDF=90,且点D在AB

    13、边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明BOFCOD,则BF=CD解决问题(1)将图中的RtDEF绕点O旋转得到图,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;(2)如图,若ABC与DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;(3)如图,若ABC与DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角ACB=EDF=,请直接写出的值(用含的式子表示出来) 17(2013梅州)用如图,所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以

    14、下两个探究问题:探究一:将以上两个三角形如图拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P(1)当点P运动到CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长;(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求PAB的度数探究二:如图,将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转DEF,使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN在旋转DEF的过程中,AMN的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由 18(2015营口)如图,点P是O外一点,PA切O于点A,AB是O的直径,连接OP,过点B作BCOP交O于点C,连接AC交OP于点D(1

    15、)求证:PC是O的切线;(2)若PD=,AC=8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,若点E是的中点,连接CE,求CE的长 19(2015永州)问题探究:(一)新知学习:圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH的对角互补,那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上)(二)问题解决:已知O的半径为2,AB,CD是O的直径P是上任意一点,过点P分别作AB,CD的垂线,垂足分别为N,M(1)若直径ABCD,对于上任意一点P(不与B、C重合)(如图一),证明四边形PMON内接于圆,并求此圆直径的长;(2)若直径ABCD,在点P(不与

    16、B、C重合)从B运动到C的过程中,证明MN的长为定值,并求其定值;(3)若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时(如图二),求MN的长;当点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中(如图三),证明MN的长为定值(4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值,并写出其最大值 20(2015盘锦)如图1,ABC和AED都是等腰直角三角形,BAC=EAD=90,点B在线段AE上,点C在线段AD上(1)请直接写出线段BE与线段CD的关系: ;(2)如图2,将图1中的ABC绕点A顺时针旋转角(0360),(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;当

    17、AC=ED时,探究在ABC旋转的过程中,是否存在这样的角,使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角的度数;若不存在,请说明理由 21(2015朝阳)问题:如图(1),在RtACB中,ACB=90,AC=CB,DCE=45,试探究AD、DE、EB满足的等量关系探究发现小聪同学利用图形变换,将CAD绕点C逆时针旋转90得到CBH,连接EH,由已知条件易得EBH=90,ECH=ECB+BCH=ECB+ACD=45根据“边角边”,可证CEH ,得EH=ED在RtHBE中,由 定理,可得BH2+EB2=EH2,由BH=AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是 实践运用(1

    18、)如图(2),在正方形ABCD中,AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,求EAF的度数;(2)在(1)条件下,连接BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2,DF=3,BM=2,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长及MN的长 22(2015自贡)在ABC中,AB=AC=5,cosABC=,将ABC绕点C顺时针旋转,得到A1B1C(1)如图,当点B1在线段BA延长线上时求证:BB1CA1;求AB1C的面积;(2)如图,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差 23(2015

    19、吉林)两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内)其中,C=DEF=90,ABC=F=30,AC=DE=6cm现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)(1)当点C落在边EF上时,x= cm;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值 24(2015汕尾)在RtABC中,A=90,AC=

    20、AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,若等腰RtADE绕点A逆时针旋转,得到等腰RtAD1E1,设旋转角为(0180),记直线BD1与CE1的交点为P(1)如图1,当=90时,线段BD1的长等于 ,线段CE1的长等于 ;(直接填写结果)(2)如图2,当=135时,求证:BD1=CE1,且BD1CE1;(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值(直接写出结果) 25(2015赤峰)如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,EDF=60,当C

    21、E=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF(1)继续旋转三角形纸片,当CEAF时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;(3)连EF,若DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少? 26(2015海南)如图,菱形ABCD中,点P是CD的中点,BCD=60,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点(1)求证:ADPECP;(2)若BP=nPK,试求出n的值;(3)作BM丄AE于点M

    22、,作KN丄AE于点N,连结MO、NO,如图2所示,请证明MON是等腰三角形,并直接写出MON的度数 27(2015丹东)在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在RtPMN中,MPN=90(1)如图1,若点P与点O重合且PMAD、PNAB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系;(2)将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度(045)如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;如图2,在旋转过程中,当DOM=15时,连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF的长;如图3,旋转后,若RtPMN的顶点P在线段OB上移动(不与点

    23、O、B重合),当BD=3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD=mBP时,请直接写出PE与PF的数量关系 28(2015成都)已知AC,EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线,点E在ABC内,CAE+CBE=90(1)如图,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF(i)求证:CAECBF;(ii)若BE=1,AE=2,求CE的长;(2)如图,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且=k时,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值;(3)如图,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且DAB=GEF=45时,设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等

    24、量关系(直接写出结果,不必写出解答过程) 29(2015锦州)如图,QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,QPN=,将QPN绕点P旋转,旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合)(1)如图,当=90时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是 ;(2)如图,将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形,其他条件不变,当=60时,(1)中的结论变为DE+DF=AD,请给出证明;(3)在(2)的条件下,若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,

    25、不用加以证明 30(2014绵阳)如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证:DECEDA;(2)求DF的值;(3)如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值 几何难题精选(1) 旋转 圆 四边形参考答案与试题解析 一解答题(共30小题)1(2015河南)如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角

    26、为(1)问题发现当=0时,= ;当=180时,= (2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决当EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】(1)当=0时,在RtABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点,分别求出AE、BD的大小,即可求出的值是多少=180时,可得ABDE,然后根据,求出的值是多少即可(2)首先判断出ECA=DCB,再根据,判断出ECADCB,即可求出的值是多少,进而判断出的大小没有变化即可(3)根据题意,分两种情况:点A,D,E所在的直

    27、线和BC平行时;点A,D,E所在的直线和BC相交时;然后分类讨论,求出线段BD的长各是多少即可【解答】解:(1)当=0时,RtABC中,B=90,AC=,点D、E分别是边BC、AC的中点,如图1,当=180时,可得ABDE,=故答案为:(2)如图2,当0360时,的大小没有变化,ECD=ACB,ECA=DCB,又,ECADCB,(3)如图3,AC=4,CD=4,CDAD,AD=,AD=BC,AB=DC,B=90,四边形ABCD是矩形,如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,AC=4,CD=4,CDAD,AD=,点D、E分别是边BC、AC的中点,DE=2

    28、,AE=ADDE=82=6,由(2),可得,BD=综上所述,BD的长为4或【点评】(1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,要熟练掌握(2)此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握(3)此题还考查了线段长度的求法,以及矩形的判定和性质的应用,要熟练掌握 2(2015济南)如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC,EAC=90,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D(1)直接写出NDE的度数;(2)如

    29、图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若EAC=15,ACM=60,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】(1)根据题意证明MACNBC即可;(2)与(1)的证明方法相似,证明MACNBC即可;(3)作GKBC于K,证明AM=AG,根据MACNBC,得到BDA=90,根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长,得到答案【解答】解:(1)ACB=90,MCN=90,ACM=BCN,在MAC和NBC中,MACNBC,NBC=

    30、MAC=90,又ACB=90,EAC=90,NDE=90;(2)不变,在MACNBC中,MACNBC,N=AMC,又MFD=NFC,MDF=FCN=90,即NDE=90;(3)作GKBC于K,EAC=15,BAD=30,ACM=60,GCB=30,AGC=ABC+GCB=75,AMG=75,AM=AG,MACNBC,MAC=NBC,BDA=BCA=90,BD=,AB=+,AC=BC=+1,设BK=a,则GK=a,CK=a,a+a=+1,a=1,KB=KG=1,BG=,AG=,AM=【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质,正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键,注意旋

    31、转的性质的灵活运用 3(2015岳阳)已知直线mn,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点(1)操作发现:直线lm,ln,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图所示),连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系: PA=PB (2)猜想证明:在图的情况下,把直线l向上平移到如图的位置,试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(3)延伸探究:在图的情况下,把直线l绕点A旋转,使得APB=90(如图所示),若两平行线m、n之间的距离为2k求证:PAPB=kAB【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】(

    32、1)根据三角形CBD是直角三角形,而且点P为线段CD的中点,应用直角三角形的性质,可得PA=PB,据此解答即可(2)首先过C作CEn于点E,连接PE,然后分别判断出PC=PE、PCA=PEB、AC=BE;然后根据全等三角形判定的方法,判断出PACPBE,即可判断出PA=PB仍然成立(3)首先延长AP交直线n于点F,作AEBD于点E,然后根据相似三角形判定的方法,判断出AEFBPF,即可判断出AFBP=AEBF,再个AF=2PA,AE=2k,BF=AB,可得2PAPB=2kAB,所以PAPB=kAB,据此解答即可【解答】解:(1)ln,BCBD,三角形CBD是直角三角形,又点P为线段CD的中点,

    33、PA=PB(2)把直线l向上平移到如图的位置,PA=PB仍然成立,理由如下:如图,过C作CEn于点E,连接PE,三角形CED是直角三角形,点P为线段CD的中点,PD=PE,又点P为线段CD的中点,PC=PD,PC=PE;PD=PE,CDE=PEB,直线mn,CDE=PCA,PCA=PEB,又直线lm,ln,CEm,CEn,lCE,AC=BE,在PAC和PBE中,PACPBE,PA=PB(3)如图,延长AP交直线n于点F,作AEBD于点E,直线mn,AP=PF,APB=90,BPAF,又AP=PF,BF=AB;在AEF和BPF中,AEFBPF,AFBP=AEBF,AF=2PA,AE=2k,BF=

    34、AB,2PAPB=2kAB,PAPB=kAB【点评】(1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,考查了从图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力(2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握(3)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,以及相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握 4(2015重庆)在ABC中,AB=AC,A=60,点D是线段BC的中点,EDF=120,DE与线段AB相交于点EDF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F(1)如图1,若DFAC,垂足为F,AB=4,求BE的长;(2)如图2,将(

    35、1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F求证:BE+CF=AB;(3)如图3,将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DNAC于点N,若DNAC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BECF)【考点】几何变换综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】(1)如图1,易求得B=60,BED=90,BD=2,然后运用三角函数的定义就可求出BE的值;(2)过点D作DMAB于M,作DNAC于N,如图2,易证MBDNCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可证到EMDFND,

    36、则有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB;(3)过点D作DMAB于M,如图3同(1)可得:B=ACD=60,同(2)可得:BM=CN,DM=DN,EM=FN由DN=FN可得DM=DN=FN=EM,从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM然后在RtBMD中,运用三角函数就可得到DM=BM,即BE+CF=(BECF)【解答】解:(1)如图1,AB=AC,A=60,ABC是等边三角形,B=C=60,BC=AC=AB=4点

    37、D是线段BC的中点,BD=DC=BC=2DFAC,即AFD=90,AED=3606090120=90,BED=90,BE=BDcosB=2cos60=2=1;(2)过点D作DMAB于M,作DNAC于N,如图2,则有AMD=BMD=AND=CND=90A=60,MDN=360609090=120EDF=120,MDE=NDF在MBD和NCD中,MBDNCD,BM=CN,DM=DN在EMD和FND中,EMDFND,EM=FN,BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB;(3)过点D作DMAB于M,如图3同(1)可得:B=ACD=60同(2

    38、)可得:BM=CN,DM=DN,EM=FNDN=FN,DM=DN=FN=EM,BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中,DM=BMtanB=BM,BE+CF=(BECF)【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识,通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键 5(2015烟台)【问题提出】如图,已知ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将BCE绕点

    39、C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明:AB=DB+AF【类比探究】(1)如图,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由(2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由【考点】几何变换综合题【专题】压轴题【分析】首先判断出CEF是等边三角形,即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF,CAF=BAC=60,所以EAF=BAC+CAF=120,DBE=120,EAF=DBE;然后根据全等三角形判定的方法,判断出EDBFEA,即可判断出BD=AE,

    40、AB=AE+BF,所以AB=DB+AF(1)首先判断出CEF是等边三角形,即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF,CAF=BAC=60,所以EFC=FGC+FCG,BAC=FGC+FEA,FCG=FEA,再根据FCG=EAD,D=EAD,可得D=FEA;然后根据全等三角形判定的方法,判断出EDBFEA,即可判断出BD=AE,EB=AF,进而判断出AB=BDAF即可(2)首先根据点E在线段BA的延长线上,在图的基础上将图形补充完整,然后判断出CEF是等边三角形,即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF,CAF=BAC=60,再判断出DBE=EAF,BDE=AEF;最

    41、后根据全等三角形判定的方法,判断出EDBFEA,即可判断出BD=AE,EB=AF,进而判断出AF=AB+BD即可【解答】证明:ED=EC=CF,BCE绕点C顺时针旋转60至ACF,ECF=60,BCA=60,BE=AF,EC=CF,CEF是等边三角形,EF=EC,CEF=60,又ED=EC,ED=EF,ABC是等腰三角形,BCA=60,ABC是等边三角形,CAF=CBA=60,EAF=BAC+CAF=120,DBE=120,EAF=DBE,CAF=CEF=60,A、E、C、F四点共圆,AEF=ACF,又ED=EC,D=BCE,BCE=ACF,D=AEF,在EDB和FEA中,(AAS)EDBFE

    42、A,DB=AE,BE=AF,AB=AE+BE,AB=DB+AF(1)AB=BD+AF;延长EF、CA交于点G,BCE绕点C顺时针旋转60至ACF,ECF=60,BE=AF,EC=CF,CEF是等边三角形,EF=EC,又ED=EC,ED=EF,EFC=BAC=60,EFC=FGC+FCG,BAC=FGC+FEA,FCG=FEA,又FCG=ECD,D=ECD,D=FEA,由旋转的性质,可得CBE=CAF=120,DBE=FAE=60,在EDB和FEA中,(AAS)EDBFEA,BD=AE,EB=AF,BD=FA+AB,即AB=BDAF(2)如图,ED=EC=CF,BCE绕点C顺时针旋转60至ACF,ECF=60,BE=AF,EC=CF,BC=AC,CEF是等边三角形,EF=EC,又ED=EC,ED=EF,AB=AC,BC=AC,ABC是等边三角形,ABC=60,又CBE=CAF,CAF=60,EAF=180CAFBAC=180

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