线性代数考研复习行列式课件.pptx

1、考研数学要求及线性代数要求2、数学一数学一（56%、22%、22%）；）；数学三数学三（56%、22%、22%）；）；3、数学二数学二（78%、22%、0%）要求：要求：线性代数一线性代数一六章全部内容六章全部内容 特别：特别：数学二、三对向量空间和数学二、三对向量空间和 坐标变换不做要求）；坐标变换不做要求）；第1页/共46页线性代数的六大部分内容行列式、矩阵、向量及向量空间、线性方程组、特征值和特征向量、二次型第2页/共46页章节2013年新大纲2012年大纲变化情况对比行列式考试内容行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2.会应

2、用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。考试内容行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。对比无变化，按原计划复习第一部分 行列式第3页/共46页332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa.2112221122211211aaaaaaaaD二阶行列式的定义：二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：三阶行列式的定义：一、行列式的基本内容 1、二、

3、三阶行列式定义、二、三阶行列式定义注注：对角线法则对n(3)阶行列式一般不再成立。第4页/共46页余子式与代数余子式：把行列式 中元素 所在的 行元素和 列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的 阶行列式，称为元素 的余子式，记为 。称为元素 的代数余子式。nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111nijijMijjiijMA)1(ijaijaija一、行列式的基本内容 2、n阶行列式的定义阶行列式的定义第5页/共46页第6页/共46页一、行列式的基本内容 3、行列式的基本性质(1);(2);(3);(4):;(5);(6)TijiijijijijijDDrrr

4、krrkabcrkr 不必会证明，但要会熟练运用。第7页/共46页一、行列式的基本内容 4、重要结论第8页/共46页第9页/共46页第10页/共46页5、解线性方程组的克莱姆法则第11页/共46页第12页/共46页第13页/共46页第14页/共46页二、行列式计算技巧归纳题型题型I：抽象行列式的计算：抽象行列式的计算题型题型II：一些低阶行列式的计算：一些低阶行列式的计算题型题型III：行列式的计算方法：行列式的计算方法第15页/共46页例例 题型题型I：抽象行列式的计算：抽象行列式的计算第16页/共46页例例第17页/共46页111213111112132122232121222331323

5、3313132334231,423.423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa若求 例例第18页/共46页 例.601504321 D 计算 题型题型II：一些低阶行列式的计算：一些低阶行列式的计算第19页/共46页例例第20页/共46页212113302112312314例例第21页/共46页22例 计算行列式0532004140013202527102135 D第22页/共46页例例第23页/共46页求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA ,00103010021321nnDn 设 n 阶行列式例第24页/共46页例 计算行列式1111111111111111 xxxx.

6、第25页/共46页方法一：化三角形行列式法12111111(0)111ninaaDaa 例例 题型题型III：行列式的计算方法：行列式的计算方法第26页/共46页112111100naaaaa 11211221110000niiinacciianaaaaa 解解（法（法1）原式原式=111(1)nniiaaa 第27页/共46页nnnnaaaaaaaaaaaaaaa11111111111111132132132121 原式原式解（法2）第28页/共46页方法二：拆项法 解：原式解：原式=112211011111011111111naaaaa 1211nnna aaa D12112212()nn

7、nnna aaa a aaaD第29页/共46页222244441111abcdDabcdabcd 例例 计算计算22222333334444411111()abcdxabcdxf xabcdxabcdx 解：构造解：构造（这是一个范德蒙行列式）（这是一个范德蒙行列式）方法三：升阶法第30页/共46页=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外另外f(x)按最后一列展开，可得按最后一列展开，可得2341525354555()f xAA xA xA xA x 上两式是恒等式，故同次幂系数相等。上两式是恒等式，故同次幂系数相等。而而D=

8、-A45，故，故D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)第31页/共46页方法四：降阶法方法四：降阶法（行列式中某一行（列）只有一、二（行列式中某一行（列）只有一、二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）1221100001000001nnnnxxDxaaaaxa 例例 求求证法一：证法一：按最后一行展开按最后一行展开第32页/共46页 证法二：按第一列展开，得Dn=xDn-1+an再根据上面的递推公式或数学归纳再根据上面的递推公式或数学归纳法可得结果。法可得结果。方法五：递推法方法五：递推

9、法第33页/共46页1121112210100001000001nncxcxcnnnnnnDxxxa xaaaax a 证证法法三三：按第一列展开即可得结果。按第一列展开即可得结果。第34页/共46页方法六：数学归纳法方法六：数学归纳法例例证明证明cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nnD 第35页/共46页证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2,1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等

10、等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn第36页/共46页1cos100012cos100012cos00(1)0002cos000011cos100012cos100012cos002cos0002cos100012cosn nnD 第37页/共46页,)2cos(,)1cos(,1 nDn2nnD由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数n.cos221DDDnnn 第38页/共46页例例计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 三、典型题型举例三、典型题型举例提示：用化三角形、提示：用化三角形、递推法递推法行列式计算行列式计算第39页/共46页例例第40页/共46页例例第41页/共46页例例第42页/共46页例例第43页/共46页例例第44页/共46页例例第45页/共46页谢谢您的观看！第46页/共46页