第一章计数原理复习课(复习课)课件.ppt

1、排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理复习课复习课 名称内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同点相同点不同点不同点一、两个原理的区别与联系：一、两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+

2、m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.例例1.书架上放有书架上放有3本不同的数学书本不同的数学书,5本不同的本不同的语文书语文书,6本不同的英语书本不同的英语书,(1)若从这些书中任取一本若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?(2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书

3、各若从这些书中取数学书、语文书、英语书各 一本一本,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?(3)若从这些书中取不同科目的书两本若从这些书中取不同科目的书两本,有多少种有多少种 不同的选法不同的选法?例2如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（）63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种分析:由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知 222222-1=63（1）5名同学报名参加名同学报名参加4项活动（每人限报项活动（每人限报1项），共有项），共有 种不同的报名

4、方法种不同的报名方法（2）5名同学争夺名同学争夺4项竞赛冠军，项竞赛冠军，冠冠军军获得者共有获得者共有 种可能种可能5445基基 础础 练习练习二、排列和组合的区别和联系：二、排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质区别区别 mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!(!mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个

5、不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA先选后排先选后排 只选不排只选不排 解排列组合问题遵循的一般原则解排列组合问题遵循的一般原则:1.有序-;无序-2.分类-;分步-3.既有分类又有分步:4.既有排列又有组合:5.先 后6.正难7.分类排列排列组合组合加法加法乘法乘法先分类再分步先分类再分步先选后排先选后排要不重不漏要不重不漏则反则反特殊特殊一般一般1 1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素某些元素不能在不能在或必须排列或必须排列

6、在在某一位置；某一位置；某些元素要求某些元素要求连连排排（即必须相邻）；（即必须相邻）；某些元素要求某些元素要求分离分离（即不能相邻）；（即不能相邻）；2 2基本的解题方法：基本的解题方法：（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元（）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素特殊元素,特殊位置优先安排策略特殊位置优先安排策略（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑

7、相邻元素的内部排列，这种方法素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为称为“捆绑法捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略相邻问题捆绑处理的策略（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”；不相邻问题不相邻问题插空处理的策略插空处理的策略例题例题：（：（排队问题排队问题）有有3名男生和名男生和4名女生，若分别满足下名女生，若分别满足下列条件，列条件，则共有多少种不同的排法？则共有多少种不同的排法？1排成前后两排，前排成前后两排，前3人后人后4人：

8、人：_3477475040AAA解：解：（多排问题单排法处理）（多排问题单排法处理）.与无任何限制的排列相同，与无任何限制的排列相同，有有 种种775040A 根据分步计数原理：根据分步计数原理：76543217！50402甲站在正中间：甲站在正中间：_66720A(变式变式)7位同学站成一排，其中甲不站在位同学站成一排，其中甲不站在首位首位:解一：解一：共有共有A61 A66=4320。解二：解二：共有共有A61 A66=4320。解三：解三：A77-A66=7 A66-A66=4320。位置位置分析分析法法 方法三：先不考虑特殊计算所有可能，再方法三：先不考虑特殊计算所有可能，再去掉不符合

9、条件的去掉不符合条件的 用三种方法完成用三种方法完成：有：有3名男生和名男生和4名女生，名女生，若甲不站在中间也不站在两端，则共有多若甲不站在中间也不站在两端，则共有多少种不同的排法？少种不同的排法？34642880AA16462880AA7167362880AA A1 2 3 4 5 6 7 方法一：先安排特殊位置（中间，两端）方法一：先安排特殊位置（中间，两端）方法二：先安排特殊元素（甲）方法二：先安排特殊元素（甲）3.甲不站在中间也不站在两端，甲不站在中间也不站在两端，4甲不在排头、乙不在排尾：甲不在排头、乙不在排尾：_76576523720AA A5甲、乙必须相邻：甲、乙必须相邻：_6

10、2621440A A.变变甲、乙、丙三人都相邻甲、乙、丙三人都相邻：6甲、乙不能相邻：甲、乙不能相邻：_76252762563600AA AA Acbade乙乙甲甲变变甲、乙、丙三人都不相邻甲、乙、丙三人都不相邻：_43451 4 4 0AA 解：解：先将其余四个同学排好有先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们种方法，此时他们留下五个留下五个“空空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这这五个五个“空空”有有A53种方法，所以一共有种方法，所以一共有A44 A53 1440种种小结小结：对于：对于不相邻不相邻问题，常用问题，常用“插空法插空法”（特殊元素（特殊

11、元素考虑）考虑）7男女生各站在一起：男女生各站在一起：_342342288A A A 解：将甲、乙、丙三个解：将甲、乙、丙三个男男同学同学“捆绑捆绑”在一起看成一个在一起看成一个 元素，另外四个元素，另外四个女女同学同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元在一起看成一个元 素，一共有素，一共有2 2个元素，个元素，先捆后松先捆后松 一共有排法种数：一共有排法种数：342342288A A A（种）（种）.8甲、乙两人之间须相隔人：甲、乙两人之间须相隔人：_1255251200A A A9甲、乙两人中间恰有甲、乙两人中间恰有3人：人：_25323255233720A AA A A10男女各不相邻男女各不

12、相邻(即男女相间、即男女相间、4女互不相邻女互不相邻)：_34341 4 4A A插空法插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有共有 种排法种排法.3434144A A11甲在乙的右边：甲在乙的右边：_77125202A定序问题比例法定序问题比例法12从左到右，从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁名女生按甲、乙、丙、丁 的顺序不变的顺序不变(即只排男生即只排男生)：_7374742 1 0AAA 方法方法1：(比例法比例法)737744210ANAA方法方法2 2：设想有：设想有7 7个位置，先将男生排在其中的任意个位置，先将男生排在其中的任

13、意3 3个个 位置上，有位置上，有 种排法；余下的种排法；余下的4 4个位置排女个位置排女 生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有 一种排法一种排法.故本题的结论为故本题的结论为 （种）（种）.37A371210A 8 8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个

14、位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.二、注意区别二、注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”例：例：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）(A)480种（B）240种 （C）180种 （D）120种解：12116522240CCCC练习：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_种解：4

15、41 41262()255CCC22264290C C C 分配问题 222642C C C33A22236423C C CxA2226423315C C CxA平均分成平均分成m组要除以组要除以mmA12365360C C C12336533360C C C A例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：的选法：（5 5）分给甲、乙、丙三人，每人至少）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 1本本 22264290C C C 12336533360C C C A 436390C A 多个分给少个时，采用多个分给少个时，采用先分组先分组再分配再分配的

16、的策略策略1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队,有多少分法？有多少分法？544138422C C CA2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 2226422290ACC A环排问题线排策略环排问题线排策略例例6.56.5人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐

17、成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！1mnmA练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈60设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数为：(61)!/260 要考虑“钻石圈”可以翻转的特点 混合问题，先混合问题，先“组组”后后“

18、排排”例对某种产品的例对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有：种可能。种可能。576441634ACC练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名

19、女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方法共有多少种法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(

20、24122613CCCC例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,这两个奇数之这两个奇数之 间间,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有_种排法种排法.22A2222A A2222A A22A31524小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行

21、处理。.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画,排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_2.5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种255255A A A254254A A A例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法

22、有多少种？取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 35C1255CC9 90130130150150170171231231251251271270 024241431430 026261

23、255CC35C+-9-91255CC35C+我们班里有我们班里有4343位同学位同学,从中任抽从中任抽5 5人人,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种?练习题554340CC实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号

24、相同,.,.有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球,3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒34525C十五十五.实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒

25、子内个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应，25C利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球,3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法,25C 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有也号球有也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 练习题1.1.同一

26、寝室同一寝室4 4人人,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)例：如图例：如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？涂色问题解法一解法一:按地图按地图A、B、C、D四个区域依四个区域依次分四步完成次分四步完成,第一步第一步,m1=

27、3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N=3 2 11=6 种。种。解法二解法二:3种颜色种颜色4块区域，则肯定有两块同色，块区域，则肯定有两块同色，只能只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所同色，把它们看成一个整体元素，所以涂色的方法有：以涂色的方法有：336(A 种种)例例3：如图：如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,

28、但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？涂色问题4、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽种种4种不同颜色的花，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有不同的栽种方法有_种种.（以（以数字作答）数字作答）6 5 4 3 2 1所以，共有所以，共有48+48+24=12048+48+24=120种种.

29、解法：从题意来看解法：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求（2 2）与与同色，则同色，则或或同色，所以共有同色，所以共有 =48=48种；种；442A（3 3）与与且且与与同色，则共同色，则共 =24=24种种 44A（1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，所以共有也同色，所以共有 =48=48种；种；442A六、分清排列、组合、等分的算法区别六、分清排列、组合、等分的算法区别例例1:(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有

30、多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?解：（1）123109712600CCC（2）12331097375600CCCA(3)336222110642()3150ACC C C)/(332628210ACCC练习练习.在今年国家公务员录用中，某市农在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有农业局公务人员的考生有

31、10人，则可能出人，则可能出现的录用情况有现的录用情况有_种（用数字作答）。种（用数字作答）。21110872520CCC解法解法1:解法解法2:42210422520CCA七、分类组合七、分类组合,隔板处理隔板处理例例:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C小结：把小结：把n个相同元素分成个相同元素分成m份每份份每份,至少至少1个元素个元素,问问有多少种不同分法的问题可以采用有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法隔板法”得出共得出共有有 种种.11mnC元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC59C