正方形专题复习(绝对)与正方形有关的六个常考模型课件.pptx
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1、2023-5-3模型一:正方形中相交垂线段问题模型一:正方形中相交垂线段问题教材母题:教材母题:课本课本6868页第页第8 8题题例例1.1.如图,如图,ABCDABCD是一个正方形花园,是一个正方形花园,E E、F F是它的两个门,且是它的两个门,且DE=CFDE=CF,要修,要修建两条路建两条路BEBE和和AFAF,这两条路等长吗?它们有什么位置关系?为什么?,这两条路等长吗?它们有什么位置关系?为什么?解:解:BEBEAFAF且且BEAFBEAF,理由:,理由:四边形四边形ABCDABCD是正方形,是正方形,ABABADADCDCD,BADBADDD9090.又又DEDECFCF,AEA
2、EDF.DF.ABEABEDAFDAF(SASSAS)BEBEAFAF,ABEABEDAF.DAF.DAFDAFBAFBAF9090,ABEABEBAFBAF9090.AGBAGB9090,即,即BEAF.BEAF.2023-5-3变式变式1 1:如图,如图,ABCDABCD是一个正方形花园,是一个正方形花园,E E、F F是它的两个门,是它的两个门,且且B BE=E=A AF F,则,则BEBEAFAF吗?吗?解:成立理由:解:成立理由:四边形四边形ABCDABCD是正方形,是正方形,BADBADDD9090,ABABAD.AD.在在RtRtABEABE和和RtRtDAFDAF中,中,BE
3、BEAFAF,ABABDADA,RtRtABERtABERtDAFDAF(HLHL)ABEABEDAF.DAF.DAFDAFBAFBAF9090,ABEABEBAFBAF9090.AGBAGB9090,即,即BEAF.BEAF.2023-5-3变式变式2 2:如图,如图,ABCDABCD是一个正方形花园,是一个正方形花园,E E、F F是它的两个门,是它的两个门,且且BEBEAFAF,则,则B BE=E=A AF F成立成立吗?吗?解:成立理由:解:成立理由:四边形四边形ABCDABCD是正方形,是正方形,ABABADAD,BADBADDD9090.又又BEAFBEAF,AGBAGB9090.
4、ABEABEBAFBAF9090.DAFDAFBAFBAF9090,ABEABEDAF.DAF.ABEABEDAFDAF(ASAASA)BEBEAF.AF.2023-5-3如图,正方形如图,正方形ABCDABCD中,分别连接两组对边上的两点,得到的两条线段中,分别连接两组对边上的两点,得到的两条线段(如图(如图1 1中的中的AFAF与与BEBE,图图2 2中的中的AFAF与与GEGE,图,图3 3中的中的HFHF与与GEGE)满足:)满足:若垂直,则相等;若垂直,则相等;若相等,则垂直;若相等,则垂直;若若AE=DFAE=DF,则垂直且相等,则垂直且相等.图图2 2思路:过点思路:过点B B作
5、作BM/GEBM/GE交交ADAD于点于点M M图图3 3思路:过点思路:过点B B作作BM/GEBM/GE交交ADAD于点于点M M,过点,过点A A作作AN/HFAN/HF交交CDCD于点于点N N模型归纳:模型归纳:2023-5-31.1.如图,在正方形如图,在正方形ABCDABCD中,点中,点E E、F F分别在分别在BCBC,CDCD上,上,BE=CFBE=CF,则图中,则图中与与AEBAEB相等的角的个数是(相等的角的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4C C 拓展拓展 若若AEAE与与BFBF相交于点相交于点O O,求,求AOBAOB的度数的度数.2023-
6、5-32.2.在正方形在正方形ABCDABCD中,动点中,动点E E,F F分别从分别从D D,C C两点同时出发,以相同的速度在直线两点同时出发,以相同的速度在直线DCDC,CBCB上移动上移动(1 1)如图,当点)如图,当点E E自自D D向向C C,点,点F F自自C C向向B B移动时,连接移动时,连接AEAE和和DFDF交于点交于点P P,请你写出,请你写出AEAE与与DFDF的位置关系,的位置关系,并说明理由;并说明理由;(2 2)如图,当)如图,当E E,F F分别移动到边分别移动到边DCDC,CBCB的延长线上时,连接的延长线上时,连接AEAE和和DFDF,(,(1 1)中的结
7、论还成立吗?)中的结论还成立吗?(请你直接回答(请你直接回答“是是”或或“否否”,不须证明),不须证明)(3 3)如图,当)如图,当E E,F F分别在边分别在边CDCD,BCBC的延长线上移动时,连接的延长线上移动时,连接AEAE,DFDF,(,(1 1)中的结论还成立吗?)中的结论还成立吗?请说明理由;请说明理由;2023-5-3(1 1)AE=DFAE=DF,AEDFAEDF理由:理由:四边形四边形ABCDABCD是正方形,是正方形,AD=DCAD=DC,ADC=C=90ADC=C=90在在ADEADE和和DCFDCF中,中,AD=DCAD=DC,ADC=CADC=C,DE=CFDE=C
8、FADEADEDCFDCF(SASSAS)AE=DFAE=DF,DAE=CDFDAE=CDF,由于由于CDF+ADF=90CDF+ADF=90,DAE+ADF=90DAE+ADF=90AEDFAEDF;(2 2)是)是(3 3)成立)成立理由:由(理由:由(1 1)同理可证)同理可证AE=DFAE=DF,DAE=CDFDAE=CDF延长延长FDFD交交AEAE于点于点G G,则则CDF+ADG=90CDF+ADG=90,ADG+DAE=90ADG+DAE=90AEDFAEDF;2023-5-33.在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C、D重合),连结BE【感知】如图,过点A作AFB
9、E交BC于点F易证ABFBCE(不需要证明)【探究】如图,取BE的中点M,过点M作FGBE交BC于点F,交AD于点G(1)求证:BE=FG(2)连结CM,若CM=1,则FG的长为【应用】如图,取BE的中点M,连结CM过点C作CGBE交AD于点G,连结EG、MG若CM=3,则四边形GMCE的面积为 对角线互相垂直对角线互相垂直的四边形的的四边形的面积面积等于两条等于两条对角线乘积的一半对角线乘积的一半.2023-5-3探究:(探究:(1 1)如图,)如图,过点过点G G作作GPBCGPBC于于P P,四边形四边形ABCDABCD是正方形,是正方形,AB=BCAB=BC,A=ABC=90A=ABC
10、=90,四边形四边形ABPGABPG是矩形,是矩形,PG=ABPG=AB,PG=BCPG=BC,同感知的方法得,同感知的方法得,PGF=CBEPGF=CBE,在在PGFPGF和和CBECBE中,中,PGF=CBEPGF=CBE,PG=BCPG=BC,GPF=BCE=90GPF=BCE=90PGFPGFCBECBE(ASAASA),),BE=FGBE=FG,(2 2)由()由(1 1)知,)知,FG=BEFG=BE,连接,连接CMCM,BCE=90BCE=90,点,点M M是是BEBE的中点,的中点,BE=2CM=2BE=2CM=2,FG=2FG=2应用:同探究(应用:同探究(2 2)得,)得,
11、BE=2ME=2CM=6BE=2ME=2CM=6,ME=3ME=3,同探究(同探究(1 1)得,)得,CG=BE=6CG=BE=6,BECGBECG,SS四边形四边形CEGMCEGM=CG=CGME=ME=6 63=93=92023-5-3模型二:正方形与等边三角形模型二:正方形与等边三角形例例2 2.如图,在正方形如图,在正方形ABCDABCD的外侧,作等边三角形的外侧,作等边三角形ADEADE,连接,连接BEBE,则,则AEBAEB的度数为的度数为_._.1515教材母题:教材母题:6767页第页第1 1(3 3)题)题变式变式1 1:在正方形在正方形ABCDABCD的外侧,的外侧,以正方
12、形以正方形ABCDABCD的一边作的一边作等边三角等边三角形形ADEADE,连接,连接BEBE,则,则AEBAEB的度数为的度数为_.1515或或75752023-5-3变式变式3 3:如图,在正方形如图,在正方形ABCDABCD的外侧,作等边的外侧,作等边三角形三角形ADEADE,连接,连接BEBE,CECE,则,则(1 1)求证:)求证:BE=CE BE=CE (2 2)求)求CEBCEB的度数的度数.变式变式2 2:如图,在正方形如图,在正方形ABCDABCD的外侧,作等边三角形的外侧,作等边三角形DCEDCE,若,若AED=15AED=15,则,则EACEAC的度数为的度数为_._.3
13、030变式变式4 4:(导学(导学9595页页3 3题)如图,在边长为题)如图,在边长为2 2的的正方形正方形ABCDABCD的外侧,作等边三角形的外侧,作等边三角形ADEADE,连接连接BEBE,则,则ABEABE的面积等于的面积等于_。1 12023-5-3变式变式5 5:如图如图1 1,在正方形,在正方形ABCDABCD的外侧,作两个等边三角形的外侧,作两个等边三角形ADEADE和和DCFDCF,连接,连接AFAF、BEBE(1 1)请判断)请判断AFAF与与BEBE的关系并给予证明;的关系并给予证明;(2 2)如图)如图2 2,若将条件,若将条件“两个等边三角形两个等边三角形ADEAD
14、E和和DCFDCF变为两个等腰三角形变为两个等腰三角形ADEADE和和DCFDCF,且,且EA=ED=FD=FC”EA=ED=FD=FC”,第(,第(1 1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;(3 3)若三角形)若三角形ADEADE和和DCFDCF为一般三角形,且为一般三角形,且AE=DFAE=DF,ED=FCED=FC,第(,第(1 1)问中的结论是否仍)问中的结论是否仍然成立?请直接写出判断结果然成立?请直接写出判断结果2023-5-3解:(解:(1 1)AF=BEAF=BE;AFBEAFBE理由如下:如图理由如下:如图1 1所示
15、:所示:四边形四边形ABCDABCD是正方形,是正方形,BAD=ADC=90BAD=ADC=90,AB=AD=CDAB=AD=CD,ADEADE和和DCFDCF是等边三角形,是等边三角形,DAE=CDF=60DAE=CDF=60,AE=ADAE=AD,DF=CDDF=CD,AE=DFAE=DF,BAE=ADF=150BAE=ADF=150,BAEBAEADFADF(SASSAS),),AF=BEAF=BE,ABE=DAFABE=DAFDAF+BAF=90DAF+BAF=90,ABE+BAF=90ABE+BAF=90,AMB=90AMB=90,AFBEAFBE;(2 2)第()第(1 1)问中的
16、结论仍然成立,理由如下:)问中的结论仍然成立,理由如下:如图如图2 2所示:所示:在正方形在正方形ABCDABCD中,中,BAD=ADC=90BAD=ADC=90,AB=AD=CDAB=AD=CDEA=ED=FD=FCEA=ED=FD=FC,AEDAEDDFCDFC(SSSSSS),),EAD=FDCEAD=FDCBAD+EAD=ADC+FDCBAD+EAD=ADC+FDC即即BAE=ADFBAE=ADFBAEBAEADFADF(SASSAS)AF=BEAF=BE,ABE=DAFABE=DAFDAF+BAF=90DAF+BAF=90,ABE+BAF=90ABE+BAF=90,AMB=90AMB
17、=90,AFBEAFBE(3 3)所画图形如图)所画图形如图3 3,第(第(1 1)问的结论成立,理由如下:)问的结论成立,理由如下:AE=DFAE=DF,ED=FCED=FC,AB=CDAB=CDAEDAEDDFCDFC(SSSSSS),),EAD=FDCEAD=FDCBAD+EAD=ADC+FDCBAD+EAD=ADC+FDC即即BAE=ADFBAE=ADFBAEBAEADFADF(SASSAS),),AF=BEAF=BE,ABE=DAFABE=DAFDAF+BAF=90DAF+BAF=90,ABE+BAF=90ABE+BAF=90,AMB=90AMB=90,AFBEAFBE2023-5-
18、3模型三:正方形中过对角线交点的直角问题模型三:正方形中过对角线交点的直角问题例例3.3.如图,正方形如图,正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O,O O又是正方形又是正方形A A1 1B B1 1C C1 1O O的一个的一个顶点,顶点,O AO A1 1交交ABAB于点于点E E,OCOC1 1交交BCBC于点于点F F(1 1)求证:)求证:AOEAOEBOFBOF;(2 2)如果两个正方形的边长都为)如果两个正方形的边长都为a a,那么正方形,那么正方形A A1 1B B1 1C C1 1O O绕绕O O点转动,两个正方形点转动,两个正方形重叠
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