上海市浦东新区2023届高三下学期二模数学试卷+答案.pdf

1、1浦东新区 2022 学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，题考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分，分，7-12 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1.已知集合2|60,RAx xxx，0,1,2B，则AB 2.若复数 z 满足(1 i

2、)12iz（i是虚数单位），则复数z 3.若圆柱的高为 10，底面积为4，则这个圆柱的侧面积为（结果保留）4.5(3)x的二项展开式中2x项的系数为5.设 随 机 变 量X服 从 正 态 分 布2(0,)N，且(2)0.9P X ，则(2)P X 6.双曲线22:124xyC的右焦点 F 到其一条渐近线的距离为7.投掷一颗骰子，记事件2,4,5A，1,2,4,6B，则(|)P A B 8.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c，若5 coscoscosaAbCcB，则sin2A.9.函数241loglog(2)yxx在区间1(,)2上的最小值为10.已知,0R，函数3sinc

3、osyxx在区间0,2上有唯一的最小值-2，则的取值范围为11.已知边长为 2 的菱形ABCD中，120A，P、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQBD，则AP CQ 的最大值是12.已知01ab，设 3W xxaxb，kW xW kfxxk，其中 k 是整数.若对一切k Z，kyfx都是区间,k 上的严格增函数.则ba的取值范围是 _.2二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-1

4、4 题每题选对得题每题选对得 4 分，分，15-16 题每题选对得题每题选对得 5 分分,否则一律得零分否则一律得零分13.已知Rx，则“|1|1|2xx”是“11x”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.14.某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有下表关系，y与x的线性回归方程为10.55.4yx，当广告支出 6 万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（）.x24568y3040607080A.1.6B.8.4C.11.6D.7.415.在空间中，下列命题为真命题的是（）.A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互

5、相平行；B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.16.已知函数()()yf xxR，其导函数为()yfx，有以下两个命题：若()yfx为偶函数，则()yf x为奇函数；若()yfx为周期函数，则()yf x也为周期函数.那么（）.A.是真命题，是假命题B.是假命题，是真命题C.、都是真命题D.、都是假命题三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤三、

6、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分.（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分.3已知数列na是首项为 9，公比为13的等比数列.（1）求1234511111aaaaa的值；（2）设数列3logna的前n项和为nS，求nS的最大值，并指出nS取最大值时n的取值.18.（本题满分.（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分

7、8 分分.如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AEAD，ABAD，/BCAD，2ABAEBC，4AD，F、H分别为ED、EA的中点（1）求证：/BH平面AFC；（2）求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值19.（本题满分.（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分.为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置 10 道题，其中 5 道人文历史题和 5 道地理环境题.（1）在抢答环节，

8、某代表队非常积极，抢到 4 次答题机会，求该代表队至少抢到 1 道地理环境题的概率；（2）在必答环节，每个班级从 5 道人文历史题和 5 道地理环境题各选 2 题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中 2 题均答对，才有资格开始第二类问题答题.已知答对 1 道人文历史题得 2 分，答对 1 道地理环境题得 3 分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是35，答对地理环境题的概率都是13.请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由.20.（本题满分（本题满分 18 分）本题共有分

9、）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 34小题满分小题满分 8 分分.椭圆C的方程为2234xy，A、B为椭圆的左右顶点，1F、2F为左右焦点，P为椭圆上的动点.（1）求椭圆的离心率；（2）若12PFF为直角三角形，求12PFF的面积；（3）若Q、R为椭圆上异于P的点，直线PQ、PR均与圆222(01)xyrr相切，记直线PQ、PR的斜率分别为1k、2k，是否存在位于第一象限的点P，使得121k k？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本题满分（本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 3 个小题

10、，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3小题满分小题满分 8 分分.设P是坐标平面xOy上的一点，曲线是函数 yf x的图像.若过点P恰能作曲线的k条切线（k N），则称P是函数 yf x的“k度点”.（1）判断点(0,0)O与点(2,0)A是否为函数lnyx的 1 度点，不需要说明理由；（2）已知0m，sing xx.证明：点0,B是(0)yg xxm的 0 度点；（3）求函数3yxx的全体 2 度点构成的集合.5浦东新区 2022 学年度第二学期教学质量检测高三数学答案一、填空题一、填空题10,121322i340427050.16

11、271284 625 92 21105 11,)66 1114121,3二、选择题二、选择题13 B14 A15 D16D三、解答题三、解答题17【解析】（1）由题【解析】（1）由题1319()33nnna，则，则313nna，2121234511111121331 33.9aaaaa （2）记3lognnba，由（1）知3nbn，所以22(3)51222nnSnnn，22511525()22228nSnnn，当n 2 或 3 时，nS取得最大值 3.（由（由3nbn得得4n 时，时，0nb 分析得分析得nS最大值亦可）最大值亦可）18【解析】（1）证明：联结FH，因为F、H分别为ED、EA的

12、中点，所以/HFAD且12HFAD，又因为/BCAD，且12BCAD，所以/HFBC且HFBC，即四边形BCFH为平行四边形，所以/BHCF，又BH不在平面AFC上，CF 平面AFC，所以/BH平面AFC（建系也可）（2）因为三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AEAD，所以AE 平面ABCD，所以AEAB，所以AB，AD，AE两两互相垂直6如图所示建立直角坐标系，则有关点的坐标为0,0,0A，2,2,0C，0,2,1F所以2,2,0AC，0,2,1AF，由题意知，平面EAB的法向量10,1,0n，设平面AFC的法向量2,nx y z，由22220202nACxyxyyzzynAF

13、，令1y ，得21,1,2n ，设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为，则12126cos6n nnn 19【解析】（1）从 10 道题中随机抽取 4 道题，所有的基本事件的个数为410C，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为A，事件A的对立事件A为“某代表队抢到至少 1 道地理环境题”.则 45410142CP AC，411.42P AP A（分类讨论同等给分）（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题,设该代表队必答环节的得分为X，则X的分布为02471026621525252525此时得分期望12.5E X 情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题,设该代表队必答环

14、节的得分为Y，则Y的分布为03681022221394575257此时得分期望116.75E Y 由于12116575，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题.20【解析】（1）由椭圆C的方程为2234xy，得标准方程为221443xy，离心率63cea.（2）设11PFr，22PFr当122FPF时，22212121 21 232328()2=333rrrrrrrr此时1 21 211842233PF FSrr；（或者可由1 22124tan23PF FFPFSb）由对称性，不妨设122PFF，且P在第一象限，则2 6 2(,)33P此时121 4

15、 6 24 62339PF FS；综上，12PF F的面积为43或4 69.（3）设00()P x y，则直线010:()PQ yyk xx，由已知1002222201001021()201k xyrxrkx y kyrk.同理：22222020020()20 xrkx y kyr.因而1k，2k是方程222220000()20 xrkx y kyr的两根，所以220122201yrk kxr.得2200 xy，由P在第一象限得(1,1)P.821【解析】(1)设0t，则曲线lnyx在点,lntt处的切线方程为1lnytxtt.则该切线过点O当且仅当ln1t，即et.故原点O是函数lnyx的一

16、个 1 度点.(2)设0t，则曲线sinyx在点,sintt处的切线方程为sincosytt xt.则该切线过点0,当且仅当sincosttt（*）.设 sincosG tttt，则当0t 时，sin0G ttt，故 yG t在区间0,上严格增.因此当0tm 时，0G t，（*）恒不成立，即点0,是 yg x的一个 0 度点.(3)对任意tR，曲线3yxx在点3,t tt处的切线方程为 3231ytttxt.故点,a b为函数3yxx的一个 2 度点当且仅当关于t的方程 3231btttat恰有两个不同的实数解.设 3223h ttatab.则点,a b为函数3yxx的一个 2 度点当且仅当有

17、 yh t两个不同的零点.若0a，则 32h ttb在R上严格增，只有一个实数解，不合要求.若0a，因为 266h ttat，解得 yh t有两个驻点0,tta.由0t 或ta时 0h t得 yh t严格增；而当0ta 时 0h t，得 yh t严格减.故 yh t在0t 时取得极大值 0hab，在ta时取得极小值 3h abaa.又因为2333022ababha，330haba，所以当 00hh a时，由零点存在定理，yh t在,0、0,a、,a 上各有一个零点，不合要求；当 00hh a时，yh t仅,a 上有一个零点，不合要求；当 00hh a时，yh t仅,0上有一个零点，也不合要求.故 yh t两个不同的零点当且仅当 00h或 0h a.若0a，同理可得 yh t两个不同的零点当且仅当 00h或 0h a.9综上，3yxx的全体 2 度点构成的集合为3,0a b babaa a 或.