初等数论不定方程课件.ppt
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1、1、什么是不定方程?顾名思义即方程的解不定.一般地有第二章 不定方程定义:不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,或未知数受到某种限制(如整数,正整数等)的方程和方程组。2、主要研究问题a.不定方程有解的条件b.有解的情况下,解的个数c.有解的情况下,如何解3、本章学习内容 (1)二元一次不定方程(2)多元一次不定方程(3)勾股数组(4)费马大定理简介 (5)几类特殊的不定方程 1 二元一次不定方程定义:形如 其中()a,b,c为整数的方程称为二元一次不定方程。cbyax0,0ba例:2X+3Y=5 5U+6V=21定理:有解的充要条件是(a,b)|c证:设方程有解 则有因为(a,b)|a,(
2、a,b)|b,因而(a,b)|c反之,设(a,b)|c,则 由最大公因数的性质存在s,t 使得as+bt=(a,b)令 即为方程的解cbyax00,yxcbyax001010,tcyscx1),(cbac 3、二元一次不定方程有解的情况下解的结构定理:设 是方程的一组解,则不定方程有无穷解,其一切解可表示成 其中00,yxtayytbxx1010),(,),(11babbbaaa,2,1,0t证:把 代入不定方程成立,所以是方程的解。又设 是不定方程的任一解,又因为 是一特解则有 ,即有 有因为令 即得到了方程的解。tayytbxx1010yx,00,yx0)()(00yybxxa)()(01
3、01yybxxa)(|011yyba)(|,1),(0111yyaba)(01yyta 方程有解情况下不定方程的解法(1)观察法:当a,b的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解 ,然后用 得到其所有解。00,yxtayytbxx10102、公式法:当a,b的绝对值较小时,可用公式 得到特解然后用公式写出一切解。为a,b作辗转相除时不完全商(见书)211021110,1,0,1kkkkkkkkPQqQQQPPqPqPPnnnnPyQx)1(,)1(010iq3、整数分离法:当a,b中系数不同时,用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量,通过变量替换得到一个新的不定方程。如此反复,直到一个参数
4、的系数为1.从而得到不定方程的解。4、化为同余方程(同余方程中再讲)注:方法(1)(3)(4)用得较多,(2)不太实用.|)|(mod bcax 例1:求解不定方程解:因为(9,21)=3,3|144所以有解;化简得 考虑 ,有解 所以原方程的特解为 ,所以方程的解为 144219yx4873 yx173 yx1,2yx48,96yxZttytx,348,796注:解的表达式是不惟一的例2、用整数分离法解解:因为(107,37)=1,所以有解;故 故 2537107yx3733252xxy25337,37332511xyxy即令有令11113342533425xyyyx2543311yx144
5、1,41862121111yxyxxxy令令故txty41,12令Zttxty,373,1078 2 多元一次不定方程2.1定义:形如的不定方程多元一次不定方程。)2(2211ncxaxaxann2.2 定理 有解的充要条件是)2(2211ncxaxaxann证:必要性,若不定方程有解 ,则有由 。caaan|),(21caaaaaaanin|),(,|),(2121有,2,1,nxxxcxaxaxann2211充分性:用数学归纳法(n=2)时已证假设对n-1时条件是充分的,令则方程 有解,设解为 又 有解,设为 ,这样 就是方程的解。cdaadaadn|),(),(32212cxaxatdn
6、n3322,3,2,nxxt,222211tdxaxa,2,1,xx,2,1,nxxx注:从证明过程也提供了方程的解法。)2(2211ncxaxaxann则 等价于方程组设nnndaddaddaa),(,),(,),(1332221先解最后一个方程的解,得 然后把其代入倒数第二个方程求得一切解,如此向上重复进行,求 得所有方程的解。nnxt,1cxatdtdxatdtdxaxannnn11333322222211,例1:求不定方程 的整数解.解 因为(25,13)=1,(1,7)=1|4,所以方程有解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t,t+7z=4.先求t+7z=4的
7、解为t=4-7u,z=u。因为25*(-1)+13*2=1,所以25x+13y=1的特解为 =-1 ,=2故25x+13y=t的解为x=-t-13v,y=2t+25v所以 的解为x=-4+7u-13v,y=8-16u+25v,z=u.u,v为整数。471325zyx0 x0y471325zyx 3 勾股数 定义:一般地称x2+y2=z2的正整数解为勾股数例(3,4,5),(5,12,13)(8,15,17)为勾股数 x2+y2=z2 方程解的分析(1)若x,y,z是方程解,则dx,dy,dz也是 方程解(2)由(1)只要考虑(x,y,z)=1的解即可,而实际上只 要(x,y)=1即可,假设(x
8、,y)=d,则d|x,d|y,则有d|z(3)由(2)可设(x,y)=1,则x,y为 一奇一偶。若x,y都为奇数,则z为偶数,则方程左边为4K+2,右边为4K,矛盾。所以x,y为一奇一偶。由上分析,我们对(x,y)作了一些限制,而这些限制并不影响其一般性。即可假设在 x0,y0,z0,(x,y)=1,2 x的条件下给出x2+y2=z2的通解公式。定理:在条件x0,y0,z0,(x,y)=1,2 x的条件下 x2+y2=z2的通解公式为 x=2ab,y=a2-b2,z2=a2+b2,ab0,(a,b)=1,a,b一奇一偶。为了证明定理的结论,先给出下面引理。引理:设 u0,v0,(u,v)=1,
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