分子速率分布律kkN课件.ppt

1、二、麦克斯韦速率分布函数二、麦克斯韦速率分布函数在在平衡态平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间分布在任一速率区间 v v+dv 内的分子的比率为内的分子的比率为dvvekTmNdNkTvm22 232 24 22 232 24)(vekTmvfkTvm 一、速率分布函数一、速率分布函数NdvdNvf)(f(v):速率在速率在 v 附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比比速率分布函数速率分布函数四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律),(:zyxvvvv 在平衡态下，当气体分子间的相

2、互在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，速度分布在区间作用可以忽略时，速度分布在区间zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv ,的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为zyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2)(23222 2 zyxzyxdvdvdvvvvf),(OvxvyvzvyvdxvdzvdzyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2)(23222 2 zzyyxxdvvfdvvfdvvf)()()(kTmvyvyyyekTmNdvdNvf22122)(kTmvzvzzzekTmNdvdNvf22122)(例：例：求每秒碰到单位面积器壁的气体分

3、子数求每秒碰到单位面积器壁的气体分子数解：解：单位体积内，速度介于单位体积内，速度介于之间分子数为之间分子数为zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv ,zyxkTvvvmdvdvdvekTmnzyx2)(23222 2 zyxzyxdvdvdvvvvfn),(zyxzyxdvdvdvvfvfvfn)()()(取垂直取垂直 x 的器壁上一面元的器壁上一面元 dA，xdA在在 dt 时间内，能与时间内，能与dA碰撞的上述分子应在碰撞的上述分子应在以为以为 dA 底面，以底面，以 为斜高的柱体内为斜高的柱体内dtv v 0 xv柱体体积为柱体体积为dtvxdAdtvx 分子数分子数dtdAvdv

4、dvdvvvvfnxzyxzyx),(在在 dt 时间内，能与时间内，能与dA碰撞的所有分子数碰撞的所有分子数 0),(xyzvvvzyxzyxxdtdAdvdvdvvvvfvn 0)()()(xyzvvvzzyyxxxdtdAdvvfdvvfdvvfvn 0)(xvxxxdtdAdvvfvndtdAdvvekTmnxxkTmvx 202212 mkTdvvexxkTmvx022dtdAmkTn212 mkTv8dtdAvn 41 每秒碰到单位面积器壁的气体分子数每秒碰到单位面积器壁的气体分子数 41vn dtvx xdAv球坐标系球坐标系中的麦克斯韦分布率中的麦克斯韦分布率zyxzyxvvv

5、vvvfNNddd),(d vvvfd d d sin),(2 vvfd d d sin)(41 ,d d ,d区间内区间内方向在方向在 速度大小在速度大小在 ，vvv在在 dt 时间内能与时间内能与 dA 相碰的分子数相碰的分子数 vAtvvfntAd d d d d cos sin)(41 ddd cosvvx tAvvfnvd d d d d sin)(4 cos d d d sincos)(4 dvvvfn d 20 :)0(2/0 :xv d d d sincos)(4 20200 vvvvfn)(410 vdvvfvnvn 41 泻流泻流分子束)(vF d d d sincos)(

6、4 dvvvfn 积分积分 对对 ,单位时间内与单位面积器壁相碰的，且速度大小在单位时间内与单位面积器壁相碰的，且速度大小在 vv+dv 的的分子数分子数 d d d sincos)(4 2020 vvvfnd)(41dvvfvn dvF)()(vfvv)()(vfvvvF 0d)(vvvFv 02d)(vvfvvvv2 mkT8 9 v 2303022 4d)(d)(vmkTvvvvfvvvvFvv 2303324)(mkTdvvfvv 分离同位素分离同位素221121vnvnII 211221 mmnn238235UU0.7%99.3%6UF0043.112 mm丰度丰度五、误差函数五、误

7、差函数速率区间速率区间 v v+dv 内的分子数占总分子数的比率内的分子数占总分子数的比率dvvfNdN)(dvvekTmkTvm22 232 24 mkTvp2 pvvx dxxex2 24 dxxf)(2 24)(xexxf 的分子数占总分子数的比率的分子数占总分子数的比率pvxvxx 即 ,xdxxfxxNN)()(xxdxex2 24 xxxdxe)(22 2 xxexd)(22 xxxdxeex22 22 )(xxNN xxxdxeex22 22 xxxdxeex0 22221 xxdxexerf0 22)(误差函数误差函数)(212 xerfexx%24.57)1(xNN%6.4)

8、2(xNN15105543.1)6(xNN34010)28(xNN 逃逸速度逃逸速度2rAf mgRARrfee 2)(eRRArfEe d mgRRAmvee 221gRve2 地球地球eegRv2 sm1012.11036.68.9246 月球月球sm104.23 mv0 C 时，大气分子的最概然速率时，大气分子的最概然速率 RTvp2 sm 390 pv28 pevv34010)28(xNN6 pmvv1510)6(xNN一年等于一年等于S 101536.37 六、统计规律性和涨落现象六、统计规律性和涨落现象伽耳顿板 从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)隔板隔板铁钉铁钉再投入小球，经过

9、一段时间后，大量小球落入狭槽分布情况：中间多，两边少单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。小球数按空间小球数按空间位置位置 分布曲线分布曲线为清楚起见为清楚起见,从正面来观察。从正面来观察。204060801000.010.020.030.040.050.060.07100N20040060080010000.0050.010.0150.020.0251000N2000400060008000100000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.00710000N 2.2.用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验

10、证麦克斯韦速度分布律Lv 3.3.玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 重力重力 场中微粒按高度的分布场中微粒按高度的分布一、玻尔兹曼分布律一、玻尔兹曼分布律221mvKPK zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv,当系统在保守力场中处于平衡状态时，其中坐标介于区间dzzzdyyydxxx,内，同时速度介于内的分子数为dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTPK 230 2玻尔兹曼分子按能量分布定律在势能 为零处单位体积内具有各种速度的分子总数:0nP 对速度积分，1223zyxkTdvdvdvekTmKdxdydzenNdkTP0在坐标(x,y,z)附近单位体积内的分子数kTPenn0二

11、、重力场中微粒按高度的分布二、重力场中微粒按高度的分布设在 z=0 处单位体积内的分子数为0ndxdydzenNdkTmgz0kTmgzenn0zn0nO1T12TT 重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密度随高度的增加按指数规律减小；分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度减小得越迅速；对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓慢。温度一定温度一定nkTp kTmgzenn0kTmgzkTenp 0kTmgzep 0RTgzep

12、 0等温气压公式等温气压公式ppgRTz0ln例：氢原子基态能级为-13.6eV,第一激发态能级 3.4eV,求在温度300K时，原子处于第一激发态与基态的数目之比kTEEeNN)(2112 3001038.1106.12.10exp2319101058.1)394exp(原子几乎都处在基态3.3.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度一、自由度 ：degree of freedom决定一个物体的位置所需要的独立坐标数质点：(x,y,z)3平面 2，线 1刚体：),(zyx),(3 平动 3 转动定轴转动 1单原子分子3平动双原子分子 3平动 2 转动 1 振动 3+2+1=6 n

13、 原子分子3 平动 3 转动 3n-6 振动火车：被限制在一曲线上运动火车：被限制在一曲线上运动自由度为自由度为 1 1飞机：自由度为飞机：自由度为 3 3（经度、纬度、高度）（经度、纬度、高度）轮船：被限制在一曲面上运动，轮船：被限制在一曲面上运动，自由度为自由度为2 2（经度、纬度）（经度、纬度）二二 、能量按自由度均分定理、能量按自由度均分定理理想气体的平均平动能kTvm23212222221212121zyxmvmvmvmv222231vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222能量按自由度均分定理(能均分定理)：在温度为 T 的平衡状态下，物质分子的每一个自由度都具有相

14、同的平均动能，其大小都等于 kT/2。t 个平动，r 个转动，s 个振动平均总动能kTsrt)(21统计规律碰撞平均振动动能和平均振动势能kTs2分子的平均总能量kTsrt)2(21单原子分子：0,3 srtkT23 双原子分子：1,2,3 srtkT27 三、理想气体的内能三、理想气体的内能 internal energyM 克理想气体的内能为kTsrtNMUA)2(21 RTsrtM)2(2 一摩尔RTsrtu)2(21单原子分子气体RTu23双原子分子气体RTu27一摩尔理想气体的内能只决定于分子的自由度和气体的温度，而与气体的体积和压强无关理想气体：忽略分子间相互作用势能四、理想气体的

15、热容量四、理想气体的热容量 heat capacity温度升高(或降低)1 C物体所吸收(或放出)的热量叫做物体热容量热容量C 比热：c cMcC 摩尔热容量：C CcC 对气体，不同的过程有不同的热容量等压过程，等容过程定容摩尔热容量vCdTdQCv dTdu RTsrtu)2(21RsrtCv)2(21RsrtCv)2(21单原子分子：0,3 srtRCv23 双原子分子：1,2,3 srtRCv27 0 C时一些气体的定体摩尔热容的实验值(单位:R)单原子分子气体 He Ne Ar Kr Xe单原子N 1.49 1.55 1.50 1.47 1.51 1.49双原子分子气体 H2 O2 N2 CO NO Cl2 2.53 2.55 2.49 2.49 2.57 3.02多原子分子气体 CO2 H2O CH4 C2H4 C3H6 NH3 3.24 3.01 3.16 4.01 6.17 3.42五、经典理论的缺陷五、经典理论的缺陷氢气转动振动量子理论振动,2,1,0 ,21 nhns sJ 10626176.634 h普郎克常数转动,2,1,0 ),1(822 lllIhr 作业：作业：P P107107 2,4,9,13,21