函数的单调性与最大最小值课件.ppt

1、 xfxxf，那么，那么如果如果221-函数的单调性一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1 1f f(x x)=)=x x 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降_?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x x的增大，的增大，f

2、 f(x x)的值随着的值随着 _ _ 2 2f f(x x)=-2)=-2x x+1+1 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x x的增大，的增大，f f(x x)的的值随着值随着 _ _ 3 3f f(x x)=)=x x在区间在区间 _ _ 上，上，f f(x x)的值随的值随着着x x的增大而的增大而 _ _ 在区间在区间 _ _ 上，上，f f(x x)的值随的值随着着x x的增大而的增大而 _ _ 2二、新课教学二、新课教学（一）函数单调性定义（一）函数单调性定义1 1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y y=f

3、f(x x)的的定义域为定义域为I I，如果对于，如果对于定义域定义域 I I 内的内的某个区间某个区间D D内内的的任意任意两个自变量两个自变量x x1 1,x x2 2 ，当当x x1 1 x x2 2 时，都有时，都有f f(x x1 1)f f(x x2 2)，那么就说，那么就说f f(x x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数（increasing functionincreasing function）y246810O-2x84121620246210141822D对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)OxDyx1x2f(x1)f(x2)M

4、N对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)xx1x2Dyf(x1)f(x2)OMN任意任意注意：注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；是函数的局部性质；必须是对于区间必须是对于区间D D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x x1 1，x x2 2；当；当x x1 1 x x2 2时，总有时，总有f f(x x1 1)f()f()f()，但显然此图象，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；表示的函数不是一个单调函数；1x2x1x2x)(1xf)(2xf)(xf?5yx几何特征几何特征

5、：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数为增函数，图象下降则为减函数.思考思考1 1：一次函数一次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(kbkxy思考思考2 2：二次函数二次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(2acbxaxy（二）典型例题例例1 1 如图如图6 6是定义在闭区间是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(xy=f(x)的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y y=f f(x x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上，函数区间上，函数y

6、y=f f(x x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数.()21A yx 2()31B yx 2()Cyx2()21D yxx1010 xxxx _例例2 2 物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律 (k k为正常数为正常数)告诉我们告诉我们,对于一定量的气体对于一定量的气体,当体积当体积V V 减减小时小时,压强压强 P P 将增大将增大.试用函数的单调性证明之试用函数的单调性证明之.kpV=3 3判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f f(x x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的上的单调性的一般步骤：一般步骤：任取任取x x1 1，x

7、 x2 2D D，且，且x x1 1 x x2 2；作差作差f f(x x1 1)f f(x x2 2)；变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f f(x x1 1)f f(x x2 2)的正负）；的正负）；下结论（即指出函数下结论（即指出函数f f(x x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调上的单调性）性）探究：探究：P30 P30 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？它在定义域它在定义域I I上的单调性怎样？证明你的结论上的单调性怎样？证明你的结论xy1 思考思考3 3：反比例函数反

8、比例函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(kxky三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。四、作业布置四

9、、作业布置书面作业：书面作业：课本课本P32 P32 练习：练习：2 2、3 3 P39 P39习题习题1 13 3（A A组）组）第第1 1、2.2.（2 2）4 4、题、题 2(2(选做选做)证明函数证明函数f f(x x)=)=x x3 3在在(-(-，+)+)上是增函上是增函数数.例例1 1 讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单内的单调性调性.322 axxf(x),12()4f xxax 若若二次函数二次函数 的单调增区间是的单调增区间是 则则a的取值情况是的取值情况是 （）变式变式1变式变式2请你说出一个单调减区间是请你说出一个单调减区间是 的二次函数的二次函数,1

10、 变式变式3请你说出一个在请你说出一个在 上单调递减的函数上单调递减的函数,1,12()4f xxax 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。2222aaaa A.B.C.D.()f x 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0）（1）解方程）解方程（2）解不等式）解不等式（3）求适合）求适合 的的 的的取值范围取值范围()f x()(1)f xfx(2)(1)fxfx()2()0f xf x或x()f x 是定义在（是定义在（-1，1）上的单调增函数，）上的单调增函数，解不等式解不

11、等式(2)(1)fxfxx例例3 3 判断下列说法对不对判断下列说法对不对 ，的单调区间是的单调区间是函数函数01012xxxxxf,，的单调区间是的单调区间是函数函数01011xxxxxf,变式练习变式练习3636 的取值范围的取值范围上的增函数，求上的增函数，求，是是已知函数已知函数axaxaxaxaxf 11114,思考与讨论思考与讨论F(xF(x)和和G G（x)x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么F F（x x）和）和G G（x x）四则运算后在该）四则运算后在该区间区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能

12、证明吗？能举例吗？-函数的最大（小）值画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？特征？(1)(2)3132,)(xxxf12)(2xxxfxyooxy2-11最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y y=f f(x x)的定义域为的定义域为I I，如果，如果存在实数存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的x xI I

13、，都有，都有f f(x x)M M;（2 2）存在存在x x0 0I I，使得，使得f f(x x0 0)=)=M M那么，称那么，称M M是函数是函数y y=f f(x x)的的最大值最大值 2.2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的的，即对于任意的x xI I，都有，都有f f(x x)M M（f f(x x)M M）注 意：1.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在即存在x x0 0I I，使得，使得f f(x x0 0)=)=M M；例例3 3 “菊花菊花”烟花是最

14、壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度如果在距地面高度h h m m与时与时间间t t s s之间的之间的关系为关系为:h h(t t)=-4.9)=-4.9t t2 2+14.7+14.7t t+18+18 ，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m1m）例3 求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy思考与讨论思考与讨论函数函数F F（x)x)在区间在区间D D上的单调性，上的单调性，

15、函数函数F（x）在该区间在该区间D D上的值域上的值域函数函数F（x）该区间该区间D D上的的最值上的的最值,三者彼此有什么关系？三者彼此有什么关系？（二）（二）利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法 1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最大）求函数的最大(小小)值值 2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值 3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；课堂练习1.函数f(x)=y2+4ax+2在区间(-，6内递减，则a的取值 范围是()A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3D2.在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-，-2上递减，在-2,+)上递增，则f(x)在1,2上的值_.21,39