冀教版九年级上册数学教学课件(第26章-解直角三角形).ppt

1、经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用26.1 锐角三角函数第二十六章 解直角三角形第1课时 正 切1.理解并掌握正切的定义，会求一个角的正切值.2.会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值.(重点)学习目标问题问题1 在直角三角形中在直角三角形中,知道一边和一个锐角知道一边和一个锐角,你能求出其他的你能求出其他的边和角吗边和角吗?导入新课导入新课观察与思考问题问题2 想一想想一想,你能运用所学的数学知识你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗测出这座古塔的高吗?问题1 小明在A处仰望塔顶,测得1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得2的大小,根据这些他就求出了塔的

2、高度.你知道他是怎么做的吗？讲授新课讲授新课正 切一AB12问题2 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？1.梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？2.5m2m5m5mABCDEF拓广探索2.梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？3m2m6m4mABCDEF3.梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？2m2m6m5mABCDEF直角三角形的边与角的关系直角三角形的边与角的关系(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?由此你得出什么结论?AB1C2C1B2112212(2)?BCB CACAC和有什么关系C3B3探究归纳直角三角形中边与角

3、的关系:锐角的三角函数正切函数在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.ABCA的对边A的邻边AA的 对 边的 邻 边tanA=在RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tanA,即归纳特殊角的正切二如图,观察一副三角板，它们其中有几个锐角?分别是多少度?(1)tan30等于多少?(2)tan60等于多少?(3)tan45等于多少?请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?300600450450）归纳(3)tan45=1.3;33;特殊角的正切值：拓广探索tan30 与tan60之间的有什么联系吗？当堂练习当堂练习1.如图,ABC是等腰直角

4、三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？1.5ABCD1.5tan1.1.5BDCDC2.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定3.已知A,B为锐角(1)若A=B,则tanA tanB;(2)若tanA=tanB,则A B.ABCC=经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用26.1 锐角三角函数第二十六章 解直角三角形第2课时 正弦与余弦1.理解并掌握正弦的定义，会求一个角的正弦值.(重点)2.理解并掌握余弦的定义，会求一个角的余弦值.(重点)3.会推导特殊角的正弦和余弦值，并熟记

5、这些特殊值.（难点）学习目标导入新课导入新课观察与思考为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在RtABC中，C90，A30，BC35m，求AB.根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即1.2ABCAB的对边斜边可得AB2BC70m，也就是说，需要准备70m长的水管 分析：讲授新课讲授新课正 弦一任意画RtABC和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能解释一下吗？ABBCBACBABCABC

6、 在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABCBAABCBBCBACBABBC 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值 如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sinA），记作sinA 即sinAaAc的对边斜边例如，当A30时，我们有2130sinsinA当A45时，我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c典例精析典例精析例1 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值解：（1）在RtABC中，5342222BCACAB5

7、3sinABBCA54sinABACB（2）在RtABC中，135sinABBCA125132222BCABAC1312sinABACBABCABC3413 求sinA就是要确定A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定B的对边与斜边的比5余 弦二如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ABC邻边b对边a斜边c任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，BB，那么 与 有什么关系能解释一下吗？ABCABCABACACAB 在图中，由于CC90，BB，所以RtABCRtABC.如图：在Rt ABC中，C90，正弦正弦

8、余弦余弦sinAaAc的对边=斜边cosAbAc的邻边=斜边1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构 造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.归纳特殊角的正弦、余弦值三如图,观察一副三角板，它们其中有几个锐角?分别是多少度?(1)sin30，cos30等于多少?300600450450(2)sin60，cos60等于多少?(3)sin45，cos45等于多少?请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?）归纳特殊角的正弦、余弦值：123212322222(1)sin30=，co

9、s30=.30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a12223222123323311.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值解：由勾股定理222213125BCABACABC13125sin13BCAAB12cos13ACAAB5tan12BCAAC5cos13BCBAB12tan5ACBBC当堂练习当堂练习2.在RtABC中，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？ABC解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为sincostanabaAAAccb，则扩大2倍后三

10、边分别为2a、2b、2c2sin2aaAcc2cos2bbAcc2tan2aaAbbABC都不变.3.如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ，求：sinA、cosB的值43ABC8解：3tan4BCAAC8AC 338644BCAC63sin105BCAAB22228610ABACBC63cos105BCBAB课堂小结课堂小结=acAA的对边的斜边sinA=在RtABC中=bcAA的邻边的斜边cosA=abAA的对边的邻边tanA=锐角三角函数30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角三角函数304560sin cos tan 经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供

11、免费交流使用26.2 锐角三角形函数的计算第二十六章 解直角三角形1.复习并巩固锐角三角形函数的相关知识.2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.(重点)3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）学习目标导入新课导入新课回顾与思考30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角三角函数304560sin cos tan 1222322212332331 20mtantan42,DCEBACADCDC 解：由已知得，tan42,ACDCDABE1.6m20m42C问题2 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如图

12、所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？20 tan421.6.ABACCB这里的tan42是多少呢？讲授新课讲授新课用计算器求三角函数值一1.求sin18第一步：按计算器 键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18=0.309 016 994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.tan第一步：按计算器 键，2.求 tan3036.第二步：输入角度值30，分值36（可以使用 键），屏幕显示答案：0.591 398 351；第一种方法：第二种方法：tan第一步：按计算器 键，第二步：输入角度值30.6（因为303630.6）屏幕显示答案：0.59

13、1 398 351.利用计算器求锐角的度数二 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角 例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还以以利用 键，进一步得到A300708.97 第一步：按计算器 键，2nd Fsin第二步：然后输入函数值0.501 8屏幕显示答案：30.119 158 67（按实际需要进行精确）第一种方法：2nd F典例精析第一步：按计算器 键，2nd F第二种方法：第二步：输入0.501 8屏幕显示答案：30070897 （这说明锐角A精确到1的结果为307，精确到1 的结果为307 9 ）1用计算器求下列锐角三角函数值；（1）s

14、in20=，cos70=；（2）tan38 =，tan802543=.sin35=，cos55=；sin1532 =，cos7428 =.分析第1（1）题的结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？拓广探索0.3420.3420.5740.2680.5740.2685.9300.055正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）归纳当堂练习当堂练习1.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB0.054 7；（2）cosA0.625 2，cosB0.16

15、5 9；（3）tanA4.842 5，tanB0.881 6.B=388A=385157A=511811B=80272A=781958B=412358A2.下列各式中一定成立的是（）A.tan75tan48tan15 B.tan75tan48tan15C.cos75cos48cos15 D.sin75sin48sin15课堂小结课堂小结1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.经典 专业 用心精品课件

16、本课件来源于网络只供免费交流使用26.3 解直角三角形第二十六章 解直角三角形1.复习并巩固锐角三角函数的计算.2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.(重点)3.学会解直角三角形.（难点）学习目标导入新课导入新课ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_.问题 在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290acbcab观察与思考讲授新课讲授新课解直角三角形一在图中的RtABC中，（1）根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角

17、形的其他元素吗？ABCsinsin6 sin75BCABCABAABcoscos6 cos75ACAACABAAB9090907515.ABBA 6=75在图中的RtABC中，（2）根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？222222262.45.5ABACBCBCABAC2.4coscos0.4666ACAAAAB 9090906624ABBAABC62.4事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素ABabcC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知

18、元素的过程归纳当堂作业当堂作业1.如图，在RtABC中，C90，,解这个直角三角形.6,2BCAC解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC262.如图，在RtABC中，C90，AC=6，BAC的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD DABC64 3解：63cos24 3ACCADAD30CAD因为AD平分BAC60,30CABB 12,6 3ABBC3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;解：根据勾股定理2222302010 13Cab303tan1.5202aAb56.3A909056.333.7BAABCb=20a=

19、30c 在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；(2)B72，c=14.ABCbac=14解：sin,bBcsin14 sin7213.3.bcB907218.Acos,aBccos14 cos724.33.acB课堂小结课堂小结（2）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系 222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流

20、使用26.4 解直角三角形的应用第二十六章 解直角三角形情境引入1.复习并巩固解直角三角形的相关知识.2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题.(重点、难点)3.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.（重点、难点）学习目标导入新课导入新课在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系:tanAabsinAac(必有一边)abc别忽略我哦！回顾与思考铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角

21、；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.讲授新课讲授新课利用仰角、俯角解决实际问题一 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30,=60.RtABD中，a=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角解：如图，a=30,=60，AD120tan,tan.BDCDaADAD30tan120tanaADBD

22、312040 3.360tan120tanADCD1203120 3.3120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为277.1m.ABCD建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m5445解：在等腰三角形BCD中ACD=90,BC=DC=40m.在RtACD中tan.ACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2.所以AB=ACBC=55.240=15.2.答：棋杆的高度为15.2m.练一练利用坡度、坡角解决实际问题二水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝

23、高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD的坡度i=1 2.5，则斜坡CD的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.52361:3i lhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1 m的形式，如i=1 6.如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即 i=hl3.坡度与坡角的关系tanhli坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45，则坡比是 _.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_.3:1lh301：11:3练一练例：水库大坝的横断面是

24、梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD的坡度i=1 2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角（精确到 1）.EFADBCi=1:2.52361:3i 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；典例精析 垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE和RtCDF求出；斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt ABE和Rt CDF.解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、F

25、,由题意可知EFADBCi=1:2.52361:3i BE=CF=23m ，EF=BC=6m.在RtABE中13.BEAEi 33 2369m.AEBE 在RtDCF中，同理可得2 52 5 2357 5m.FD.CF.FDEFAEAD=69+6+57.5=132.5m.在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7m.ABAEBE(2)斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得22.答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.12.5.CFFDi 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度C

26、E的比），根据图中数据求：（1）坡角a和;（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解：（1）在RtAFB中，AFB=901tan1.5AFiBF 33.7 在RtCDE中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4探究归纳完成第（2）题当堂练习当堂练习1.如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.10020 33.如图3，从地面上

27、的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）100 13米图3图422cm245304米12米ABCEFD414.12,732.13解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米），CDEF12（米）在RtADE中，在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米）答：路基下底的宽约为22.93米 45tan4AEAEDEi)(445tan4米米 AE)(93.630tan4米米 BF453

28、04米12米ABCEFD6.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角BOA为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）解：在RtABO中，tanBOA=tan60=AB=BO tan60=4 =4 （米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.课堂小结课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案经典

29、专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二十六章 解直角三角形小结与复习锐角三角函数sinaAccosbAcbaAtan（两边之比）知识构架知识构架特殊角的三角函数2130sin2330cos3330tan2245sin2245cos145tan2360sin2160cos360tan3213021145321603060=90解直角解直角三角形三角形A B90a2+b2=c2三角函数三角函数关系式关系式计算器计算器由锐角求三角函数值由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角由三角函数值求锐角AbBcAcatancossinAaBcAcbtansincosBbAbBaAacsincosc

30、ossin简单实际问题数学模型直角三角形梯形组合图形三角形构建解作高转化为解直角三角形回顾思考回顾思考锐角三角函数一(2)A的余弦：的余弦：cosA；(3)A的正切：的正切：tanA.特殊角的三角函数值二30，45，60角的三角函数值sin30，sin45，sin60；cos30，cos45，cos60；tan30，tan45，tan60.1 合作探究解直角三角形三1.解直角三角形的依据(1)在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B,C的对边三边关系：；三角关系：；边角关系：sinAcosB，cosAsinB ，tanA，tanB.a2b2c2A90B(2)直角三角形可解的条件和解法条件

31、：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素解法：一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题锐角三角函数的计算四1.利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）第一步：按计算器 、键，sintancos1.利用计算器求锐角的度数还可以利用 键，进一步得到角的度数.第二步：然后输入函数值屏幕显示答案（按实际需要

32、进行精确）第一种方法：2nd F第一步：按计算器 、键，2nd Fsincostan第一步：按计算器 键，2nd F第二种方法：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案（按实际需要选取精确值）.解直角三角形的应用五利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案当堂练习当堂练习1.如图，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC=，求：（1）DC的长；（2）sinB的值53分析：题中给出了两个直角

33、三角形，DC和sinB可分别在RtACD和ABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由此可列方程求出CDABCD解：（1）设CDx，在RtACD中，cosADC=,xADADx35,53,35,xBCBCAD又BCCDBD435xx解得x=6CD=6ABCD53(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD在RtACD中86102222CDADAC在RtABC中4121006422BCACAB414144128sinABACB解析 要求ABC的周长，先通过解RtADC求出CD和AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰

34、角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39.(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；(2)求大楼的高度CD(精确到1米)解析(1)利用ABC是等腰直角三角形易得AC的长；(2)在RtBDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可课堂小结课堂小结tanAaAAb的对边的邻边sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边sinBbBc的对边斜边cosBaBc的邻边斜边tanBbBBa的对边的邻边ABCbac锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题cabABC课堂小结课堂小结1.正切的定义:RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tanA,即AA的 对 边的 邻 边tanA=(3)tan45=1.33.3.2.特殊角的正切值：