八年级数学-134-最短路径问题课件.pptx

1、13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题创设情景创设情景 引入课题引入课题BA有有A A、B B两个小区，现要在两个小区，现要在A A、B B两个小区铺设一条天两个小区铺设一条天然气管线，怎样铺设才使得天然气管线最短？然气管线，怎样铺设才使得天然气管线最短？合作交流合作交流 探究新知探究新知你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？活动活动1 1：如果在如果在A A、B B两个小区之间有一条笔直的天两个小区之间有一条笔直的天然气主管道，并且准备在主管道上建一座天然气供应站，然气主管道，并且准备在主管道上建一座天然气供应站，那么天然气供应站应建在主管道的哪个地方

2、，使那么天然气供应站应建在主管道的哪个地方，使A A、B B两两个小区到供应站的距离最短？个小区到供应站的距离最短？AB合作交流合作交流 探究新知探究新知C天然气供应站天然气供应站建在建在ABAB与主管与主管道交点处道交点处活动活动2 2：如果还有一个：如果还有一个B B小区与小区与A A小区在主管道同小区在主管道同侧，并且侧，并且B B小区与小区与B B小区刚好关于主管道对称，那么能小区刚好关于主管道对称，那么能否在主管道上找到一个点建一座天然气供应站否在主管道上找到一个点建一座天然气供应站C C，使得，使得A A，BB两小区到供应站两小区到供应站C C距离之和刚好等于距离之和刚好等于A A

3、，B B两小区之间两小区之间的距离呢？为什么？的距离呢？为什么？合作交流合作交流 探究新知探究新知ABB探究探究1 1：如果供气站建在主管道的其他：如果供气站建在主管道的其他任意任意位位置，那么置，那么A A，B两小区到供气站距离之和与两小区到供气站距离之和与A，B两小区到供气站距离之和是否还相等？两小区到供气站距离之和是否还相等？合作交流合作交流 探究新知探究新知还相等还相等证明证明:如图如图,在直线在直线l上任取一点上任取一点C(C(与点与点C C 不重合不重合),),连接连接AC,BC,BC.AC,BC,BC.由轴对称的性质知：由轴对称的性质知：BC=BC,BC=BC.BC=BC,BC=

4、BC.AC+BC=AC+BC=AB,AC+BC=AC+BC=AB,AC+BC=AC+BC.AC+BC=AC+BC.在在ACBACB中中,AC+BCAB AC+BCABAC+BCAB,AC+BCAB,当只有在当只有在C C点位置时点位置时,AC+BC,AC+BC最短最短.探究探究2 2：此时：此时A，B两小区到供气站距离之和与两小区到供气站距离之和与A，B两两小区之间距离有怎样的关系？为什么？小区之间距离有怎样的关系？为什么？合作交流合作交流 探究新知探究新知BlABCC探究探究3 3：在公路：在公路l同侧有同侧有A A、B B两个小区，现要在两个小区，现要在公路公路l旁修建一公交站旁修建一公交

5、站C C，要使公交站到两小区，要使公交站到两小区的距离之和最短，试确定公交站的距离之和最短，试确定公交站C C的位置。的位置。合作交流合作交流 探究新知探究新知BAl归纳新知归纳新知因此因此,如果在直线如果在直线l同侧的两个点分别是点同侧的两个点分别是点A,B,A,B,在在l上上找一个点找一个点C,C,使点使点C C到点到点A A、B B距离和距离和CA+CBCA+CB最短最短,那么我们那么我们可以先作点可以先作点B B关于直线关于直线l的对称点的对称点B,B,连接连接ABAB交直线交直线l于于点点C C，则点，则点C C即为所求。即为所求。作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l

6、的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 BlABC归纳小结归纳小结“最短路径问题最短路径问题”(1)(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题的问题,只要连接这两点只要连接这两点,与直线的交点即为所求与直线的交点即为所求.如图所示如图所示,点点A,BA,B分别是直线分别是直线l l异侧的两个点异侧的两个点,在在l l上找一上找一个点个点C,C,使使CA+CBCA+CB最短最短,这时点这时点C C是直线是直线l l与与ABAB的交点的交点.归纳小结归纳小结“最短路径

7、问题最短路径问题”(2)(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连连接对称点与另一个点接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求则与该直线的交点即为所求.如图所示如图所示,点点A,BA,B分别是直线分别是直线l l同侧的两个点同侧的两个点,在在l l上找一上找一个点个点C,C,使使CA+CBCA+CB最短最短,这时先作点这时先作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B,B,则点则点C C是直线是直线l l与与ABAB的交点的交点.应用新知应

8、用新知解决问题解决问题1 1、如图，直线、如图，直线L L是一条河，是一条河，P P、Q Q是两个村庄，欲在是两个村庄，欲在L L上上的某处修建一个水泵站，向的某处修建一个水泵站，向P P、Q Q两地供水，现有四种铺两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（是（）？）？2 2、如图，一个旅游船从大桥、如图，一个旅游船从大桥ABAB的的P P处前往山脚下的处前往山脚下的Q Q处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BCBC上，再返回上，再返回P P处，请处，请画出旅游船的最短路径画出旅游船的最短路径 应

9、用新知应用新知解决问题解决问题基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.活用新知活用新知拓展提高拓展提高1 1、如图，已知正方形、如图，已知正方形ABCDABCD，M M是是BCBC的中点，的中点，P P是对角线是对角线BDBD上一动点，要使上一动点，要使PM+PCPM+PC的值最小，请确定的值最小，请确定P P点的位置。点的位置。2 2、如图，已知菱形、如图，已知菱形ABCDABCD，M M、N N分别是分别是ABAB、

10、BCBC的中点，的中点，P P是对角线是对角线ACAC上一动点，要使上一动点，要使PM+PNPM+PN的值最小，请确定的值最小，请确定P P点点的位置。的位置。反思小结反思小结1、知识点：、知识点：1）两点之间，线段最短）两点之间，线段最短2）垂直平分线上的点到两端的的距离相等）垂直平分线上的点到两端的的距离相等2、思想方法：转化思想、思想方法：转化思想 1 1）将实际问题转化为数学问题，）将实际问题转化为数学问题，将路程最短问题转化为线段和最小问题将路程最短问题转化为线段和最小问题 2 2）应用轴对称性质将直线同侧两点问题转化）应用轴对称性质将直线同侧两点问题转化 为异侧两点问题为异侧两点问题1.已知如图，点A和两条直线m和n，你能在直线m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小吗？2.如果活动1中的“一条笔直的天然气主管道”变成“一条笔直的宽阔的河流”，并且准备在河上建一座桥，那么桥建在河的何处才使A小区居民通过桥到B两个小区路径最短？(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)？作业布置作业布置AB