人教版高中数学选修4-4简单曲线的极坐标方程一等奖优秀课件.ppt

1、1.1.方程的曲线和曲线的方程：方程的曲线和曲线的方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立如下的关系：的实数解建立如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解。曲线上的点的坐标都是这个方程的解。以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。那么，这条曲线叫做那么，这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线，这个方程叫做，这个方程叫做曲线曲线的方程。的方程。一一 复习引入：复习引入：2.概念的意义：概念的意义：借助直角坐标系，把曲线和方程联借助直角坐标系，把曲线和方程联系起来，把曲线用一个二元方程表示，通过研究

2、方系起来，把曲线用一个二元方程表示，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，即几何问题代程的性质间接地来研究曲线的性质，即几何问题代数化，这就是坐标法的思想。数化，这就是坐标法的思想。3.求曲线的方程的步骤：求曲线的方程的步骤：曲线的方程是曲线上所有曲线的方程是曲线上所有点的坐标都满足的一个关系式。可按以下步骤：点的坐标都满足的一个关系式。可按以下步骤：建系：建系：设点设点：设：设M（x,y)为要求方程的曲线上任意一点为要求方程的曲线上任意一点列等式列等式：根据条件或几何性质列关于：根据条件或几何性质列关于M的等式。的等式。将等式坐标化：将等式坐标化：化简：化简：此方程即得曲线的方程。此方程

3、即得曲线的方程。思考：思考：在极坐标系中，平面曲线是否可用方在极坐标系中，平面曲线是否可用方程程f(,)=0)=0来表示？来表示？探究：探究：如图，半径为如图，半径为a a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为C(a,0)(a0)C(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标M M(,)满足的条件？满足的条件？xC(a,0)O二、新课讲解二、新课讲解：MA(,)思路分析思路分析1 1、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来标出来、即明确长度即明确长度 与角度与角度 是哪一边，哪一是哪一边，哪一个

4、角；个角；2 2、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形；、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形；3 3、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式；、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式；4 4、列式时要充分利用已知条件：圆心与半径。、列式时要充分利用已知条件：圆心与半径。xC(a,0)OMA(,)曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一一 定义：定义：若曲线上的点与方程若曲线上的点与方程f(f(,)=0)=0有如下关系：有如下关系：曲线上任一点的坐标（所有坐标中曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个至少有一个）符合方程符合方程f(f(,)=0)=0；以方程以方程f(f(,)=0)=0的所有

5、解为坐标的点都在曲线上。的所有解为坐标的点都在曲线上。则曲线的方程是则曲线的方程是f(f(,)=0)=0。二二 求曲线的极坐标方程的步骤：求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样与直角坐标系里的情况一样建系建系（适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点（设（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）的等式）将等式坐标化将等式坐标化化简化简 （此方程此方程f(,)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程）例例1 1已知圆已知圆O O的半径为的半径为r r，建立怎样的坐标

6、系，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？可以使圆的极坐标方程更简单？练习练习1 1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程（）圆心在极点，半径为；（）圆心在极点，半径为；（）圆心在（）圆心在（a，），半径为，），半径为a；（）圆心在（）圆心在（a，2），半径为），半径为a；（）（）圆圆心在（心在（0，），半径为），半径为r。2 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2解解:设设P(,)为圆周上任意一点为圆周上任意一点,如下图所示如下图所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理根据余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),

7、即即r2=21+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+(21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程这就是圆在极坐标系中的一般方程.练习练习2 2以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为半径的圆为半径的圆的方程是的方程是 1 12 21 12 24 42 24 42 2 sin.Dcos.Csin.Bcos.AC 2+0 2-2 0 cos(-)=r2;cos2),0)(0,()2(;)1(aaaaCrr 极坐标方程为极坐标方程为的圆的的圆的半径为半径为圆心为圆心为方程为方程为的圆的极坐标的圆的极坐标圆心在极点，半径为圆心在极点，半径为常用的圆的

8、极坐标方程常用的圆的极坐标方程;sin2),0)(23,()5(;cos2),0)(,()4(;sin2),0)(2,()3(aaaaCaaaaCaaaaC 极坐标方程为极坐标方程为的圆的的圆的半径为半径为圆心为圆心为极坐标方程为极坐标方程为的圆的的圆的半径为半径为圆心为圆心为极坐标方程为极坐标方程为的圆的的圆的半径为半径为圆心为圆心为思考：思考：在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中过点过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 ;过点过点(2,3)且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 x=3y=3三、直线的极坐标方程：三、直线的极坐标方程：在极坐标下，它们的极坐标

9、方程是什么？在极坐标下，它们的极坐标方程是什么？例例1：求过极点，倾斜角为求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。4 oMx4(0)4 （2）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。54 5(0)4 （3）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。的直线的极坐标方程。4(0)4 5(0)4 和和oMxoMx4 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？方便，要用两条射线组

10、合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以可以考虑允许极径可以取全体实数。取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可则上面的直线的极坐标方程可以表示为以表示为()4R 或或5()4R 例例2 2、求过点求过点A(A(a,0)(,0)(a0)0)，且垂直于极轴的直线，且垂直于极轴的直线l 的的极坐标方程。极坐标方程。解：解：如图，建立极坐标系，设点如图，建立极坐标系，设点(,)M ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。为直线为直线l上除点上除点A外的任意一点，外的任意

11、一点，连接连接OM,求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方程，并化简；程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。练习练习1:求过点求过点A(a,/2)(a0)，且平行于极轴的，且平行于极轴的直线直线l 的极坐标方程。的极坐标方程。解：解：如图，建立极坐标系，如图，建立极坐标系，设点设点 为直线为直线l上除点上除点A外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM(,)M 在在 中有中有

12、 Rt MOA 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。Mox A sin a|OM|sinAMO=|OA|练习练习2:2:设点设点A A的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点(,0)a ll解：解：如图，建立极坐标系，设点如图，建立极坐标系，设点(,)M 为直线为直线 上异于上异于A点的任意一点，连接点的任意一点，连接OM，l在在 中，由中，由正弦定理正弦定理 得得MOA sin()sin()a sin()sina显然显然A点也满足上方程点也满足上方程A A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。化简得化简得 oMx

13、A例例3 3：设点设点P P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P P且与极轴且与极轴所成的角为所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。11(,)lloxMP 1 1 A解：解：如图，设点如图，设点(,)M 的任意一点，连接的任意一点，连接OM，则，则,OMxOM1O P 1xO P 为直线上除点为直线上除点P外外由点由点P的极坐标知的极坐标知设直线设直线l与极轴交于点与极轴交于点A。则在。则在 中中MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin()11sin()sin()显然点显然点P的坐标也是上式的解。的坐标也是上式的解。即即OMPOPO

14、PMOMsinsin练习练习3 求过点求过点P(4,/3)且与极轴夹角为且与极轴夹角为/6的直线的直线 的的方程。方程。l2)6sin(直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过某个定点垂直于极轴、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点、过某个定点 ，且与极轴成的角度，且与极轴成的角度a3、过某个定点平行于极轴、过某个定点平行于极轴ox AMMox Alo oxMP 1 1 A)(0Rcosa sin a11sin()sin()11(,)222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解：两边同乘以 得即

15、化为直角坐标为即所以圆心为半径是（三）极坐标方程与直角坐标方程的互化（三）极坐标方程与直角坐标方程的互化cos()41、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆D？圆心坐标和半径是什么表示的圆的、曲线的极坐标方程sin42)3,5(、C)32,5(、D310cos()3、圆 的圆心坐标是（）)0,5(、A)3,5(、BC(2,),r=22圆心坐标是半径是练习：练习：所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC1648316844)4(4424cos2222

16、2222yxxxxyxxx两边平方得：即解：方程可化为OHMA)4,2(,)(2,)42 sin24sin,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直线 上任意取点在中，即所以，过点平行于极轴的直线方程为的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3,2(2A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲线是、极坐标方程)(31sin3RA、两条相交的直线、两条相交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线D、一条射线、一条射线所以是两条相交

17、直线两条直线即所以得可得解：由已知042:,042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直线关于直线 对称的直线方程为、()B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA()C4cos,4cos2cos,2sinsin46、直线的方程是相切的一条、在极坐标系中，与圆DCBA()B2cos24)2(04sin42222化为极坐标方程为圆的方程为那

18、么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是解：圆xyxyyx P15思考思考 在例在例3中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正轴正半轴建立平面直角坐标系，那么直线半轴建立平面直角坐标系，那么直线l的直角坐标方程是的直角坐标方程是什么？比较直线什么？比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程，你对不的极坐标方程与直角坐标方程，你对不同坐标系下的直线方程有什么认识？同坐标系下的直线方程有什么认识？在极坐标系中，过极点的直线方程形式比较简单，而不过在极坐标系中，过极点的直线方程形式比较简单，而不过极点的直线方程形式要比直角坐标方程复杂极点的直线方程形式要比直角坐标方程复杂课后习题解答课后习题解答习题习题1.3(第第15页页)1解解(1)表示圆心在极点，半径为表示圆心在极点，半径为5的圆的圆(图略图略)3解解(1)cos 4.(2)sin 2.(3)2cos 3sin 10.(4)2cos 216.4解解(1)y2.(2)2x5y40.(3)(x5)2y225.(4)(x1)2(y2)25.小结：小结：（1）曲线的极坐标方程概念）曲线的极坐标方程概念（2）求曲线的极坐标方程的步骤）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程）会求圆的极坐标方程（4）会求直线的极坐标方程）会求直线的极坐标方程作业：教材作业：教材P14 16