人教版高中数学必修三332几何概型课件.ppt

1、第二课时第二课时复习回顾复习回顾v1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.v2.2.古典、几何概型的概率公式古典、几何概型的概率公式.、体体积积)D D的的测测度度(长长度度、面面积积、体体积积)d d的的测测度度(长长度度、面面积积(2 2)P P(A A)v3.3.古典、几何概型问题的概率的求解方法古典、几何概型问题的概率的求解方法.的的含含义义）、明明确确mn(n

2、m)A(P)1(EX1.EX1.已知已知:公共汽车在公共汽车在0505分钟内随机地到达车站，分钟内随机地到达车站，求汽车在求汽车在1313分钟之间到达的概率。分钟之间到达的概率。分析：将分析：将0505分钟这段时间看作是一段长度为分钟这段时间看作是一段长度为5 5个单位长度的线段，则个单位长度的线段，则1313分钟是这一线段中的分钟是这一线段中的2 2个单位长度。个单位长度。解：设解：设“汽车在汽车在1313分钟之间到达分钟之间到达”为事件为事件A A，则则52513)A(P 答：答：“汽车在汽车在1313分钟之间到达分钟之间到达”的概率为的概率为;52EX2.EX2.有一杯有一杯1 1升的水

3、升的水,其中含有其中含有1 1个细菌个细菌,用一个小杯从这杯水中用一个小杯从这杯水中取出取出0.10.1升升,求小杯水中含有这个细菌的概率求小杯水中含有这个细菌的概率.解：记解：记“小杯水中含有这个细菌小杯水中含有这个细菌”为事件为事件A A，则事件则事件A A的概率只与取出的水的体积有关，符的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件。合几何概型的条件。由几何概型的概率的公式，得由几何概型的概率的公式，得10110.)A(P 答答:小杯水中含有这个细菌的概率为小杯水中含有这个细菌的概率为0.1;EX3.一张方桌的图案如图所示将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不一张方桌的图案如图所示将一

4、颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率落在线上，求下列事件的概率:（1 1）豆子落在红色区域；）豆子落在红色区域；（2 2）豆子落在黄色区域；）豆子落在黄色区域；（3 3）豆子落在绿色区域；）豆子落在绿色区域；（4 4）豆子落在红色或绿色区域；）豆子落在红色或绿色区域；（5 5）豆子落在黄色或绿色区域）豆子落在黄色或绿色区域4913292359问题问题1 1:图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向规定当指针指向B B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否否则乙获胜则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少在两种情况下分别求甲获胜的概

5、率是多少?21)A(P 53)A(P 事实上事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的长度有关长度有关,而与黄色而与黄色所在区域的所在区域的位置无关位置无关.因为转转盘时因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能指针指向圆弧上哪一点都是等可能的的.不管这些区域是相邻不管这些区域是相邻,还是不相邻还是不相邻,甲获胜的概率是不变的甲获胜的概率是不变的.21121)(P 甲甲获获胜胜若把转盘的圆周的长度设为若把转盘的圆周的长度设为1 1，则以转盘（则以转盘（1 1）为游戏工具时，）为游戏工具时，以转盘（以转盘（2 2）为游戏工具时，）为游戏工具时，5315

6、3)(P 甲甲获获胜胜分析分析:上述问题中上述问题中,基本事件有无限多个基本事件有无限多个,类似于古典概型类似于古典概型的的“等可能性等可能性”还存在还存在,但不能用古典概型的方法求解但不能用古典概型的方法求解.几何概型的定义几何概型的定义(重申与回顾重申与回顾)v如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度长度(面积或体积面积或体积)成成比例比例,则称这样的概率模型为几何概率模型则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为简称为几何几何概型概型.v几何概型的特点几何概型的特点:(1)(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本事

7、件)有无限多个有无限多个.(2)(2)每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中在几何概型中,事件事件A A的概率的计算公式如下的概率的计算公式如下:P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）A。B (1)(1)如果在转盘上，区域如果在转盘上，区域B B缩小为一个单点，那么缩小为一个单点，那么甲获胜的概率是多少？甲获胜的概率是多少？问题问题2 2:图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向规定当指针指向B B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否否则乙获胜则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是

8、多少在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?构成事件构成事件“甲获胜甲获胜”的区域长度是一个单点的长度的区域长度是一个单点的长度0 0，所以所以P(P(甲获胜甲获胜)=0)=0 (2)(2)如果在转盘上，区域如果在转盘上，区域B B扩大为整个转盘扣除一个单点，那么甲获胜的概扩大为整个转盘扣除一个单点，那么甲获胜的概率是多少？率是多少？B。A 构成事件构成事件“甲获胜甲获胜”的区域长度是圆周的长度减去一个单的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度点的长度0 0，所以，所以P(P(甲获胜甲获胜)=1)=1归纳归纳(1)(1)概率为概率为0 0的事件不一定是不可能事件的事件不一定是不可能事件 (2)(

9、2)概率为概率为1 1的事件不一定是必然事件的事件不一定是必然事件示例示例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台报时想听电台报时,求他等待的时间不多于求他等待的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率.分析分析：假设他在：假设他在060060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但060060之间有之间有无穷个时刻无穷个时刻，可以通过几何概型的求概率公式可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。得到事件发生的概率。又又因为电台每隔因为电台每隔1 1小时报时一次，他在小时报时一次，他在0600

10、60之间任何一个时刻打开之间任何一个时刻打开收音机是收音机是等可能等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段只与该时间段的长度有关的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。解:设事件A=等待的时间不多于10分钟.事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答“等待的时间不超过10分钟”的概率为60501(),606PA示例示例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台报时想听电台报时,求他等待的

11、时间不多于求他等待的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率.16练习练习4 4.取一根长为取一根长为3 3米的绳子米的绳子,拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的那么剪得两段的长都不少于长都不少于1 1米的概率有多大米的概率有多大?解：如上图，记解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于剪得两段绳子长都不小于1m”1m”为事件为事件A A，把绳子三等，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A A发生。由于中间一段的发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一长度等于绳子长的三分之一,所以事件所以事件A A发生的概率发生的概率P

12、P（A A）=1/3=1/3。3m1m1m已知已知:等腰直角三角形等腰直角三角形ABCABC中，在斜边中，在斜边ABAB上上任取一点任取一点MM，求，求AMAM小于小于ACAC的概率。的概率。分析分析:由点由点MM随机地落在线段随机地落在线段ABAB上，则线段上，则线段ABAB为为 区域区域D.D.当点当点MM位于图中的线段位于图中的线段ACAC上时，上时，则则AMAMACAC，故线段，故线段ACAC即为区域即为区域d d。解：解：在在ABAB上截取上截取AC=ACAC=AC，则则P P（AMAMACAC）=P=P（AMAMACAC）2 22 2=A AB BA AC C=A AB BA AC

13、 C=答：答：AM小于小于AC的概率为的概率为;22 示例示例3 3(会面问题会面问题)已知已知甲乙二人约定在甲乙二人约定在 12 12 点到点到 5 5 点之间在某地会面，先点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解：设设 以以 X,YX,Y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时乙二人到达的时 刻，则有刻，则有.5Y0,5X0 即即 点点 M M 应落在图中的阴影部应落在图中的阴影部分分.所有的点构成一个正方

14、形。所有的点构成一个正方形。.M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5x二人会面的条件是：二人会面的条件是：,1|YX2 25 5.9 92 25 54 42 21 12 22 25 5正正方方形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积P P(A A)2 20 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x-1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A思考题 甲乙两人约定在甲乙两人约定在6 6时到时到7 7时之间在某处会面时之间在某处会面,并约定先到并约定先到者应等候另一个人一刻钟者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去到时即可离去,求两人能会面求两人能会面的概率的概率.【示【示例例2 2】

15、假设您家订了一份报纸假设您家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之间把报纸送之间把报纸送到你家到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:007:008:00之间之间,问你父亲在离开家问你父亲在离开家前能得到报纸前能得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少?解解以横坐标以横坐标X X表示报纸送到时间表示报纸送到时间,以纵坐标以纵坐标Y Y表示父亲离家时间建立平面直表示父亲离家时间建立平面直角坐标系角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是：父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是：(,)|,

16、6.57.5,78xyyxxy 由于随机试验落在方形区域内任何一点由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的是等可能的,所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件.根据根据题意题意,只要点落到阴影部分只要点落到阴影部分,就表示父亲在离就表示父亲在离开家前能得到报纸开家前能得到报纸,即事件即事件A A发生发生,所以所以11117222()18PA 6.57.5()x 送 报 人 到 达 的 时 间()y 父 亲 离 开 家 的 时 间870yx答答:父亲在离开家前能得到父亲在离开家前能得到报纸的概率是报纸的概率是 。87练习练习4：在半径为：在半径为1的圆上随机地取两点，的圆上随机地取两点，

17、连成一条线，则其长超过圆内等边三角形连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？的边长的概率是多少？BCDE.0解解：记事件：记事件A=弦长超过圆内接弦长超过圆内接等边三角形的边长等边三角形的边长，取圆内接，取圆内接等边三角形等边三角形BCD的顶点的顶点B为弦为弦的一个端点，当另一点在劣弧的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，上时，|BE|BC|，而弧，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有所以可用几何概型求解，有31)(AP答：答：“弦长超过圆内接等边三角形的边长弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为的概率为31 “抛阶砖抛阶砖”是国

18、外游乐场的典型游戏之一是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上参与者只须将手上的的“金币金币”（设（设“金币金币”的半径为的半径为r）抛向离身边若干距离的阶砖）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的平面上，抛出的“金币金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.百味探究题百味探究题:抛阶砖游戏抛阶砖游戏玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币金币”来参加游戏来参加游戏.那么要问：参加者获奖的概率有多大？那么要问：参加者获奖的概率有多

19、大？显然显然,“金币金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率概率.分析分析:设阶砖每边长度为设阶砖每边长度为a a,“金币金币”直径为直径为d .d .a 若若“金币金币”成功地落在阶砖上，成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域其圆心必位于右图的绿色区域A A内内.问题化为问题化为:向平面区域向平面区域S S（面积为（面积为a a2 2）随机投点（）随机投点（“金币金币”中心），求该点落在区域中心），求该点落在区域A A内的概率内的概率.aASa aA则则成功抛中阶砖的概率成功抛中阶砖的概率由此可见，当由此可见，当d d接近接近a,pa,p接近于

20、接近于0;0;而当而当d d接近接近0 0，p p接近于接近于1.1.的的面面积积的的面面积积SAp 22a)da(（0 0 d d a a,你还愿意玩这个游戏吗？你还愿意玩这个游戏吗？课堂小结课堂小结 1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.、体体积积)D D的的测测度度(长长度度、面面积积、体体积积)d d的的测测度度(长长度度、面面积积P P(A A)3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解.