人教版数学九年级上册第22章：二次函数(全单元课件).ppt

1、第二十二章 二次函数二次函数人民教育出版社 九年级|上册 温故知新1、一元二次方程的一般形式是什么？2、函数定义是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。3、一次函数，正比例函数的一般形式是什么？一次函数：y=kx+b（k,b是常数，k0）正比例函数：y=kx（k是常数，k0）问题引入1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高

2、点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决知识点详解请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：(1)圆的面积 y(cm2)与圆的半径 x (cm)y =x2(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y y=2(1+x)2知识点详解(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x(m)，种植面积为 y(m2)。y=(60-x-4)(x-2)1113xy知识点详解 y=x2 y=2(1+x)2=2x2+4x+2 y=(60-x

3、-4)(x-2)=-x2+58x-112y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，经化简后都具有y=ax+bx+c 的形式。(a，b，c是常数，a0)知识点详解定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a，b，c是常数，a 0)的函数叫做x的二次函数。注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。（2）a，b，c为常数，且a0。（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（4）x的取值范围通常情况是任意实数。知识点详解二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、

4、b、c是常数，a0)a是二次项系数,b是一次项系数,C是常数项二次函数的特殊形式：当b0时，yax2c当c0时，yax2bx当b0，c0时，yax2练习题1.下列函数中,哪些是二次函数?是 不是 是 不是2222(1)1(2)(3)(1)(4)(1)yxyxyxxyxx 练习题2.若函数 为二次函数，求m的值。解：因为该函数为二次函数，则解得：m=2注意:二次函数的二次项系数不能为零。-2 22 2m mm my y(m m 1 1)x x)2(01)1(222mmm例题详解1、已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式。解：以x=

5、1、y=4代入,得：pq1=4,即：pq=3 (1)以x=2、y=5代入,得：42pq=5,即：2pq=9 (2)解(1)、(2),得：p=12、q=15则：y=x12x15例题详解2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)，设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)，求:(1)求y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75 时，求对应的四边形EFGH的 面积y，并列表表示。(3)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？ABEFCGDHXXXX例题详解解：（1）在正方形

6、纸上剪去4个全等的直角三角形，AHE=DGH，DGH+DHG=90，HG=HE，EHG=180-AHE-DHG，EHG=90，四边形EFGH为正方形，在AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，A=90，HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4，AE，AH不能为负，0 x2，故y关于x的函数表达式：y=2x2-4x+4，自变量x的取值范围0，2。ABEFCGDHXXXX例题详解解：（2）（3）由上表可以看出：随着x的取值的增大，y的值先减小后增大。ABEFCGDHXXXXx 0.250.5 11.5 1.75y 2

7、5852252258练习题1.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,求：(1)写出y关与x的函数关系式。(2)当x=3时,距形的面积为多少?解:(1)y=x(20-2x)=-2x2+20 x(0 x0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0 a0 a0 a0 a0 a0 m2+m=2 解得:m1=2,m2=1由得:m1 m=1此时,二次函数为:y=2x2 。2 2m+mm+my=(m+1)xy=(m+1)x课堂小结y=ax2顶点对称轴开口方向 图象y轴左侧y轴右侧a0(0,0)最低点y轴向上x增大y减小x增大y增大a0(0,0)最高点y

8、轴向下x增大y增大x增大y减小第二十二章 二次函数二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质人民教育出版社 九年级|上册 温故知新说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:1）y=ax22）y=ax2+c温故知新说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:3）y=a（x-h）2问题引入二次函数y=2x,y=2（x-1）,y=2（x-1）+1的图象的关系？1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2（x-1）2+1y=2（x-1）2 y=2x2知识点详解将函数 y=2x的图象向右平移1个单位,就得到 y=2（x-1）的图象;再向上平移2个单

9、位,得到函数 y=2（x-1）+1的图象。相同点:（1）图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同。（2）都是轴对称图形。（3）顶点都是最低点。（4）在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称轴右侧,都随 x 的增大而增大。（5）它们的增长速度相同。不同点:（1）对称轴不同。（2）顶点不同。（3）最小值不相同。知识点详解二次函数y=a（x-h）2+k的图象特征：y=a（x-h）+k开口方向对称轴 顶点最值增减情况a0向上 x=h（h,k）x=h时,有最小值y=kxh时,y随x的增大而增大。a0向下 x=h（h,k）x=h时,有最大值y=kxh时,y随x的增大而减小。例题详解指出下列函数图象的开口

10、方向，对称轴和顶点坐标。开口对称轴顶点坐标y=2（x-3）2-5 y=-0.5（x+1）2向上 直线x=3 （3，5）向下 直线x=-1 （1，0）向下 直线x=0 （0，1）2 23 3y=-x-1y=-x-14 4例题详解1抛物线的上下平移（1）把二次函数y=（x+1）2的图像，沿y轴向上平移个单位，得到_ _的图像；（2）把二次函数_的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x2+1的图像。y=（x+1）2+3y=x2+3例题详解2抛物线的左右平移（1）把二次函数y=（x+1）2的图像，沿x轴向左平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数 _ _的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x2

11、+1的图像。y=（x+4）2y=（x+2）2+1例题详解3抛物线的平移：（1）把二次函数y=3x2的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到 的图像；（2）把二次函数 的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3（x+3）22的图像。y=3（x+3）2-2y=-3（x+6）2知识点详解总结：y=a（x+m）2+k的图象和y=ax2图象的关系。y=ax2（a0）图像 y=a（x+m）2 y=a（x+m）2+ky=a（x+m）2+k的图象的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k）。口诀：（m、k）正负左右上下移。（m左加右减，k上加下减）当m0时

12、 向左平移m个单位当m0时 向上平移k个单位当k0,b 为常数,点（,y1）点（,y2）点（8,y3）在该抛物线上,试比较y1,y2,y3的大小。y3 y1 y23 35D课堂总结1.函数y=a（x+m）2+k的图象和函数图象y=ax2之间的关系。y=ax2的图象：当m0时，向左平移m个单位，当m0时，向上平移k个单位，当k0时x=h时，y有最小值k。当a0时 向左平移m个单位当m0时 向上平移k个单位当k0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当a 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当a0时，抛物线的开口向下，顶

13、点是抛物线上的最高点。b b2a2a2 24 4a ac c-b b4 4a a第二十二章 二次函数二次函数与一元二次方程人民教育出版社 九年级|上册 温故知新二次函数的一般式：y=ax+bx+c_是自变量，_是_的函数。当 y=0 时，ax+bx+c=0(一元二次方程）XYX问题引入 以 40 m/s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有关系：h=20 t 5 t 2 。考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m?若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m?

14、若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?知识点详解解：（1）当 h=15 时，20 t 5 t 2=15 t 2 4 t 3=0 t 1=1，t 2=3 当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m。1s3s15 m知识点详解解：（2）当 h=20 时，20 t 5 t 2=20 t 2 4 t 4=0 t 1=t 2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m。2s20 m知识点详解解：（3）当 h=20.5 时，20 t 5 t 2=20.5 t 2 4 t 4.1=0 因为(4)244.1=0，c0)与方程ax2 bx

15、c=0关系如下：判别式：b24ac二次函数yax2bxc与x轴的公共点一元二次方程ax2bxc0的根b24ac0与x轴有 两 个公共点有 两 个实数根b24ac0与x轴有 一 个公共点有 一 个实数根b24ac0与x轴有 0 个公共点有 0 个实数根课堂总结2.yax2bxc(a0)与不等式ax2 bx c0关系如下：b24ac的符号b24ac0b24ac0b24ac0)的图象关于x的一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2全体实数ax2bxc0)的解集x|x1x0 时，二次函数的图象(抛物线)开口_，有最_点，对称轴是_，顶点坐标是_；当 a0 时，二次函数的图象(抛物线)开口_

16、，有最_点，对称轴是_，顶点坐标是_；当 a0 时，二次函数的图象(抛物线)开口_，有最_点，对称轴是_，顶点坐标是_。问题2 某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。你知道销售单价定为多少元时，商店获利最大吗？问题引入探究新知问题3 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 (0t6)。小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？2305htt追问1：上面的问题中有哪几个变量？两个

17、变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）。追问2：计算当t1、t2、t3、t4、t5、t6时，h的值分别是多少？追问3：你能根据表格中的数据，画出这个函数(0t6)的图象吗？探究新知追问4：根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？归纳：这个函数的图象是一条抛物线的一部分这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。追问5：能直接根据函数的解析式求出它的顶点坐标和最大值吗？追问6：对于一般形式的二次函数 的最小（大）值又是怎么的呢？归纳：当a0（a0），抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是

18、说，当 时，二次函数有最小（大）值 。探究新知2yaxbxc2yaxbxcabx2abac442例1：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少米时，场地的面积S最大？应用新知分析：先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值。例2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？应用新知分析：调整的价格包括涨价和降价两种情况。（1）我们先看涨价的情况。设每件涨价x元，每星期则少卖

19、l0 x件，实际卖出(300l0 x)件，销售额为(60+x)(300l0 x)元，买进商品需付40(30010 x)元。因此，所得利润y(60+x)(300l0 x)一40(300l0 x)，即 。列出函数解析式后，引导学生怎样确定x的取值范围呢？由300l0 x0，得x30。再由x0，得0 x30。根据上面的函数，可知：当x5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元。应用新知2101006000yxx（2）我们再看降价的情况。设每件降价x元，每星期则多卖20 x件，实际卖出(30020 x)件，销售额为(60 x)(30020 x)元，

20、买进商品需付40(30020 x)元因此，所得利润y(60 x)(30020 x)40(30020 x)，即 。怎样确定x的取值范围呢？由降价后的定价(60 x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0 x20。当x2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。应用新知2201006000yxx 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？结论：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大。追问：现在可以解决课前提出的问题2中的最大利润问题了吗？分析：设每件商品降价x元，总利润

21、为y元，则y(13.5x2.5)(500200 x)，即 ，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.54.259.25时，可取得最大利润9112.5元。应用新知22001700550yxx例3：下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m水面下降1 m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适应的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数。为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。应用新知练习1 已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出AEF的面积

22、y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大。巩固新知练习2 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示。根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是 。（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?巩固新知2425yxx 课堂小结师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：本节课学习了哪些主要内容？本节课你有什么收获和体会？对本节课所学知识你还有哪些疑惑？运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图象与性质求解，从而获得实际问题的答案。课外作业1、教科书习题22.3第2题，第3题，第5题；（必做题）2、教科书习题22.3第6题，第8题，第9题。（选做题）