14不等式的证明课件.ppt

1、一、教学目标：一、教学目标：1.通过不等式的性质及常用的证明方法比较法使学生较通过不等式的性质及常用的证明方法比较法使学生较灵活的运用常规方法灵活的运用常规方法(即通性通法即通性通法)证明不等式的有关问证明不等式的有关问题题2.通过揭示问题本质特征，使得难解性问题转化为可解通过揭示问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题，从而培养学生的分问题、解决问题的能力并性问题，从而培养学生的分问题、解决问题的能力并提高逻辑推理能力提高逻辑推理能力二、教学重点：二、教学重点：重点是较灵活运用常规方法证明不等式重点是较灵活运用常规方法证明不等式教学难点：教学难点：选择适当的证明方法选择适当的证明方法 三

2、、教学方法：启发式三、教学方法：启发式四、教学过程四、教学过程4 4、不等式的证明（不等式的证明（1 1）_比较法比较法 根据前面学过的知识，我们知道可以用根据前面学过的知识，我们知道可以用比较法比较法来比较两个实数来比较两个实数 与与 的大小。的大小。1、ab0ab，ab0a0,则：则：111aa bbaa bbaa bb （比商法）（比商法）（比差法）（比差法）比较法比较法是证明不等式的一种最基本、最是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：步骤是：作差作差变形变形判断符号判断符号下结论。下结论。作商作商变形变形与与1比较大

3、小比较大小-下结论。下结论。要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。等变形。尝试尝试2 尝试尝试3例2.已知,a b m都是正数，并且,ab求证amabmb证明证明：amabmb()()()b ama bmb bm()()m bab bm,a b m都是正数，并且,ab0,0bmba()0()m bab bm 即：bambma1.本题变形的方法本题变形的方法通分法通分法2.本题的结论反映了分式的一个性质：若本题的结论反映了分式的一个性质：若,a b m都是正数，都是正数，当当ab时，时，;amabmb当当ab时，时，;amabmb.,3等号成立等号成立时

4、时当且仅当当且仅当求证求证是正数是正数已知已知例例babababaabba baabbaabbababababa :证明证明.,1,0,1,0),(等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则不不妨妨设设不不等等式式不不变变的的位位置置交交换换点点根根据据要要证证的的不不等等式式的的特特bababababababa .,等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当bababaabba (2)作商比较法作商比较法不等式的证明（不等式的证明（2)2)分析法分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证

5、明这个不等式的问题转化为判定件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法分析法。用分析法论证用分析法论证“若若A则则B”这个命题的格式是：这个命题的格式是：欲证命题欲证命题B为真，为真，只需证命题只需证命题B1为真，为真，只需证命题只需证命题B2为真，为真，只需证命题只需证命题Bn为真，为真，只需证命题只需证命题A为真，为真，令已知命题令已知命题A为真，为真，故命题故命题B为真。为真

6、。用简要的形式写为：用简要的形式写为：B B B B1 1 B B2 2 B Bn n A A 结论结论 （寻求不等式成立的充分条件）（寻求不等式成立的充分条件）条件条件 分析法的思路是：分析法的思路是：“执果索因执果索因”，未知未知 已知已知 即从求证的不等式出即从求证的不等式出发，不断地用充分条发，不断地用充分条件来代替前面的不等件来代替前面的不等式，直至找到已知的式，直至找到已知的不等式为止。不等式为止。例2.求证：.372 5372 5证明：因为和都是正数，所以为了证明372 5只需证明22(37)(2 5)展开得102 21202 2110,即215,21252125因为成立，223

7、7(2 5)所以（）成立，372 5即证明了不等式的证明（不等式的证明（3)3)综合法综合法 有时我们也可以利用已经证明过的不等式有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例例如算术平均数与几何平均数的定理如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性和不等式的性质等推导出所要证明的不等式成立质等推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法这种证明方法叫做叫做综合法综合法.综合法综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：的逻辑关系是：12ABBB（A为证明过的不等式、公式等，为证明过的不等式、公式等，B为要证的结论）为要证的结论）由因导果由因

8、导果11.0,22xxxxx 例1已知求证：或0 x 证明：当时，2121xxxx01,00 xxx时，当21)(21)(xxxx21xx2121xxxx或综上所述：由例由例1可得一个重要的不等式：可得一个重要的不等式：)0(21xxx由因导果由因导果反证法反证法 先假设要证明的命题不成立，以此为出发点先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。从而间接说明原命题成立的方法。例题例例1、已知、已知a+

9、b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：求证：a,b,c 0 证：设证：设a 0,bc 0,则则b+c a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0矛盾，矛盾，必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0,c 0 在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就

10、是传递性。放缩法放缩法 1、当、当 n 2 时，求证：时，求证：1)1(log)1(log nnnn 证：证：n 2 0)1(log,0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2时时,1)1(log)1(log nnnn2 ,12a b c dRabcdabdbcacdbdac 例已知求证cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba ,0,:证明证明baa bab dcc dcd 21 .caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccac

11、bbdbaadcbadcba即即得得把以上四个不等式相加把以上四个不等式相加 ,2().令令k=1,2,3,n，则有，则有 2(-0),2(-1),2(-),2(-).以上各式相加得以上各式相加得1+2 .证明：不等式证明：不等式1+1 1-k k+k k1 1=1 1-k k-k kk k1 11 1-k k-k k1 11 11 12 21 12 23 31 12 23 3n n1 1n n1 1-n n2 21 13 31 1n n1 1n n)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 NkkkkkkkkkkkkkkaaB

12、CCACA且且以以上上如如缩缩应应用用基基本本不不等等式式进进行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或缩缩小小分分一一些些项项或或加加进进舍舍掉掉放放缩缩技技巧巧有有常常用用的的后后证证即即放放大大成成如如将将中中间间量量寻寻找找一一个个一一边边放放大大或或缩缩小小放放缩缩法法就就是是将将不不等等式式的的不等式证明方法不等式证明方法(6)几何法几何法 通过构造几何图形，利用几何图通过构造几何图形，利用几何图形的性质、特点来证明不等式的方法形的性质、特点来证明不等式的方法称为称为 几何法几何法。例例1、已知、已知：求证：求证：0,0,ab22.22abab证明：在如右图的正方形证明：

13、在如右图的正方形ABCD中有中有 两个边长分别为两个边长分别为a，b的矩的矩形形AHOF和矩形和矩形ECGO，DACFEGOBabbaH.AC AO OC显 然 有：22222)a ba ba b 即：（222)2a bab即：（2222abab即：2222abab例例2、已知已知 ，利用几何法证明不等式：利用几何法证明不等式：02sintan.证明：证明：AC切 o于于A，BDOA于于D，(0)2如图所示，在如图所示，在单位圆单位圆 o中，中，AOB=，显然有：显然有：sin,tanBDABACAOB的面积的面积11sin,22OA BD扇形扇形AOB的面积的面积=11,22OA ABAOC的面积的面积=11tan22OA AC因为：因为：AOC面积面积扇形扇形AOB面积面积AOC面积面积，即：即：111sintan,222sintan.oADBC