线性代数第9讲课件.ppt

1、第四章向量组的线性相关性 上页下页返回引例首页结束铃1向量组及其线性组合2向量组的线性相关性3向量组的秩4线性方程组的解的结构5向量空间4.1 向量组及其线性组合 naaa21a 或aT(a1 a2 an)v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量.其中a称为列向量(即列矩阵)aT称为行向量(即行矩阵).由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为上页下页铃结束返回补充例题首页上页下页铃结束返回首页补充例题 (1)列向量用黑体小写字母a、b、等表示 行向量则用aT、bT、T、T等表示.所讨论的向量在没有指明是行向量还

2、是列向量时 都当作列向量.naaa21a 或aT(a1 a2 an)v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量.其中a称为列向量(即列矩阵)aT称为行向量(即行矩阵).由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为说明 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 (2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量.naaa21a 或aT(a1 a2 an)v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量.由数组a1 a2 an所组成的n维向量可

3、记为说明 (3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.其中a称为列向量(即列矩阵)aT称为行向量(即行矩阵).下页上页下页铃结束返回首页补充例题 12111maaa 22212maaa mnnnaaa21 v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量.v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.v向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组.下页 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 上页下页铃结束返回首页补充例题v向量 n个有次序的数a1

4、a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量.v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.v向量举例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组.下页 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211)()()(212222111211mnmmnnaaaaaaaaa 上页下页铃结束返回首页补充例题v向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量.v向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.v向量举

5、例 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组.下页 今后 由列向量组A a1 a2 am所构成的矩阵简记为A或(a1 a2 am).上页下页铃结束返回首页补充例题v线性组合与线性表示 设A a1 a2 am是一向量组 表达式 k1a1k2a2 kmam称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2 km是一组实数 称为这线性组合的系数.如果向量b是向量组A的线性组合b 1a12a2 mam则称向量b能由向量组A线性表示.下页 问题:如何判断向量b能否由向量组A线性表示？上页下页铃结束返回首页补充例题v定理1 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1

6、a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B).向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示线性方程组 x1a1x2a2 xmam=b有解R(A)=R(B)分析：上页下页铃结束返回首页补充例题 例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式.设A(a1 a2 a3)B(A b)(a1 a2 a3 b).因为 0000000012102301 1032341201211111rB所以R(A)R(B)因此向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示.由上列

7、行最简形 可得方程(a1 a2 a3)xb的通解为 cccc1223012123x 从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3其中c可任意取值.解 0000000012102301 1032341201211111rB 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页问题:如何判断向量组B能否由向量组A线性表 示？等价？上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 b

8、l中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij)使 mlmmllmlkkkkkkkkk ),(),(2122221112112121aaabbb.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页注 bj k1ja1k2ja1 kmjam(j1 2 l).矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵.上页下页铃结束返回首页补充例题 反之 若BAK 则 矩阵B的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能

9、由向量组A线性表示.若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K(kij)使 mlmmllmlkkkkkkkkk ),(),(2122221112112121aaabbb.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页即B=AK.上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.(1)列向量组B组能由列向量组A线性表示 存在矩阵K,使得B=AK.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页(2)行向量组B组能由行向量组A线性表示 存在矩阵K,使得B=KA.(3)列向

10、量组A组和列向量组B等价 存在矩阵S,T,使得A=BS,B=AT.(4)行向量组A组和行向量组B等价 存在矩阵S,T,使得A=SB,B=TA.上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.v定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A B).下页分析:向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵X,使得B=AXv定理4 矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A B).回忆:上

11、页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.v定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A B).下页分析:R(A)=R(A,B)向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵X,使得B=AX上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与B能相互表示 则称

12、这两个向量组等价.v定理2 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R(A)R(A B).推论 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B).下页A能由B线性表示分析:R(B)R(A B)B能由A线性表示R(A)R(A B)R(A)=R(B)R(A B)上页下页铃结束返回首页补充例题 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价.v矩阵等价与向量组等价的关系v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组

13、A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页分析:A与B行向量组等价矩阵A与B行等价可逆阵P,使得B=PA B=PA,A=P-1B B=SA,A=TB 思考1:为什么不等价？上页下页铃结束返回首页补充例题 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价.v矩阵等价与向量组等价的关系v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页分析:A与B行向量组等价矩阵A与B行等价可逆阵P,使得B=PA B=PA,A=P-1B B=SA,A=TB 思考1:为什么不等价？上页

14、下页铃结束返回首页补充例题 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价.v矩阵等价与向量组等价的关系v向量组的等价 若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v定理3 设向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 则R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am).证明 记A(a1 a2 am)B(b1 b2 bl).按定理的条件 根据定理2有R(A)R(A B)而R(B)R(A B)因此R(B)R(A).结束上页下

15、页铃结束返回首页补充例题非齐次线性方程组有解 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111或 Axb 矩阵的秩R(A)R(A b)向量的线性表示b x1a1x2a2 xnan方程观点矩阵观点向量观点上页下页铃结束返回首页补充例题矩阵方程 AXB 有解矩阵的秩R(A)R(A B)向量组的线性表示B b1 b2 bl能由A a1 a2 am线性表示方程观点矩阵观点向量观点上页下页铃结束返回首页补充例题矩阵方程 AXB,BY=A 有解矩阵的秩R(A)R(B)R(A B)向量组的线性表示B b1 b2 bl能由A a1 a2 am等价方程观点

16、矩阵观点向量观点上页下页铃结束返回首页补充例题小结概念：向量，线性组合，线性表示，向量组，向量组的线性表示，向量组的等价.性质：定理1 b能由向量组A a1 a2 am线性表示R(A)R(B).定理2 向量组B能由向量组A 线性表示 R(A)R(A B).定理3 向量组B能由向量组A线性表示 R(B)R(A).推论 向量组A与向量组B等价 R(A)R(B)R(A B).性质1 向量组B能由向量组A 线性表示 存在矩阵K，使得BAK.性质2 向量组A与向量组B 等价 存在矩阵S,T使得ABS,B=AT.4.2 向量组的线性相关性 上页下页铃结束返回补充例题首页v向量组的线性相关与线性无关 给定向

17、量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.给定向量组A a1 a2 am 如果不存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0.则称向量组A是线性无关的.4.2 向量组的线性相关性 上页下页铃结束返回补充例题首页v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.换言之,给定向量组A a1 a2 am 若 k1a1k2a2 kmam0,必有k1=k2=km=0

18、,则称向量组A是线性无关的.上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关.(2)一个向量a线性相关 a0.(3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成比例).下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.向量组A a

19、1 a2 am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.这是因为 :如果向量组A线性相关 则有k1a1k2a2 kmam0其中k1 k2 km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)即a1能由a2 am线性表示.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.向量组A a1 a2 am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.这是因为 :如果向量组A中有某

20、个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示 即有1 2 m1 使am1a12a2 m1am1于是 1a12a2 m1am1(1)am0因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.下页问题:如何判断向量组A是否线性表相关？上页下页铃结束返回首页补充例题 v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kma

21、m0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关.v定理1 向量组A:a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m.这是因为 向量组A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m.下页上页下页铃结束返回首页补充例题（i)(定义)若 k1a1k2a2 kmam0,必有k1=k2=km=0；给定向量组A a1 a2 am线性无关的等价条件：（ii)(方程组)Ax0仅有零解；（iii)(矩阵)R(A)=m.给定向量组A a1 a2 am线性相关的等价条件：（i)(定义)存

22、在不全为零的k1,k2,km使得k1a1k2a2 kmam0（ii)(方程组)Ax0有非零解；（iii)(矩阵)R(A)m.上页下页铃结束返回首页补充例题矩阵的秩R(A)n向量的线性相关性a1,a2,an 线性相关齐次线性方程组有非零解或 Ax0 11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax方程观点矩阵观点向量观点上页下页铃结束返回首页补充例题矩阵的秩R(A)=n向量的线性相关性a1,a2,an 线性无关齐次线性方程组仅有零解或 Ax0 11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa

23、 xa xa xa xaxax方程观点矩阵观点向量观点 三个角度各有长短，取长补短，灵活运用，举一反三,挥洒自如,游刃有余。上页下页铃结束返回首页补充例题 庖丁解牛 庄子养生主 庖丁为文惠君解牛。手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于桑林之舞，乃中经首之会。文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也；进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者；三年之后，未尝见全牛也。方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，导大窾，因其固然，技经肯綮之未尝，而况大？乎！良庖岁更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解数千

24、牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新发于硎。虽然，每至于族，吾见其难为，怵然为戒，视为止，行为迟。动刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，为之四顾，为之踌躇满志；善刀而藏之。”文惠君曰：“善哉！吾闻庖丁之言，得养生焉。”上页下页铃结束返回首页补充例题学习线性代数不仅是会做题目，更重要的学习线性代数提供的思想和方法，用这些方法指导你做事。过十年，二十年后，也许题目你忘记怎么做了，但你学习到的思想和方法在你头脑中根深蒂固，为你提供强大的思想武器，使你终生受益。注意：这些思想方法不通过勤奋学习，苦思冥想是不可能变为己有的。上页

25、下页铃结束返回首页补充例题 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30.因为a1 a2 a3线性无关 故有 例1 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关.证法一（定义）000322131xxxxxx.由于此方程组的系数行列式02110011101 故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例1 已知向量组a1

26、 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关.证法二（线性方程组）110011101),(),(321321aaabbb 因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0.又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0.所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关.记作BAK.设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例1 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关.证法三（矩阵的秩）因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b

27、1 b2 b3线性无关.因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A).把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 110011101),(),(321321aaabbb 记作BAK.下页上页下页铃结束返回首页补充例题例2 设向量组B：b1,b2,br能由向量组A：a1,a2,as线性表示为 （b1,br)=(a1,.,as)K,其中K为sr矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)r.证明 向量组B线性无关设Bx0 A(Kx)0.把(b1,br)=(a1,.,as)K 记作BAK.充分性：A线性无关Kx0R(K)rx0上页下页铃结束返回首页补充例题例2 设向量组B：b1,b2,

28、br能由向量组A：a1,a2,as线性表示为 （b1,br)=(a1,.,as)K,其中K为sr矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)r.证明 BAK R(K)R(B)把b1,br)=(a1,.,as)K 记作BAK.必要性：B线性无关rR(K)R(K)r R(B)=r R(K)r上页下页铃结束返回首页补充例题 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关.反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关.这是因为 记A(a1 a2 am)B(a1 a2 am am1)有R(B)R(A)1.若向量组A线性相关 则有R

29、(A)m 从而R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关.反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关.这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的部分组 则该向量组线性相关.一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都线性无关.特别地 含零向量的向量组必线性相关.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关.反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关.(2)

30、m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地 n1个n维向量一定线性相关.这是因为 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵Anm(a1 a2 am)有R(A)n.若nm 则R(A)nm 故m个向量a1 a2 am线性相关.下页上页下页铃结束返回首页补充例题 v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关.反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关.(2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地 n1个n维向量一定线性相关.(3)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1

31、a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的.这是因为 记A(a1 a2 am)B(a1 a2 am b)有即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一.有唯一解(a1 a2 am)xb因此方程组 即有R(B)R(A)m.mR(A)R(B)m1 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例3 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1)a1能由a2 a3线性表示 (2)a4不能由a1 a2 a3线性表示.a2 a3 a4线性无关 证：a1 a2 a3线性相关结束 a2 a3也线性无关（1)a1能由a2 a3线性表示（2)a1,a2,a3线性

32、相关R(a1,a2 a3)3 (*)R(a1,a2 a3,a4)R(a2 a3,a4)=3 (*)a2 a3 a4线性无关 R(a2 a3,a4)=3 综合(*),(*)得 R(a1,a2 a3,a4)R(a1 a2,a3)，得证.上页下页铃结束返回首页补充例题小结概念：线性相关，线性无关.v 性质:v定理1 向量组A:a1 a2 am线性相关R(A)m;线性无关R(A)m.v定理2 (1)A a1 am线性相关B a1 am am1线性相关;反之 向量组B线性无关向量组A也线性无关.(2)m个n维向量组成的向量组A 若 nm A线性相关;特别地 n1个n维向量一定线性相关.(3)A a1 a

33、2 am线性无关 B a1 a2 am b线性相关 b必能由A线性表示 且表示式是唯一的.上页下页铃结束返回首页补充例题定理1 b能由向量组A a1 a2 am线性表示R(A)R(A,b)定理2 向量组B能由向量组A 线性表示 R(A)R(A B).推论向量组A与向量组B等价 R(A)R(B)R(A B)定理3 向量组A:a1 a2 am线性相关 R(A)m;向量组A:a1 a2 am线性无关 R(A)m.上页下页铃结束返回首页补充例题定理1 b能由向量组A a1 a2 am线性表示R(A)R(A,b)Axb有解.定理2 向量组B能由向量组A 线性表示 R(A)R(A B)AXB有解.推论向量组A与向量组B等价 R(A)R(B)R(A B)AXB,BYX有解.定理3 向量组A:a1 a2 am线性相关 R(A)m;Ax0有非零解.向量组A:a1 a2 am线性无关 R(A)m.Ax0仅有零解.上页下页铃结束返回首页补充例题探索发现型思考题用一句话回答问题（不超过15个字）：1.两个m个方程n个未知量的线性方程组同解的充要条件是什么？2.两个不同方程个数n个未知量的线性方程组同解的充要条件是什么？上页下页铃结束返回首页补充例题作业P106-108 1.2.3.5.6.10.11(2).15.19