第章-代数方程的Galois理论课件.ppt

1、1第第5 5章章 代数方程的代数方程的GaloisGalois理论理论西南大学西南大学 数学与统计学院数学与统计学院 张广祥E.Galois 1811-183225.1 5.1 低次方程的求根公式低次方程的求根公式o 解解3 3次方程次方程x x3 3+ax+ax2 2+bx+c=0+bx+c=0o 代换代换y=x+a/3y=x+a/3得得 y y3 3+py+q=0+py+q=0o 代换代换y=u+vy=u+v则则y y3 3=u=u3 3+v+v3 3+3uvy+3uvyo y y3 3-3uvy-3uvy -(u-(u3 3+v+v3 3)=0)=0o 对比系数对比系数:uv:uv=-p

2、/3,u=-p/3,u3 3+v+v3 3=-q=-qo 解辅助方程解辅助方程t t2 2+qt-p+qt-p3 3/27=0(Lagrange/27=0(Lagrange预解式预解式)o 求出求出u u3 3与与v v3 3.J.Lagrange,17713解解3 3次代数方程次代数方程o 求出求出u,vu,v:o Y Y1 1=u+v=u+v,y,y2 2=u+u+2 2v,yv,y3 3=2 2v+v+v v27422742323323pqqvpqqu45.2 5.2 对称多项式对称多项式o 定义定义5.2.1 5.2.1 对称多项式对称多项式;初等对称多项式初等对称多项式o 定理定理5

3、.2.2(5.2.2(对称多项式基本定理对称多项式基本定理)每个对称多每个对称多项式项式f(xf(x1 1,x,xn n)都是初等对称多项式的多项式都是初等对称多项式的多项式f(xf(x1 1,x,xn n)=g()=g(1 1,n n),),而且而且g g的系数是的系数是f f系数系数的有理整式的有理整式.5 4 4次方程求根公式次方程求根公式o 解解4 4次代数方程次代数方程z z4 4+az+az3 3+bz+bz2 2+cz+d=0+cz+d=0o 代换代换z=x-a/4z=x-a/4得得x x4 4+px+px2 2+qx+r=0+qx+r=0o 再代换再代换o J.Lagrange

4、,1771o 解方程解方程y y3 3+b+b1 1y y2 2+b+b2 2y+by+b3 3=0,b=0,b1 1=-2p,b=-2p,b2 2=p=p2 2-4r,b-4r,b3 3=q=q2 2o(Lagrange(Lagrange预解式预解式)()()(324134231243211xxxxyxxxxyxxxxy6 5.1-5.2 5.1-5.2作业作业o 练习练习5.1 5.1 题题1,21,2o 练习练习5.2 5.2 题题2 27 5.3 5.3 多项式的分裂域多项式的分裂域o 定义定义5.3.1 5.3.1 系数域系数域;根的分裂域根的分裂域o 引理引理5.3.2 f(x)5

5、.3.2 f(x)FxFx,若若f(xf(x)=a(x-)=a(x-1 1)(x-(x-n n)o 则分裂域为则分裂域为F(F(1 1,n n)o 定理定理5.3.3 f(x)5.3.3 f(x)FxFx,则存在则存在f(xf(x)在在F F上的分裂上的分裂域域.o 证证 由单代数扩存在性定理由单代数扩存在性定理3.2.2,3.2.2,对对f(xf(x)的不可的不可约因子约因子p(xp(x),),有有 1 1使使p(p(1 1)=0,f(x)=0,f(x)=(x-)=(x-1 1)g(x)g(x)o 定理定理5.3.5 5.3.5 分裂域唯一到同构分裂域唯一到同构.8 正规扩域正规扩域o 定义

6、定义5.3.6 5.3.6 正规扩域正规扩域:E E F,F,若不可约若不可约f(x)f(x)FxFx 在在E E中有一个根中有一个根,E,E就含就含f(xf(x)的所有根的所有根.o 定理定理5.3.7 5.3.7 设设f(x)f(x)Fx,EFx,E是分裂域是分裂域,则则E E是正规是正规扩域扩域.o 证证 反证法反证法.设设f(xf(x)全体根全体根 1 1,n n,则则o E=F(E=F(1 1,n n).).o 若若不可约不可约p(x)p(x)Fx,p(xFx,p(x)=0)=0在在E E有根有根,但但p(xp(x)在在E E上不能分解为上不能分解为1 1次因式之积次因式之积.9 正

7、规扩域正规扩域o p(x)=(x-p(x)=(x-)q(x),q(x)q(x),q(x)有次数有次数m m大于大于1 1的不可约的不可约因子因子q q1 1(x)(x)Ex,Ex,由单代数扩域存在性定理由单代数扩域存在性定理3.2.43.2.4存在存在E(E(),),使使 在在E E上极小多项式是上极小多项式是q q1 1(x).(x).o 现在现在q q1 1()=0,)=0,所以所以p(p()=0,)=0,由单代数扩域唯一性由单代数扩域唯一性定理定理3.2.4 F(3.2.4 F()F(F().).因此因此F(F()x)x F(F()x)x.o 且且f(xf(x)在同构下不变在同构下不变.

8、o F(F(,1 1,n n)是是f(xf(x)在在F(F()上的分裂域上的分裂域,o F(F(,1 1,n n)是是f(xf(x)在在F(F()上的分裂域上的分裂域.10 正规扩域正规扩域o 于是由分裂域唯一性定理于是由分裂域唯一性定理5.3.55.3.5o F(F(,1 1,n n)F(F(,1 1,n n)=E)=Eo 另一方面另一方面o|E:F|=|F(|E:F|=|F(,1 1,n n):F):F|=|E(|=|E():E|.|E:F|=m|E:F):E|.|E:F|=m|E:F|o 矛盾矛盾.11 非正规扩域的例非正规扩域的例o 例例5.3.15.3.1设设F=Q,F=Q,是是x

9、x3 3-2=0-2=0的一个根的一个根,证明证明F(F()不是不是F F的正规扩域的正规扩域.o 证证 首先首先x x3 3-2=0-2=0在在F F上不可约上不可约,故故|F(|F():F|=3.):F|=3.o 如果如果F(F()是是F F的正规扩域的正规扩域,那么那么F(F()应该是应该是x x3 3-2-2 在在F F上的分裂域上的分裂域.o 下证下证|分裂域分裂域:F|=6:F|=6o x x3 3-2=0-2=0的的3 3个根是个根是,2 2.o 取取 是实根是实根,则则F(F()不含不含,|分裂域分裂域:F|=6.:F|=6.12 练习练习5.35.3o o 作业作业:题题2,

10、3,52,3,5o 5.5 5.5 代数基本定理代数基本定理(略略)13 5.4 5.4有限域有限域o 定理定理5.4.15.4.1o(1)(1)有限域有限域F F一定含一定含q=pq=pn n个元个元,p,p是素数是素数.o(2)(2)含含q=pq=pn n个元的有限域个元的有限域F F是多项式是多项式x xq q-x-x的分裂的分裂域域.o(3)(3)元素个数相同的有限域互相同构元素个数相同的有限域互相同构.o 证证 (1)(1)素域素域ZpZp上上n n维向量空间维向量空间.o(2)q-1(2)q-1阶循环群阶循环群F F*满足满足x xq-1q-1-1=0.-1=0.o(3)(3)分裂

11、域唯一到同构分裂域唯一到同构.14 5.4 5.4有限域有限域o 定理定理5.4.2 5.4.2 o q q个元素的有限域个元素的有限域F,F,非零元素乘群非零元素乘群F F*循环循环,因因此有限域此有限域F F是素域上的单代数扩区域是素域上的单代数扩区域.o 练习练习5.4 5.4 题题4 4155.55.5代数基本定理代数基本定理o 定理定理 每个复系数多项式在复数域中至少有一个根每个复系数多项式在复数域中至少有一个根,由此由此n n次多项式共有次多项式共有n n个复数根个复数根(包括重根包括重根).).o 注注 高斯高斯17991799年年(21(21岁岁)在他的博士论文在他的博士论文一

12、个单变量有理一个单变量有理数方程分解为数方程分解为1 1次或次或2 2次因式乘积的新证明次因式乘积的新证明中第一次正中第一次正确地证明了这一定理确地证明了这一定理.高斯高斯180316 5.6 Galois 5.6 Galois群群o 定义定义5.6.1 5.6.1 o(1)(1)有限可分正规扩域称为有限可分正规扩域称为GaloisGalois扩域扩域.o(2)(2)假定假定E E是是F F的的GaloisGalois扩域扩域,将将E E的全体使的全体使F F的元的元素不变的域自同构所组成的群称为扩域素不变的域自同构所组成的群称为扩域E/FE/F的的GaloisGalois群群,记为记为Gal

13、(EGal(E/F)./F).o(3)(3)一个方程一个方程f(x)f(x)FxFx 的的GaloisGalois群是指群是指f(xf(x)在在F F上上的分裂域的分裂域E E的的GaloisGalois群群.17 5.6 Galois 5.6 Galois群群o 注注1 1 方程的方程的GaloisGalois群也是根的置换群群也是根的置换群.o 注注2 2 因为因为E E是是F F的有限可分扩域的有限可分扩域,因此因此E E是是F F的单的单代数扩域代数扩域E=F(E=F(),),设设 的极小多项式的极小多项式p(xp(x)次数次数m,m,则则|E:F|=m.|E:F|=m.o 另一方面另

14、一方面,由正规性由正规性p(xp(x)=0)=0在在E E中有中有m m个根个根:=1 1,m m,由可分性由可分性,这这m m个根互不相同个根互不相同,则则 到到 i i的置换的置换 i i都是都是GaloisGalois群的元群的元,这样的元素这样的元素恰有恰有m m个个,因此因此|Gal(E|Gal(E/F)|=/F)|=|E:F|=m|E:F|=m.18 5.6 Galois 5.6 Galois群群GaloisGalois基本定理基本定理1 1o 定理定理5.6.25.6.2设设E E是是F F的的GaloisGalois扩域扩域,G=Gal(E,G=Gal(E/F)./F).则则

15、(1)(1)每个中间域每个中间域E E L L F,F,对应一个中间子群对应一个中间子群1 1H HG,G,且且H=Gal(EH=Gal(E/L)/L)o(2)(2)反之中间子群反之中间子群1 1H HG,G,对应一个中间子域对应一个中间子域E E L L F,F,且且L=InvL=InvE E(H(H)o(3)(3)上面的对应是一一对应上面的对应是一一对应,并把正规扩域并把正规扩域L/FL/F对应到正规子对应到正规子H,H,并且并且G/HG/H Gal(LGal(L/F)/F)19 Galois Galois基本定理基本定理o GaloisGalois群对应群对应:E1FGLH20 Galo

16、is Galois基本定理证明基本定理证明o 证明证明(1)(1)若若L L是中间域是中间域,易知易知G G的所有固定的所有固定L L的元的元素满足子群条件素满足子群条件,成为一个子群成为一个子群H.H.按定义按定义H=Gal(EH=Gal(E/L)./L).o(2)(2)反之对反之对G G的子群的子群H,H,H,H,若若 固定固定a,ba,b E E,则则 固定固定a-ba-b与与a/b,a/b,因此因此H H的固定元素成为的固定元素成为E E的子域的子域L=L=InvInvE E(H(H)o(3)(3)按定义按定义H=Gal(EH=Gal(E/L)/L)与与L=L=InvInvE E(H(

17、H)同时发生同时发生,对对应是一一的应是一一的.21 Galois Galois基本定理证明基本定理证明o 下面证明最后一个结论下面证明最后一个结论:o 若若g g G G使使L Lg g =L=L1 1,H=Gal(E/L),H,H=Gal(E/L),H1 1=Gal(E/L=Gal(E/L1 1).a).a L,aL,a1 1=a=ag g,a,ah h=a.=a.o 现在现在o 说明若说明若 L L1 1=L=Lg g,则则H H1 1=g=g-1-1Hg=HHg=Hg g,反之也对反之也对.注意注意L Lg g=F(=F(g g).).因因此共轭的子域对应共轭的子群此共轭的子域对应共轭

18、的子群;正规子域对应正规子群正规子域对应正规子群.11)()(11aaaaagghhggghgg22 Galois Galois群例群例1 1o 例例5.6.15.6.1设设F=Q,E=F(F=Q,E=F(2,2,3),3),求求GaloisGalois群群G=Gal(EG=Gal(E/F)./F).o 解解 E E是是f(xf(x)=(x)=(x2 2-2)(x-2)(x2 2-3)-3)在在F F上的分裂域上的分裂域.f(xf(x)=0)=0的的4 4个根个根 1,2,3,4 1,2,3,4=2,-2,-2,2,3,-3,-3.3.但但G G的元素把的元素把(x(x2 2-2)-2)与与(

19、x(x2 2-3)-3)都不变都不变,因此因此G G的的元素把元素把2 2变为变为2;2;把把3 3变为变为3;3;o G G是一个是一个4 4阶群阶群,G,G 1,(12),(34),(12)(34)1,(12),(34),(12)(34)23 Galois Galois群例群例2 2o 求方程求方程f(xf(x)=x)=x4 4-2-2在有理数域在有理数域F F上的上的GaloisGalois群群.o 解解 首先求首先求x x4 4-2-2在在F F上的分裂域上的分裂域E=F(E=F(,i i),|E:F|=8),|E:F|=8o =.=.1,2,3,41,2,3,4=,-,i,-i.=,

20、-,i,-i.o 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,o :-i i i -i -i -i -i i o i:i:i i i -i -i -i -i i -o G=1,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(1324),(1423),G=1,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(1324),(1423),o (14)(23)(14)(23)42424242424224 5.6 Galois 5.6 Galois基本定理证明基本定理证明o 作业作业:练习练习5.65.6题题1,2,51,2,5o 思考题思考题:题题6 625 5.

21、7 5.7 方程的方程的GaloisGalois理论理论o 代数方程的根式解是指对于方程的系数进代数方程的根式解是指对于方程的系数进行代数运算行代数运算(加、减、乘、除、开方加、减、乘、除、开方)求出求出方程的根方程的根o 对对 的理解的理解o 一个令人惊叹的事实：一个令人惊叹的事实：o GaloisGalois发现方程的可解性由方程根的置换发现方程的可解性由方程根的置换群（群（GaloisGalois群）的可解性决定群）的可解性决定na26 5.7 5.7 方程的方程的GaloisGalois理论理论o 定义定义5.7.5 5.7.5 一个群一个群G G称为可解群称为可解群,如果存在子群如果

22、存在子群o 列列 G=GG=G1 1 G G2 2 G Gn-1n-1 G Gn n=1=1o 使得相邻商群使得相邻商群G Gi-1i-1/G Gi i 都是交换群都是交换群.27 方程的方程的GaloisGalois理论理论o 例例5.7.2 5.7.2 对称群对称群S S3 3是可解群是可解群.o 例例5.7.3 5.7.3 对称群对称群S S4 4是可解群是可解群.o 例例5.7.4 5.7.4 对称群对称群S Sn n (n(n5)5)不可解不可解.28 方程的方程的GaloisGalois理论理论o 定理定理5.7.6(E.Galois)5.7.6(E.Galois)设设f(x)f(

23、x)FxFx,方程方程f(xf(x)=0)=0有有根式解的充分必要条件是根式解的充分必要条件是f(xf(x)的的GaloisGalois群是可群是可解群解群.o 定理定理5.8.1(N.Abel,1824)55.8.1(N.Abel,1824)5次和次和5 5次以上的一般次以上的一般系数多项式方程不可解系数多项式方程不可解.29 Galois Galois理论基本定理理论基本定理2 2o 定理定理5.7.6(Galois5.7.6(Galois基本定理基本定理2)2)设设f(x)f(x)FxFx,方程方程f(xf(x)=0)=0有根式解的充分必要条件是有根式解的充分必要条件是f(xf(x)的的

24、GaloisGalois群是可解群群是可解群.o 引理引理1(5.7.2)1(5.7.2)若域若域F F包含包含n n次本原单位根次本原单位根,则则Gal(EGal(E/F)/F)是循环群当且仅当是循环群当且仅当E=F(),aE=F(),aF F.o 引理引理2(5.7.3)2(5.7.3)方程方程x xn n-1=0-1=0有根式解有根式解.o 引理引理3(5.7.4)3(5.7.4)设设L L F,f(x)F,f(x)Fx,EFx,E/F/F与与K/LK/L都是都是f(xf(x)的分裂域的分裂域,则则Gal(E/F)Gal(E/F)Gal(K/LGal(K/L).).na30 Galois

25、 Galois理论基本定理理论基本定理2 2证明证明:必要性必要性o 定理证明定理证明:必要性必要性.若若f(xf(x)=0)=0有根式解有根式解,E,E是分是分裂域裂域,要证要证G=Gal(EG=Gal(E/F)/F)是可解群是可解群.o 不妨假定在分裂域不妨假定在分裂域E E中添加需要的单位根中添加需要的单位根得到扩域得到扩域K K E E.记记G G1 1=Gal(K/F),G=Gal(K/F),G1 1G.G.o 有根式解意味着在系数域有根式解意味着在系数域F F中逐次添加形中逐次添加形如如 的元的元,由引理由引理1 1每次添加对应的每次添加对应的GaloisGalois群都循环群都循

26、环,因此因此G G1 1有次正规列有次正规列,因子群循因子群循环环,G,G1 1可解可解,G,G也可解也可解.pa31GaloisGalois理论基本定理理论基本定理2 2证明证明:充分性充分性o 下面证明充分性下面证明充分性:假定假定G=Gal(EG=Gal(E/F)/F)是可解群是可解群,|G|=n.|G|=n.设设 是是n n次本原单位根次本原单位根,K=E(,K=E(),L=F(),L=F().).由引理由引理3 3 G G1 1=Gal(K=Gal(K/L)/L)是是G G的子群的子群,也可解也可解.G.G1 1有合成列有合成列G G1 1 G G2 2 G Gs s 1 1 且且G

27、 Gi i/G Gi+1i+1阶为阶为素数素数p pi i,由由GaloisGalois基本定理基本定理1 1存在扩域序列存在扩域序列K=KK=K1 1 K K2 2 K Ks s=L,L,相邻扩域次数为素数相邻扩域次数为素数p pi i,由引理由引理1 1 这些扩域都可以通过添加形如这些扩域都可以通过添加形如 的元素而得到的元素而得到.那么那么E E也可以通过在也可以通过在F F中添中添加形如加形如 的元素而得到的元素而得到.方程存在根式解方程存在根式解.papa32 不可解方程不可解方程o 例例5.8.1 5.8.1 方程方程x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0在有理数域上没有根在

28、有理数域上没有根式解式解.o 评论评论:o 代数基本定理代数基本定理:根是存在的根是存在的o GaloisGalois基本定理基本定理:根是不可发现的根是不可发现的o 最好的数学同时也是一种最好的哲学最好的数学同时也是一种最好的哲学33 不可解方程不可解方程x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0o 引理引理5.8.2 5.8.2 设设p p是素数是素数.若若p p次置换群次置换群G G包含包含一个一个p p阶元与一个对合阶元与一个对合,则则G G=Sp.Sp.o 证设证设p p阶元阶元a=(12a=(12p),p),对合对合b=(12)b=(12)o 则则a a-1-1ba=(23),a

29、ba=(23),a-2-2baba2 2=(34),=(34),(p p-1),(1p)(p p-1),(1p)G Go(13)=(12)(23)(12),(14)=(13)(34)(13),(13)=(12)(23)(12),(14)=(13)(34)(13),o(1 p-1)(1 p-1)G,G,G G=Sp.Sp.34 不可解方程不可解方程x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0o 定理定理5.8.4 5.8.4 设设p p是素数是素数,p,p次不可约多项式次不可约多项式f(x)f(x)QxQx,若若f(xf(x)恰有恰有p-2p-2个实根个实根,则它的则它的GaloisGalois

30、群是群是Sp.Sp.o 证证 设设E E是是f(xf(x)在在Q Q上分裂域上分裂域,G=Gal(E,G=Gal(E/Q),/Q),则则o p|Gp|G|,|,由由CouchyCouchy定理定理4.2.17G4.2.17G有有p p阶元阶元.另一方另一方面面G G有一个对合有一个对合,因此由引理因此由引理G=Sp.G=Sp.35 不可解方程不可解方程x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0o 例例5.8.1 5.8.1 方程方程x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0在有理数域上没有根在有理数域上没有根式解式解(不可解不可解).).o 证证 首先由反序首先由反序EisensteinEisenstein法则法则x x5 5-x-1/2-x-1/2在有理在有理数域上不可约数域上不可约.o x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0恰有恰有3 3个实根个实根,利用定理利用定理5.8.45.8.4方程方程x x5 5-x-1/2=0-x-1/2=0在有理数域上没有根式解在有理数域上没有根式解.