2011全国各地中考数学试题分类汇编考点18-2二次函数的应用(几何)3.doc
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1、 二次函数的应用(几何) 一、选择题 1. (2011 山东莱芜,9,3 分)如图,在平面直角坐标系中,长为 2,宽为 1 的矩形 ABCD 上有一动点 P,沿 ABCDA 运动一周,则点 P 的纵坐标 y 与 P 走过的路程 s 之间 的函数关系式用图像表示大致是 ( ) y x (第第9题图题图) P D CB A 1 2 123 o 2. (2011 北京市,8,4 分) 如图在 RtABC中,90ACB,30BAC,AB2, D是AB边上的一个动点 (不与点A、B重合) , 过点D作CD的垂线交射线CA于点E 设 A D x ,CEy,则下列图象中,能表示y与x的函数关系图象大致是(
2、) E C A BD 【答案】B 3. (2011 湖南岳阳,8,3 分)如图,边长都是 1 的正方形和正三角形,其一边在同一水平 线上,三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形设穿过的时间为 t,正方形与三角形生 命部分的面积为 S(空白部分) ,那么 S 关于 t 的函数大致图象为( ) ABCD 【答案】B 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 二、填空题 1. (2011 云南玉溪,15,3 分)如图,点A1、A2、A3、An在 2 yx 上,点B1、 B2、B3、Bn在x轴上,若A1B0B1、A2B1B2、AnBn-1Bn都为等腰直角三角 形(点B0是坐标原点) ,则A2011B2
3、010B2011的腰长=_. 【答案】2011 2. 2. (2011 广西百色,20,3 分)如图,点 C 是O 优弧 ACB 上的中点,弦 AB=6cm,E 为 OC 上任意一点,动点 F 从点 A 出发,以每秒 1cm 的速度沿 AB 方向响点 B 匀速运动, 若 y=AEEF,则 y 与动点 F 的运动时间 x(0x6 )秒的函数关系式为 . 【答案】 :y=x26x18. S t O S t O S t O S t 3. 4. 5. 三、解答题 1. (2011 福建泉州,26,14 分)如图 1,在第一象限内,直线mxy 与过点 B(0,1) 且平行于x轴的直线l相交于点 A,半径
4、为r的Q 与直线mxy 、x轴分别相切于点 T、 E,且与直线l分别交于不同的 M、N 两点. (1)当点 A 的坐标为 p, 3 3 时,填空:p ,m ,AOE= ; 如图 2,连结 QT、QE,QE 交 MN 于点 F,当r=2 时,试说明:以 T、M、E、N 为顶点的四 边形是等腰梯形; (2)如图 1 中,连结 EQ 并延长交Q 于点 D,试探索:对rm,的不同取值,经过 M、D、 N 三点的抛物线cbxaxy 2 ,a的值会发生变化吗?若不变,求出a的值;若变化, 请说明理由. 【答案】解: (1), 3, 1mpAOE=60; 解法一:连结 TM、ME、EN,NQ、MQ(如图 1
5、) OE 切于点 E,lx轴 OEQ=QFM=90,且 NF=MF 又QF=21=1=EF,四边形 MENQ 是平行四边形,QNME 在 RtQFN 中,QF=1,QN=2,FQN=60 依题意,在四边形 OEQT 中,TOE=60,OTQ=OEQ=90,TQE=120 TQE+NQE =180,T、Q、N 在同一直线上 METN,METN,且TMN=90,又TNM=30,MT=2. 又 QE=QN=2,EQN 为等边三角形,EN=2,EN=MT,四边形 MENT 是等腰梯形. 注:也可证明MTN=ENT=60. 解法二:连结 TM、ME、EN、NQ,并连结 OQ 交直线l于点 P, (如图
6、2)易证OQE=60. 在 RtQPF 中,QF=1,QP=2,点 P 在O 上,点 P 与点 M 重合,即 O、M、Q 在同一直线上,易证QME 和QTM 都是等边三角形,TQM=QME=60,TQME. 同解法一易证QEN 是等边三角形,MT=NE=2,且TQM+MQE+EQN =180. T、Q、N 在同一直线上,METN,METN,四边形 MENT 是等腰梯形. (2)解法三:连结 TM、ME、EN、NQ,并连 OM、OQ,过 M 作 MHx轴于点 H(如图 3) 易证:EOQ=30,TQO=EQNO=60,OE=32,又MH=FE=1,在 RtQFN 中,FN=3=MF=HE,OH=
7、233=3. 在 RtOMH 中,tanHOM= 3 3 3 1 OH MH ,HOM=30,点 O、M、Q 在同一 直线上. 同解法二证 METN 及 TM=NE(略). (2)解法一:a的值不变,理由如下:如图,DE 与 MN 交于点 F,连结 MD、ME, DE 是O 的直径,DME=90,又MFD=90,MDE=EMN,tan MDE=tanEMN , FM EF FD FM ,即FEFDFM 2 (1) (注:本式 也可由MDFEMF 得到) 在平移过程中,图形的形状及特征保持不变,抛物线cbxaxy 2 的图象可通过 kaxy 2 的图象平移得到. 可以将问题转化为:点 D 在y轴
8、上,点 M、N 在x轴上进行探索(如图 4) 由图形的对称性可得点 D 为抛物线顶点,依题意,得,设 D(0,k) (012 rk) ,M ( 1 x,0) ,N( 2 x,0) ( 1 x 2 x) ,则经过 M、D、N 三点的抛物线为kaxy 2 (0a) 当0y时, 1 x、 2 x为0 2 kax的两根,解得 a k x 2, 1 ,MF=NF= a k ,代 入(1)式得1 2 k a k ,k a k ,又0k,1a,故a的值不变. 解法二:a的值不变,理由如下: 同解法一有:FDFEMF 2 (1) 如图 5,由图形的对称性可得点 D 为抛物线的顶点,设12, 0.,rkhkhD
9、,则 0 2 akhxay 同解法一,当1y时,1 2 khxa,解得 a k hx a k hx 1 , 1 21 a k a k h a k hMN 1 2 11 MF=NF= 2 1 MN= a k1 , 代入 (1) 式得11 1 2 k a k , 1 1 k a k , 又1k, 1a,故a的值不变. 2. (2011 广东珠海,22,9 分) (本题满分 9 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC, ABBC,AD=AB=1,BC=2. 将点 A 折叠到 CD 边上,记折叠后 A 点对应的点为 P(P 与 D 点不重合) ,折痕 EF 只与边 AD、BC 相交,交点分别为
10、E、F.过 P 作 PNBC 交 AB 于 N、交 EF 于 M,连结 PA、PE、AM、 ,EF 与 PA 相交于 O. 第22题 F N E M O B A D C P (1)指出四边形 PEAM 的形状(不需证明) ; (2)记EPM=,AOM、AMN 的面积分别为 S1、S2. 求证: 2 tan 1 S = 8 1 PA2; 设 AN=x,y= 2 tan 21 SS ,试求出以x为自变量的函数y的解析式,并确定y的取值 范围. 【答案】 (1)四边形 PEAM 为菱形. G K (2)证明:四边形 PEAM 为菱形.MNP= 2 1 ,S1= 2 1 OAOM. 在 RtAOM 中
11、,tan 2 = OA OM , 2 tan 1 S = OA OM OMOA 2 1 = 2 1 OA2 = 2 1 ( 2 1 PA) 2= 8 1 PA2 过点 D 作 DHBC 于 H,DKPN,BH=AB=AD=DH=1,DK=AN=x. CH=BCBH=21=1,CH=DH.NPD=BCD=45,PK=DK=x.PN=X+1. 在 RtANP 中,AP2=AN2+PN2=x2+(x+1) 2=2x2+2x+1.过 E 作 EGPM 于 G,设EGM 的面积为 S.EGMAOM, 1 S S = 2 AO EG = 2 2 4 1 AP x = 2 2 4 AP x . S= 2 2
12、 4 AP x S1. 四边形 ANGE 的面积等于菱形 AMPE 的面积,2S1=S2+S. S1S2=S-S1= 2 2 4 AP x S1-S1=( 2 2 4 AP x -1)S1. y= 2 tan 21 SS =( 2 2 4 AP x -1) 2 tan 1 S =( 2 2 4 AP x -1) 8 1 AP 2= 8 1 (4x 2-AP2)= 8 1 (4x 22x22x1). y= 4 1 x 2 4 1 x 8 1 . 当点 E 和点 D 重合时,则菱形的边长为 1,x= 2 2 ,根据题意得,0x 2 2 ,当 x=0 时, y= 8 1 ;当 x= 2 2 时,y=
13、 8 2 . 又y= 4 1 x 2 4 1 x 8 1 = 4 1 (x 2 1 ) 2 16 3 y最小值= 16 3 , 16 3 y 8 1 3. (2011 贵州毕节, 27, 15 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线)0( 2 acbxaxy 的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴。 (1) 求该抛物线的解析式。(3 分) (2) 若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为 6,求此 直线的解析式。(4 分) (3) 点P在抛物线的对称轴上,P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标。(8 分) 【
14、答案】 (1)抛物线)0( 2 acbxaxy的图象经过 M(1,0)和 N(3,0)两点 可设抛物线的解析式为(1)(3)ya xa 与y轴交于D(0,3) 把D点坐标代入(1)(3)ya xa 得a=1 2 43yxx (2)设 AB 所在直线的解析式为:ykxb,抛物线的对称轴与x轴的 交点为E,则AE=3 当点 B 在x轴的上面,如图: 抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为 6 BE=4 B(2,4) 42 0 kb kb 4 3 4 3 k b 44 33 yx 0 A M N D y x l 当点 B 在x轴的下面,如图: 抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为 6 BE=4 B
15、(2,-4) 42 0 kb kb 4 3 4 3 k b 44 33 yx (3)过点P作PFAB于点F,设半经PE=PF=r 当点 B 在x轴的上面 如图 1 BB BEABFP90 BPFBAE PBAB PFAE 即: 45 3 r r 3 2 r 0 A M N D y x l B E 0 A M N D y x l B E 点P的坐标为(2, 3 2 ) 如图 2 BB BEABFP90 BPFBAE PBAB PFAE 即: 45 3 r r 6r 点P的坐标为(2,-6) 0 A M N D y x l B E P F 图 1 当点 B 在x轴的下面,同理可得点P的坐标为(2,
16、 3 2 )和(2, 6) 综上所述,点P的坐标为(2, 3 2 ) 、 (2, 3 2 ) 、 (2,-6) 、 (2,6) 4. (2011 海南省,24,14 分)如图 11,已知抛物线 22 9bbxxy(b为常数)经过 坐标原点O,且与x轴交于另一点E,其顶点M在第一象限 (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)设点A是该抛物线上位于x轴上方,且在其对称轴左侧的一个动点;过点A作x轴的 平行线交该抛物线于另一点D,再作ABx轴于点B,DCx轴于点C 当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时,求矩形ABCD的周长; 求矩形ABCD的周长的最大值,并写出此时点A的坐标; 当矩形ABC
17、D的周长取得最大值时,它的面积是否也同时取得最大值?请判断并说明理 由 0 A M N D y x l B E F P 【答案】解: (1)抛物线过原点,所以 9b2=0 解得b=3,对称轴在 y 轴右侧,a,b异号 a=10,b=3 抛物线解析式为xxy3 2 (2)抛物线顶点M( 2 3 , 4 9 ) 要使AB为整数,AB=1 或AB=2 当AB=1 时,BC为无理数,故AB=2 把y=2 代入xxy3 2 解得x1=1,x2=2 BC=21=1 l矩形ABCD=2+1+2+1=6 设A(x0, 0 2 0 3xx) ,矩形ABCD周长为l,则C( 0 3x,0) )3(2)3(2 00
18、0 2 0 xxxxl =622 0 2 0 xx = 2 13 ) 2 1 (2 2 0 x 所以当 2 1 0 x时,l最大= 2 13 此时 4 5 3 0 2 0 xx 所以A( 2 1 , 4 5 ) 设矩形ABCD的面积为S S=)23)(3( 00 2 0 xxx=)23)(3( 000 xxx 当 2 1 0 x,S= 2 5 ; 而当6 . 0 0 x时,S=2.592 2 5 所以当矩形ABCD的周长取得最大值时,它的面积不是最大值 5. (2011 湖北随州,24,14 分) 如图所示, 过点F (0, 1) 的直线 y=kxb 与抛物线 2 1 4 yx 交于 M(x1
19、,y1)和 N(x2,y2)两点(其中 x10,x20) 求 b 的值 求 x1x2的值 分别过 M、N 作直线 l:y=1 的垂线,垂足分别是 M1、N1,判断M1FN1的形状, 并证明你的结论 对于过点 F 的任意直线 MN,是否存在一条定直线 m,使 m 与以 MN 为直径的圆相 切如果有,请法度出这条直线 m 的解析式;如果没有,请说明理由 【答案】解:b=1 显 然 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 是 方 程 组 2 1 1 4 yk x yx 的 两 组 解 , 解 方 程 组 消 元 得 2 1 10 4 xkx ,依据“根与系数关系”得 12 x x=4 F F M
20、M N N N N1 1 MM1 1 F F1 1 O O y y x x l l 第 24 题解答用图 P P Q Q F F MM N N N N1 1 MM1 1 F F1 1 O O y y x x l l 第 24 题 M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下: 由题知 M1的横坐标为 x1,N1的横坐标为 x2,设 M1N1交 y 轴于 F1,则 F1M1F1N1=x1 x2=4,而 FF1=2,所以 F1M1F1N1=F1F2,另有M1F1F=FF1N1=90,易证 RtM1FF1 RtN1FF1,得M1FF1=FN1F1,故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1 F1
21、FN1=90,所以M1FN1是直角三角形 存在,该直线为 y=1理由如下: 直线 y=1 即为直线 M1N1 如图,设 N 点横坐标为 m,则 N 点纵坐标为 2 1 4 m,计算知 NN1= 2 1 1 4 m , NF= 222 1 (1) 4 mm 2 1 1 4 m ,得 NN1=NF 同理 MM1=MF 那么 MN=MM1NN1, 作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ, 由中位线性质知 PQ= 1 2(MM 1NN1) = 1 2 MN,即圆心到直线 y=1 的距离等于圆的半径,所以 y=1 总与该圆相切 6. (2011 辽宁大连,24,11 分)如图 12,在平面直角坐标系中,点
22、A、B、C的坐标分别 为(0,2) 、 (1,0) 、 (4,0) P是线段OC上的一动点(点P与点O、C不重合) ,过 点P的直线xt与AC相交于点Q 设四边形ABPQ关于直线xt的对称的图形与QPC 重叠部分的面积为S (1)点B关于直线xt的对称点B的坐标为_; (2)求S与t的函数关系式 【答案】 (1)设B的坐标为(m,0) 点B与 B关于直线xt 1ttm 12 tm B的坐标为(2t1,0) (2)当5 . 10 t时, AC:2 2 1 xy AB:242txy 242 2 2 1 txy xy 解得 2 3 4 3 8 ty tx D(t 3 4 ,2 3 4 t) 过点 D
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