中考数学专题训练4.代数与几何综合题.DOCX

1、 代数与几何综合题 类型一 动点型探究题 1. 如图，已知 Rt ABC 中，C90 ，AC8 cm，BC6 cm，点 P 由 B 出 发沿 BA 方向向点 A匀速运动， 同时点 Q由 A 出发沿 AC 方向向点 C匀速运动， 它们的速度均为 2 cm/s.以 AQ、PQ 为边作四边形 AQPD，连接 DQ，交 AB 于 点 E.设运动的时间为 t(单位：s)(0t4)，解答下列问题： (1)用含有 t 的代数式表示 AE_； (2)如图，当 t 为何值时，四边形 AQPD 为菱形； (3)求运动过程中，四边形 AQPD 的面积的最大值 第 1 题图 解：解：(1)5t； 【解法提示】在 Rt

2、 ABC 中，C90 ，AC8 cm，BC6 cm，由勾股 定理得： AB10 cm， 点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动， 速度为2 cm/s， BP2t cm，APABBP102t，四边形 AQPD 为平行四边形，AE 1 2AP5t. (2)如解图，当四边形 AQPD 是菱形时，DQAP，则 cosBACAE AQ AC AB， 即5t 2t 8 10，解得 t 25 13， 当 t25 13时，四边形 AQPD 是菱形； (3)如解图，作 PMAC 于 M，设平行四边形 AQPD 的面积为 S. PMBC， APMABC， AP AB PM BC，即 102t 10 PM 6 ， P

3、M6 5(5t)， SAQ PM2t 6 5(5t) 12 5 t212t=15 2 5 5 12 2 t(0t4)， 12 5 0，当 t5 2时，S 有最大值，最大值为 15 cm 2. 第 1 题解图 2. 已知，在 Rt ABC 中，ACB90 ，BCAC，AB6，D 是 AB 的中点， 动点E从点D出发， 在AB边上向左或右运动， 以CE为边向左侧作正方形CEFG， 直线 BG，FE 相交于点 N(点 E 向左运动时如图，点 E 向右运动时如图) (1)在点 E 的运动过程中，直线 BG 与 CD 的位置关系为_； (2)设 DEx，NBy，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出

4、y 的最大值； (3)如图，当 DE 的长度为 3时，求BFE 的度数 第 2 题图 解：解：(1)BGCD； 【解法提示】四边形 EFGC 是正方形，CGCE，GCEGFEFEC 90 ，ACBGCE90 ，GCBECA，GCCE，CBCA， CAECBG.又ACB90 ，BCAC，D 是 AB 的中点，CBG CAE45 ，BCD45 ，CBGBCD，BGCD. (2)CBCA，CDAB，ACB90 ， CDBDAD3，CBAA45 ， 易得 CAECBG， CBGA45 ， GBAGBCCBA90 . BENBNE90 ，BENCED90 ， BNECED， EBNCDE90 ， NBE

5、EDC， BN ED BE CD， y x 3x 3 ， y 3 1 (x3 2) 23 4， 3 1 0，x3 2时，y 的最大值为 3 4； (3)如解图，作 FHAB 于点 H.CBCA，BDCD，BCA90 ， CDAB，CDBDAD3， tanDCEDE CD 3 3 ， DCE30 ， 四边形 EFGC 是正方形， EFEC， CDEEHF90 ，易证DCEHEF， CDEEHF， DCEHEF30 ，FHDE，CDEH， CDBD， BDEH， BHDEFH， BHF 是等腰直角三角形， BFH45 ，EFH90HEF=60 ， BFEBFH+EFH105 . 第 2 题解图 3

6、. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD90 ，AB8 cm，CD10 cm，AD 6 cm，点 E 从点 A 出发，沿 ADC 方向运动，运动速度为 2 cm/s，点 F 同时从点 A 出发，沿 AB 方向运动，运动速度为 1 cm/s.设运动时间为 t(s)， CEF 的面积为 S(cm2) (1)当 0t3 时，t_，EF 10. (2)当 0t3 时(如图)， 求 S 与 t 的函数关系式， 并化为 Sa(th)2k 的形式， 指出当 t 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ (3)当 3t8 时(如图)，求 S 与 t 的函数关系式，并求出当 t 为何值时，S 有最 大值，最大值为

7、多少？ 第 3 题图 解：解：(1) 2； 【解法提示】根据题意知，AFt，AE2t，A90 ，AF2 AE2EF2，即 t2(2t)2( 10)2，解得：t 2(负值舍去) (2)当 0t3 时，如解图，过点 C 作 CPAB，交 AB 延长线于点 P， 第 3 题解图 AD90 ， 四边形 APCD 是矩形， 则 CPAD6 cm， AB8 cm，AD6 cm， BF(8t)cm，DE(62t)cm， 则 SS梯形ABCDS AEFS CBFS CDE 1 2 (810) 6 1 2 t 2t 1 2 (8t) 6 1 2 (62t) 10 t213t (t13 2 )2169 4 ， 即

8、 S(t13 2 )2169 4 ， 当 t13 2 时，S 随 t 的增大而增大， 当 t3 时，S 取得最大值，最大值为 30； (3)当 3t8 时，如解图，过点 F 作 FQCD 于点 Q， 第 3 题解图 由AD90 ，知四边形 ADQF 是矩形， FQAD6 cm， ADDE2t，AD6 cm，CD10 cm， CE(162t)cm， 则此时 S1 2 (162t) 6486t， 60， S 随 t 的增大而减小， 当 t3 时，S 取得最大值，最大值为 30cm2 4. 如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，AC8，BC6，CDAB 于点 D.点 P 从点 D 出发，沿线段

9、DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点 都停止设运动时间为 t 秒 (1)求线段 CD 的长； 求证： CBDABC； (2)设 CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)是否存在某一时刻 t，使得 CPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出满足 条件的 t 的值；若不存在，请说明理由 (1)解：解：ACB90 ，AC8，BC6， AB10， CDAB， S ABC1 2BC AC 1 2AB CD， CDBC AC AB 6 8 10 5

10、24 ， 线段 CD 的长为 5 24 ； 证明：证明：BB，CDBBCA90 ， CBDABC； (2)解：如解图，过点 P 作 PHAC，垂足为 H， 由题可知 DPt，CQt， 则 CP 5 24 t， ACBCDB90 ， HCP90 DCBB， PHAC， CHP90 ， CHPACB， CHPBCA， PH AC PC BA， PH 8 10 5 24 t ， PH96 25 4 5t， S1 2CQ PH 1 2t( 96 25 4 5t) 2 5(t 12 5 )2288 125， 5 2 0， 当 t12 5 时，S最大288 125； (3)存在，t12 5 或14.4 5

11、5 或24 11. 【解法提示】若 CQCP，如解图，则 t 5 24 t.解得：t12 5 ；若 PQ PC ， 如 解 图 所 示 PQ PC ， PHQC ， QH CH 1 2 QC t 2.CHPBCA. CH BC CP AB. t 2 6 10 5 24 t ，解得 t144 55 ；若 QCQP，如 解图，过点 Q 作 QECP，垂足为 E，同理可得：t24 11.综上所述：当 t 为 5 24 秒或144 55 秒或24 11秒时， CPQ 为等腰三角形 第 4 题解图 5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm.如果点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C

12、 匀速运动，同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动， 它们 的速度分别为 2cm/s 和 1cm/s.FQBC，分别交 AC、BC 于点 P 和 Q，设运动时 间为 t(s)(0t4) (1)连接 EF、DQ，若四边形 EQDF 为平行四边形，求 t 的值； (2)连接 EP，设 EPC 的面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式，并求 y 的最大 值； (3)若 EPQ 与 ADC 相似，请直接写出 t 的值 解：解：(1)在矩形 ABCD 中，AB6 cm，BC8 cm， CDAB6 cm， ADBC8 cm， BADADCDCBB90 ， 在 RtABC 中，由

13、勾股定理得：AC10， FQBC， FQC90 ， 四边形 CDFQ 是矩形， DFQC，FQDC6 cm， 由题意知，BE2t，QCDFt， EQBCBEQC83t， 四边形 EQDF 为平行四边形， FDEQ， 即 t83t， 解得 t2； (2)FQC90 ，B90 ， FQCB， PQAB， CPQCAB， PQ AB QC BC， 即PQ 6 t 8， PQ3 4t， S EPC1 2EC PQ， y1 2 (82t) 3 4t 3 4t 23t3 4(t2) 23， 即 y3 4(t2) 23， a3 40， 当 t2 时，y 有最大值，y 的最大值为 3； (3)t 的值为 2

14、或128 57 或128 39 . 【解法提示】分两种情况讨论：若 E 在 FQ 左边，当 EPQACD 时，可 得：PQ CD EQ AD，即 3 4t 6 83t 8 ，解得 t2；当 EPQCAD 时，可得：PQ AD EQ CD，即 3 4t 8 83t 6 ，解得 t128 57 .若 E 在 FQ 右边，当 EPQACD 时，可 得： PQ CD EQ AD，即 3 4t 6 3t8 8 ，解得 t4(舍去)；当 EPQCAD 时，可得： PQ AD EQ CD，即 3 4t 8 3t8 6 ，解得 t128 39 .综上所述，若 EPQ 与 ADC 相似，则 t 的值为：2 或1

15、28 57 或128 39 . 类型二 动线型探究题 6. 如图，在 ABC 中，C90 ，A60 ，AC2 cm.长为 1 cm 的线段 MN 在 ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 cm/s 的速度向点 B 运动(运动前点 M 与点 A 重合)过 M，N 分别作 AB 的垂线交直角边于 P，Q 两点，线段 MN 运动的时 间为 t s. (1)若 AMP 的面积为 y，写出 y 与 t 的函数关系式(写出自变量 t 的取值范围)， 并求出 y 的最大值； (2)在线段 MN 运动过程中， 四边形 MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能， 求出 此时 t 的值；若不可能，说明理由； (

16、3)t 为何值时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？ 第 6 题图 解：解：(1)当点 P 在 AC 上时， AMt，PMAM tan60 3t， y1 2t 3t 3 2 t2(0t1)， 当 t1 时，y最大 3 2 ； 当点 P 在 BC 上时，PMBM tan 30 3 3 (4t)， y1 2t 3 3 (4t) 3 6 t22 3 3 t 3 6 (t2)22 3 3 (1t3)， 当 t2 s 时，y最大2 3 3 ， 综上所述， y 3 2 t2，0t1 3 6 t22 3 3 t，1t3 ， 当 t2 s 时，y最大2 3 3 ； (2)AC2，AB4，BNAB

17、AMMN4t13t. QNBN tan 30 3 3 (3t)， 由题知，若要四边形 MNQP 为矩形，需 PMQN，且 P，Q 分别在 AC， BC 上， 即 3t 3 3 (3t)，t3 4， 当 t3 4s 时，四边形 MNQP 为矩形 (3)由(2)知，当 t3 4 s 时， 四边形 MNQP 为矩形，此时 PQAB， PQCABC， 除此之外，当CPQB30 时， QPCABC，此时CQ CPtan 30 3 3 ， AM APcos 60 1 2，AP2AM2t， CP22t， BN BQcos 30 3 2 ，BQBN 3 2 2 3 3 (3t)， 又 BC2 3，CQ2 32

18、 3 3 (3t)2 3t 3 ， 2 3t 3 22t 3 3 ，解得 t1 2， 当 t1 2s 或 3 4s 时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与 ABC 相似 7. 如图，在 ABC 中，ABAC 5 cm，BC6 cm，AD 是 BC 边上的高点 P 由 C 出发沿 CA 方向匀速运动速 度为1 cm/s.同时， 直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动， 速度为1 cm/s， EF/BC， 并且 EF 分别交 AB、AD、AC 于点 E，Q，F，连接 PQ.若设运动时间为 t(s)(0 t4)，解答下列问题： (1)当 t 为何值时，四边形 BDFE 是平行四边形？ (2)设四边形 Q

19、DCP 的面积为 y(cm2)，求出 y 与 t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上？若存在，求出此 时点 F 到直线 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由 第 7 题图 解：解：(1)如解图，连接 DF， 第 7 题解图 ABAC5，BC6，ADBC，BDCD3， 在 Rt ABD 中 AD 52324， EF/BC， AEFABC， EF BC AQ AD， EF 6 4t 4 ，EF3 2(4t)， EF/BD， 当 EFBD 时，四边形 EFDB 是平行四边形， 3 2(4t)3， t2， 当 t2s 时，四边形 EFDB 是平行四

20、边形； (2)如解图，作 PNAD 于 N， 第 7 题解图 PN/DC， PN DC AP AC， PN 3 5t 5 ， PN3 5(5t)， y1 2DC AD 1 2AQ PN 61 2(4t) 3 5(5t) 6( 3 10t 227 10t6) 3 10t 227 10t(0t4)； (3)存在理由如下： 如解图，作 QNAC 于 N，作 FHPQ 于 H. 第 7 题解图 当 QN 为 AP 的垂直平分线时 QAQP，QNAP， ANNP1 2AP 1 2(5t)， 由题意 cosCADAD AC AN AQ， 1 2（5t） 4t 4 5，t 7 3， 当 t7 3s 时，点

21、Q 在线段 AP 的垂直平分线上 sinFPHFH PFsinCAD 3 5，PA5 7 3 8 3，AFAQ 4 5 25 12， PF 7 12，FH 7 20. 点 F 到直线 PQ 的距离 h 7 20(cm) 类型三 动图型探究题 8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，AD6cm，BD8cm，DBC 90 ，现将 AEF 沿 BD 的方向匀速平移，速度为 2cm/s，同时，点 G 从点 D 出发，沿 DC 的方向匀速移动，速度为 2cm/s.当 AEF 停止移动时，点 G 也停 止运动， 连接 AD， AG， EG， 过点 E 作 EHCD 于点 H， 如图所示， 设

22、AEF 的移动时间为 t(s)(0t4) (1)当 t1 时，求 EH 的长度； (2)若 EGAG，求证：EG2AE HG； (3)设 AGD 的面积为 y(cm2)，当 t 为何值时，y 可取得最大值，并求 y 的最大 值 第 8 题图 解：解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，又DBC90 ， ADB90 ， 又 AD6cm，BD8cm， 由勾股定理得，AB AD2BD210cm， 当 t1 时，EB2cm， 则 DE826cm， EHCD，DBC90 ， DEHDCB， DE DC EH BC，即 6 10 EH 6 ， 解得 EH3.6cm； (2)CDBAEF， A

23、ECD， AEGEGH，又 EGAG，EHCD， AGEEHG， EG HG AE EG， EG2AE HG； (3)由(1)得， DEHDCB， DE CD EH BC，即 82t 10 EH 6 ， 解得，EH246t 5 ， y1 2 DG EH 6t224t 5 6 5t 224 5 t6 5(t2) 224 5 ， 当 t2 时，y 的最大值为24 5 . 9. 把 Rt ABC 和 Rt DEF 按如图摆放(点 C 与点 E 重合)，点 B、C(E)、F 在同一条直线上已知：ACBEDF90 ，DEF45 ，AC8cm，BC 6cm，EF10 cm.如图， DEF 从图的位置出发，

24、以 1cm/s 的速度沿 CB 向 ABC 匀速移动，在 DEF 移动的同时，点 P 从 ABC 的顶点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动， DEF 也随之停止移动DE 与 AC 交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t(s) (1)用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围； (2)连接 PE，设四边形 APEQ 的面积为 y(cm2)，试求出 y 的最大值； (3)当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形 第 9 题图 解：解：(1)AP2t， EDF90 ，DEF45 ， CQE45

25、DEF，CQCEt， AQ8t， t 的取值范围是：0t5； (2)如解图，过点 P 作 PGx 轴于 G，可求得 AB10，sinB4 5，PB10 2t，EB6t， PGPBsinB4 5(102t)， yS ABCS PBES QCE 1 2 6 8 1 2(6t) 4 5(102t) 1 2t 2 13 10t 244 5 t13 10(t 44 13) 2968 65 ， 当 t44 13(s)(在 0t5 内)，y 有最大值，y 最大值968 65 (cm2)； 第 9 题解图 (3)若 APAQ，则有 2t8t 解得：t8 3(s)， 若 APPQ， 如解图： 过点 P 作 PH

26、AC， 则 AHQH8t 2 ， PHBC， APHABC，AP AH AB AC，即 2t 8t 2 10 8 ，解得：t40 21(s)， 若 AQPQ，如解图：过点 Q 作 QIAB，则 AIPI1 2APt， AIQACB90 AA，AQIABC AI AQ AC AB即 t 8t 8 10， 解得：t32 9 (s)， 综上所述，当 t8 3(s)或 40 21(s)或 32 9 (s)时， APQ 是等腰三角形 10. 如图，把两个全等的三角板 ABC、EFG 叠放在一起，使三角板 EFG 的直 角边 FG 经过三角板 ABC 的直角顶点 C，垂直 AB 于 G，其中BF30 ，

27、斜边 AB 和 EF 均为 4.现将三角板 EFG 由图所示的位置绕 G 点沿逆时针方向 旋转 (0 90 )，如图，EG 交 AC 于点 K，GF 交 BC 于点 H.在旋转过程 中，请你解决以下问题： (1)连接 CG，求证： CGHAGK； (2)连接 HK，求证：KHEF； (3)设 AKx， CKH 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y 的最大 值 第 10 题图 (1)证明：证明：在 Rt ABC 中，CGAB，B30 ， GCHGAK60 ， 又CGHAGK， CGHAGK； (2)证明：证明：由(1)得 CGHAGK， GH GK CG AG. 在 Rt ACG 中，tanCAGCG AG 3， GH GK 3. 在 Rt KHG 中，tanGKHGH GK 3， GKH60 . 在 Rt EFG 中，F30 ， E60 ， GKHE， KHEF； (3)解：解：由(1)得 CGHAGK， CH AK CG AG. 由(2)知CG AG 3， CH AK 3. CH 3AK 3x， 在 Rt ABC 中，B30 ， AC1 2AB2， CKACAK2x， y1 2CK CH 1 2(2x) 3x 3 2 x2 3x， 又 y 3 2 x2 3x 3 2 (x1)2 3 2 ，(0x2) 当 x1 时，y 有最大值为 3 2 .