用定义证明数列极限存在的步骤课件.ppt

1、1 德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所谓谓“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”时间时间记忆水平记忆水平及时复习的遗忘曲线及时复习的遗忘曲线不能及时复习的遗忘曲线不能及时复习的遗忘曲线2 数列极限定义数列极限定义 极限的唯一性（定理极限的唯一性（定理1）收敛数列的有界性（定理收敛数列的有界性（定理2）收敛数列的保号性收敛数列的保号性 收敛

2、数列与其子数列的关系（定理收敛数列与其子数列的关系（定理3）31.数列的有界性和单调性：数列的有界性和单调性：例如：数列例如：数列是是有有界界的的，,3,2,1 1nnnxn。成立成立恒有恒有对对取取 1,1 nxNnM,0Mnx无界。无界。,0n总能找到总能找到 .0Mxn使得使得 是是有有界界的的；则则称称数数列列nx:nx若对数列若对数列 3,2,10，使使得得：nM x Mn是无界的。是无界的。否则称数列否则称数列nx(1)(1)有界性有界性:是是无无界界的的，数数列列,3,2,12)1(nxnnn ,0 M,M，只要只要Mn2log无无界界。nx ,1log 20Mn取取故故 ,0M

3、xn就就有有nnnnx22)1(要使要使4的的。单单调调减减少少是是则则称称数数列列nx。单单调调数数列列的的数数列列统统称称为为单单调调增增加加的的或或单单调调减减少少的的；单单调调增增加加是是则则称称数数列列nx,1321nnnxxxxxx满足：满足：若数列若数列,1321nnnxxxxxx满满足足：若若数数列列(2)(2)单调性单调性:5,limaxnn.naxn或或记记作作的的。发发散散就就说说数数列列是是如如果果数数列列没没有有极极限限,定义：定义：N.limaxnn则则,0,0 axNnNn恒恒有有当当定义：定义：,N总总存存在在正正整整数数不不论论它它多多么么小小对对于于任任意意

4、给给定定的的正正数数,nxNn时时的的一一切切使使得得对对于于,的的极极限限是是数数列列则则称称常常数数nxa,axn于于收收敛敛或或者者称称数数列列,都都成成立立不不等等式式：axn2.数列极限的定义数列极限的定义 引例引例 割圆术割圆术,.1,.31,21,1n6正确理解数列极限正确理解数列极限 定义：定义：N 0 的任意给定性。的任意给定性。是任意给定的正数，它是任意的，是任意给定的正数，它是任意的，但一经给出，又可视为固定的，以便依但一经给出，又可视为固定的，以便依 来求出来求出,N由于由于 0 的任意性，所以定义中的不等式的任意性，所以定义中的不等式 axn可以改为可以改为;0(为常

5、数）kkaxn;2 axn,1Maxn（M为任意正整数）；为任意正整数）；axn等等。等等。N的相应存在性。的相应存在性。N依赖于依赖于 ，通常记作，通常记作 ),(N但但N并不是并不是唯一的，唯一的，)(N只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数 关系，这里关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。的存在性是重要的，一般不计较其大小。定义中定义中“当当 Nn时有时有 axn”是指下标大于是指下标大于N的无穷多项的无穷多项 nx都落在数都落在数 a的的 邻域内，即邻域内，即 .,aaxNnn也就是说也就是说 在邻域在邻域 aa,以外的只有数列的

6、有限项，因此以外的只有数列的有限项，因此改变或增减改变或增减 数列的有限项不影响数列的收敛性。数列的有限项不影响数列的收敛性。7数数列列极极限限的的几几何何解解释释：.1x2x3xx 2 1Nxa a a2Nx3Nx,0NnN当当 axn以以后后的的所所有有项项：即即 N,321nNNNxxxx而而只只有有有有限限项项)项项（至至多多只只有有 N axan,内内都都落落在在邻邻域域 aa落在这个邻域以外。落在这个邻域以外。8（极限的唯一性）（极限的唯一性）.,lim,唯唯一一则则极极限限值值且且是是收收敛敛数数列列设设aaxxnnn3.有关数列收敛的性质有关数列收敛的性质 证证.,lim,li

7、mbabxaxnnnn且且假假设设,max21NNN 取取 式式同同时时成成立立：式式及及则则当当21,Nn ,21baxn：由由,22baxn：由由命题命题得证得证。,limaxnn由由,2ab 取取 1 2abaxn就就有有时时当当存存在在,11NnN,limbxnn由由 2 2abbxn就就有有时时当当存存在在对对上上述述,22NnN 用反证法用反证法9 （收敛数列的有界性）（收敛数列的有界性）.,一一定定有有界界那那末末数数列列收收敛敛如如果果数数列列nnxx证证，存存在在正正整整数数根根据据定定义义：对对N,1 成立。成立。就有就有当当1 ,axNnn,时时当当Nn nxaaxnaa

8、xn.1a,1,max21axxxMN取取.nMxn都都有有.有有界界nx无界数列必发散无界数列必发散.有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛.如数列：如数列：,)1(,1,1,1,11n,limaxnn设设10,1nnxx第第一一次次抽抽取取中中在在数数列列,21nnxx后后抽抽取取第第二二次次在在,32nnxx后后抽抽取取第第三三次次在在得得到到：这这样样无无休休止止地地抽抽取取下下去去,21knnnxxx.的的一一个个子子数数列列就就是是数数列列数数列列nnxxk.,项项中中是是第第在在原原数数列列项项是是第第在在knnnnnxxkxxkkk.knk显然显然,中中的的先先后后次次序序nx,

9、中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项在在数数列列nx并并保保持持这这些些项项在在原原数数列列.子子数数列列的的数数列列这这样样得得到到的的数数列列称称为为原原nx11收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系:.的的任任一一子子数数列列是是设设nnxxk,limaxnn.,0成立成立就有就有时时当当 axNnNn,NK 取取,时时则则当当Kk knk NK ,K 对对上上面面的的恒恒有有时时当当,Kk,axkn.limaxknk.a并并且且极极限限也也是是,收收敛敛那那末末它它的的任任一一子子数数列列也也收收敛敛于于如如果果数数列列axn证证:.,那那么么该该数数列列就就发发散散同同的的

10、极极限限值值有有两两个个子子数数列列收收敛敛于于不不如如果果数数列列nx 其逆反定理用于其逆反定理用于 证明数列的发散证明数列的发散12问题：问题：0lim,0limnnnnnnbaba问是否一定有是任意数列，1.若若2对于某一正数对于某一正数 如果存在正整数如果存在正整数N 使得当使得当n N时时 有有|a|是否有是否有 a(n)00nxnx3如果数列如果数列 收敛收敛 那么数列那么数列 一定有界一定有界 发散的数列是否一定无界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛有界的数列是否收敛?nx nx4 数列的子数列如果发散数列的子数列如果发散 原数列是否发散原数列是否发散?数列的两个子数列收

11、敛数列的两个子数列收敛 但其极限不同但其极限不同 原数列的原数列的收敛性如何收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？发散的数列的子数列都发散吗？5 如何判断数列如何判断数列 1 1 1 1 是发散的？是发散的？11N13例例1 1 用定义（用定义（）证明）证明 N.0!limnnnn,0 nnnnnnnnnn21!0!只须：只须：,112111 nnnnnnnnnn即即 .1 n取取 ,1 N则当则当 Nn时，有时，有 .0!nnn所以所以 .0!limnnnn寻找正整数寻找正整数N的方法的方法 ,0 要使要使 axn经一系列经一系列放大放大 ;nfaxn解不等式解不等式 ,nf得得 ;gn取

12、取 ,gN 当当 Nn时，有时，有 .axn要使要使设设，构造，构造，放大，放大14.02lim nnn证证nnnn1121211！nnnn21nnn12n,12 即可即可因此只要因此只要 n 21 n即即,211 N取取,2max1NN 再取再取.02,恒恒成成立立就就有有时时则则当当 nnNn02limnnn,2时时显显然然当当n nnnn202 ,0 要要使使例例2 2（记录）记录）用定义证明用定义证明 这样的限制对数列极限的这样的限制对数列极限的存在是否有影响？存在是否有影响？由于改变数列由于改变数列 的有限项对数的有限项对数 列的极限没有列的极限没有 影响，所以在影响，所以在 选择不

13、等式放选择不等式放 大时，可以对大时，可以对 n值做一些限定。值做一些限定。15.,1,1,1,1 1是是发发散散的的数数列列证证明明n证证,2kx数数列列再再取取所所有有偶偶数数项项组组成成子子,1lim 12kkx显然显然,1lim 2kkx但但极极限限值值不不相相等等收收敛敛的的两两个个子子数数列列虽虽然然分分别别,nx的的逆逆否否命命题题知知：由由定定理理3.,1,1,1,1 1是发散的是发散的数列数列n 发散数列也可能有收敛的子数列发散数列也可能有收敛的子数列 ,12 kx组组成成子子数数列列从从数数列列中中取取所所有有奇奇数数项项例例3 证明数列发散时，可采用下列两种方法：证明数列

14、发散时，可采用下列两种方法：找两个极限不相等的子数列；找两个极限不相等的子数列；找一个发散的子数列。找一个发散的子数列。16例例4 证明数列证明数列 设设 ,2sin11 nnan na极限不存在。极限不存在。证证 设设 .Zk当当 kn4时，时，,024sin4114 kkak即即 ;0lim4kka当当 14 kn时，时，141122sin1411214sin141114 kkkkkak 即即 .1lim14kka na极限不存在。极限不存在。所以所以（记录）（记录）17例例5（06年考研题年考研题 数学三）数学三）解：解：nnnnnnn)1()1()11()1(limlim =1nnnn)1()1(lim 求求例例6（记录）（记录）已知已知11111 nx求求nnxlim 解：解：0,1212 kkxx（k=1,2,3,)时时极极限限不不存存在在。当当 nxn18nxn .3211.321121117设设例例求求nnxlim 解：解：111)1(12)1(.321 nnnnnnn而而从而从而)1(2.4323221 nnxn2)111.41313121(1 nn122 n记录记录