几何五大模型教师版.doc

1、几何五大模型几何五大模型 一、五大模型简介一、五大模型简介 （1 1）等积变换模型）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，S1： S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示， S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SACD=SBCD；反 之，如果 SACD=SBCD， 则可知直线 AB 平行于 CD。 例、如图，三角形例、如图，三角形 ABCABC 的面积是的面积是 2424，D D、E E、F F 分别是分别是 BCBC、ACAC、ADAD 的中的中 点，求三角形点，求三角形

2、DEFDEF 的面积。的面积。 （2 2）鸟头（共角）定理模型）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三 角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹 边的乘积之比。 如图下图三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上或 AB、AC 延长线 上的点 则有：SABC：SADE=（ABAC）：（ADAE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接 BE，根据等积变化模型知， SADE：SABE=AD： AB、 SABE：SCBE=AE： CE，所以 SABE：SABC=SABE：（SABE+SCBE）=AE：AC ，因此

3、 SADE：SABC=（SADE：SABE）（SABE：SABC）=（AD：AB）（AE： AC）。 例、如图在例、如图在 ABCABC 中，中，D D 在在 BABA 的延长线上，的延长线上，E E 在在 ACAC 上，且上，且 ABAB：AD=5:2AD=5:2， AEAE：EC=3:2EC=3:2， ADEADE 的面积为的面积为 1212 平方厘米，求平方厘米，求 ABCABC 的面积。的面积。 （3 3）蝴蝶模型）蝴蝶模型 1 1、梯形中比例关系、梯形中比例关系(“(“梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理”)”) 例、如图，梯形例、如图，梯形 ABCDABCD，ABAB 与与 CDCD 平行，对

4、角线平行，对角线 ACAC、BDBD 交于点交于点 O O，已知，已知 AOBAOB、BOCBOC 的面积分别为的面积分别为 2525 平方厘米、平方厘米、3535 平方厘米，求梯形平方厘米，求梯形 ABCDABCD 的面积。的面积。 2 2、任意四边形中的比例关系、任意四边形中的比例关系(“(“蝴蝶定理蝴蝶定理”)”)： 例、如图，四边形例、如图，四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线 ACAC、BDBD 交于点交于点 O O，如果三角形，如果三角形 ABDABD 的的 面积等于三角形面积等于三角形 BCDBCD 面积的面积的 1/31/3，且，且 AO=2AO=2、DO=3DO=3，求

5、，求 COCO 的长度是的长度是 DODO 长度的几倍。长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内 的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系。 （4 4）相似模型）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线 和其他两边或两边延长线相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于 相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比

6、等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大 类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线！ 例、如图，已知在平行四边形例、如图，已知在平行四边形 ABCDABCD 中，中，AB=16AB=16、AD=10AD=10、BE=4BE=4，那么，那么 FCFC 的长度是多少？的长度是多少？ （5 5）燕尾模型）燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴， 所以在数学上把这样的 几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质： SABG：SACG=SBGE：SCGE=BE：CE SBGA：SBGC=SGAF：SGCF=AF：CF SAGC：SBGC=SAGD：SBGD

7、=AD：BD 例、如图，例、如图，E E、D D 分别在分别在 ACAC、BCBC 上，且上，且 AEAE：EC=2:3EC=2:3，BDBD：DC=1:2DC=1:2，ADAD 与与 BEBE 交于点交于点 F F，四边形，四边形 DFECDFEC 的面积等于的面积等于 2222 平方厘米，求三角形平方厘米，求三角形 ABCABC 的面积。的面积。 二、五大模型经典例题详二、五大模型经典例题详解解 （1 1）等积变换模型）等积变换模型 例例 1 1、图中的、图中的 E E、F F、G G 分别是正方形分别是正方形 ABCDABCD 三条边的三等分点，如果正三条边的三等分点，如果正 方形的边长

8、是方形的边长是 1212，那么阴影部分的面积是多少？，那么阴影部分的面积是多少？ 例例 2 2、如图所示，、如图所示，Q Q、E E、P P、M M 分别为直角梯形分别为直角梯形 ABCDABCD 两边两边 ABAB、CDCD 上的点，上的点， 且且 DQDQ、CPCP、MEME 彼此平彼此平行，已知行，已知 AD=5AD=5、BC=7BC=7、AE=5AE=5、EB=3EB=3，求阴影部分，求阴影部分 三角形三角形 PQMPQM 的面积。的面积。 （2 2）鸟头（共角）定理模型）鸟头（共角）定理模型 例例 1 1、如图所示，平行四边形、如图所示，平行四边形 ABCDABCD，BE=ABBE=

9、AB、CF=2CBCF=2CB、GD=3DCGD=3DC、HA=4ADHA=4AD， 平行四边形平行四边形 ABCDABCD 的面积为的面积为 2 2，求平行四边形，求平行四边形 ABCDABCD 与四边形与四边形 EFGHEFGH 的面的面 积比。积比。 例例 2 2、 如图所示，、 如图所示， ABCABC 的面积为的面积为 1 1， BC=5BDBC=5BD、 AC=4ECAC=4EC、 DG=GS=SEDG=GS=SE、 AF=FGAF=FG， 求求FGSFGS 的面积。的面积。 （3 3）蝴蝶模型）蝴蝶模型 例例 1 1、如图，正六边形面积为、如图，正六边形面积为 1 1，那么阴影部

10、分面积为多少？，那么阴影部分面积为多少？ 例例 2 2、如图，长方形、如图，长方形 ABCDABCD 被被 CECE、DFDF 分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 3 块的面积分块的面积分 别为别为 2 2、5 5、8 8 平方厘米，求余下的四边形平方厘米，求余下的四边形 OFBCOFBC 的面积。的面积。 例例 3 3、如图，已知正方形、如图，已知正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 1010 厘米，厘米，E E 为为 ADAD 的中点，的中点，F F 为为 CECE 的中点，的中点，G G 为为 BFBF 的中点，求三角形的中点，求三角形 BDGBDG 的面积。的面积。 （4

11、4）相似模型）相似模型 例例 1 1、如图，正方形的面积为、如图，正方形的面积为 1 1，E E、F F 分别为分别为 ABAB、BDBD 的中点，的中点，GC=1/3FC,GC=1/3FC, 求阴影部分的面积。求阴影部分的面积。 例例 2 2、如图，长方形、如图，长方形 ABCDABCD，E E 为为 ADAD 的中点，的中点，AFAF 与与 BDBD、BEBE 分别交于分别交于 G G 和和 H H，OEOE 垂直于垂直于 ADAD，交，交 ADAD 于于 E E 点，交点，交 AFAF 于于 O O 点，已知点，已知 AH=5,HF=3,AH=5,HF=3,求求 AGAG 的长。的长。

12、（5 5）燕尾模型）燕尾模型 例例 1 1、如图，正方形、如图，正方形 ABCABCD D 的面积是的面积是 120120 平方厘米，平方厘米，E E 是是 ABAB 的中点，的中点，F F 是是 BCBC 的中点，求四边形的中点，求四边形 BGHFBGHF 的面积。的面积。 例例 2 2、如图，在、如图，在ABCABC 中，中，BD=2DABD=2DA、CE=2EBCE=2EB、AF=2FCAF=2FC，那么，那么ABCABC 的面的面 积是阴影积是阴影GHIGHI 面积的几倍？面积的几倍？ 例例 3 3、如图，在、如图，在ABCABC 中，点中，点 D D 是是 ACAC 的中点，点的中点，点 E E、F F 是是 BCBC 的三等分点，的三等分点， 若若ABCABC 的面积是的面积是 1 1，求四边形，求四边形 CDMFCDMF 的面积。的面积。