有限体积法课件.pptx
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- 有限 体积 课件
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1、Copyright by Li Xinliang1知识回顾知识回顾1.差分方法的基本概念:差分方法的基本概念:差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理等价定理0 xuatu011xuuatuunjnjnjnj2.精度分析、稳定性分析与分辨率分析(修正波数)精度分析、稳定性分析与分辨率分析(修正波数)Taylor分析分析Fourier分析分析jjikxnneAu jjikxnneAu11nnAAG/1jjikxjikxjexkFeu,xikk修正波数修正波数3.激波捕捉格式激波捕捉格式 GVC,NND,Roe,Godnov,MUSCL
2、,TVD,WENO4.Euler(N-S)方程的通量分裂方程的通量分裂 逐点分裂、特征投影分裂逐点分裂、特征投影分裂(建议使用(建议使用Roe平均)平均)5.隐格式求解的隐格式求解的LU-SGS方法方法要点:要点:a.引入差量,方程线性化引入差量,方程线性化 b.单边差分,隐式代数方程显式(推进)化单边差分,隐式代数方程显式(推进)化0)(xuftu以一维为例,多维可直接推广以一维为例,多维可直接推广012/112/11xfftuunjnjnjnj方法方法1:直接隐式离散:直接隐式离散直接求解非线性方程组,计算量大非线性方程组,计算量大)()()(11nnnnnufxufufxtuu方法方法2
3、nnnnnnnnnuuuufAuAufuf11,)()(差量化线性化线性化nnnnnRHSufxtqAxtq)(已知项线化微分方程线化微分方程nnuqCopyright by Li Xinliang2Copyright by Li Xinliang3求解思路:如果直接离散,得到线性代数方程组,仍需求解,计算量大(多维情况)求解思路:如果直接离散,得到线性代数方程组,仍需求解,计算量大(多维情况)如果能单侧差分如果能单侧差分就好解了!就好解了!njnjnnjnnjRHSxqAqAtqjj21111多对角方程组,不好解多对角方程组,不好解(多维情况)(多维情况)njnjnnjnnjRHSxqAqA
4、tqjj11xtAqARHSqnjnnjnjnjj/),1/()(11nnnnRHSqAxtq中心(双侧)离散如果单如果单侧离散侧离散单侧离散,可推进求解,免受单侧离散,可推进求解,免受解方程组之苦。真简单解方程组之苦。真简单Copyright by Li Xinliang4可是,可是,A有正有负,有正有负,无法单侧差分化无法单侧差分化nnnnRHSqAxtqnnnRHSqAAxtq)(nnjjnjjnjjnjjnjRHSqAqAqAqAq)(1111还是个三对还是个三对角的角的奇思妙想:如果分成奇思妙想:如果分成两个子步,各自用单两个子步,各自用单侧值,就简单多了侧值,就简单多了强行单侧差分
5、会不稳定的强行单侧差分会不稳定的njnjjnjjnjRHSqAqAq1111*)1(*)(21分裂:AAAALF近似近似LU分解分解xt/Step 1:RHS)UL(DQRHS)QU(D)DL(D1近似LU分解RHSUQLD1njnjjnjRHSqAq11*)1(Step 2:QUQDRHSQL1njnjjnjqqAq)1()1(*11*均为递推求解均为递推求解(两次扫描),免受解方程组之苦(两次扫描),免受解方程组之苦j-1-jj+1 j以上描述适用于求解定常问题,求解非定常以上描述适用于求解定常问题,求解非定常问题该过程可用于内迭代。问题该过程可用于内迭代。迭代收敛后迭代收敛后q趋于趋于0
6、,精度由右端项决定精度由右端项决定Copyright by Li Xinliang5 9.1 有限体积法入门有限体积法入门有限体积法主要优势:有限体积法主要优势:处理复杂网格处理复杂网格差分法处理复杂外形差分法处理复杂外形 坐标变换坐标变换),(),(),(zzyyxx321321VVVffftU)(32111fffJfzyx),(),(1zyxJ坐标变换函数坐标变换函数必须足够光滑必须足够光滑 否则损失精度否则损失精度实际问题:实际问题:外形复杂,外形复杂,光滑的结构网格生成困难光滑的结构网格生成困难差分法差分法有限体积法有限体积法优点优点简单、计算量小、易简单、计算量小、易于提高精度于提高
7、精度本身包含几何信息,本身包含几何信息,易处理复杂网格易处理复杂网格不足不足差分离散与几何解耦,差分离散与几何解耦,难以处理复杂网格难以处理复杂网格复杂、不易提高精度复杂、不易提高精度Copyright by Li Xinliang69.1.1 有限体积法有限体积法 的基本概念的基本概念实质:实质:把几何信息包含于离散过程中把几何信息包含于离散过程中虽然简单,但有助于建立基本概念0)(xuftu j-1 j j+1j-1/2 j+1/21.全离散型过程全离散型过程0)(12/12/1 nnjjttxxdxdtxuftu0)()(12/12/12/12/11nnjjttjjxxnndtffdxu
8、u含义:含义:f在在j+1/2点的值点的值(注意与差分法的区别)(注意与差分法的区别)在在控制体上积分控制体上积分原方程原方程2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu定义:定义:空间平均空间平均1)(12/12/1nnttjnjdttftf时间平均时间平均02/12/11xfftuunjnjnjnj精确推导,不含误差精确推导,不含误差提示:提示:为区间内的空间及时为区间内的空间及时间平均值,如果把它间平均值,如果把它们理解为某点的值,们理解为某点的值,会产生误差会产生误差 njunjf2/1Copyright by Li Xinliang70)(xuftu02/12/11xfftuunjn
9、jnjnj积分(精确)积分(精确)2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu 重构(重构(Reconstruction)有限差分法的离散:数值微分过程有限差分法的离散:数值微分过程有限体积法的离散:数值积分过程有限体积法的离散:数值积分过程积分方程积分方程离散化离散化2/12/1)(12/12/1jjttjnjdtxftf 反演(反演(evolution)(xuunnj2/12/1)(1)(2/12/1jjttjnjndtxftfxu(1)重构过程重构过程A.零阶重构,假设分片常数零阶重构,假设分片常数 j-1 2/12/1)(jjjnxxxuxu B.线性重构,假设分片线性函数线性重构,假
10、设分片线性函数零阶重构与一阶重构示意图零阶重构与一阶重构示意图 j j+1)()(jjnjnxxDuxuxuuDnjnjj1xuuDnjnjj1orxuuDnjnjj211or或其他方法或其他方法C.更高阶的重构例如更高阶的重构例如:分片二次函数分片二次函数(PPM),WENO等等重构是有限体积的重构是有限体积的空间离散化空间离散化过程,有多种方法过程,有多种方法Copyright by Li Xinliang8(2)演化过程演化过程 (以线性方程为例)(以线性方程为例)1)(12/12/1nnttjnjdttftf0,)(,0)(aauufxuftu需要得知时间演化信息,通常利用特征方程需要
11、得知时间演化信息,通常利用特征方程0,0axuatu)(),(0atxutxu)()()(2/12/12/1njnjjttaxautautf若采用零阶重构若采用零阶重构:2/12/1)(jjjnxxxuxu则:则:jnjnuttaxu)(2/1jjuaf2/1假设时间步长足够小假设时间步长足够小,)(2/12/12/1jjnjxxttax则方程为:则方程为:011xuuatuunjnjnjnj等价于一阶迎风差分等价于一阶迎风差分Riemann解解Copyright by Li Xinliang9若采用线性重构若采用线性重构)()(jjnjnxxDuxu)(),(0atxutxu)(2()()(
12、)(2/12/12/1njnjjnjjnjnjnjttaxDuxttaxDuttaxututDaxDuadttautfjjnjttjnjnn2)2()(122/12/1102/12/11xfftuunjnjnjnjxDDtaxDDxuuatuujjjjnjnjnjnj2)(2/)(12111若若xuuDnjnjj1xuuutaxuuatuunjnjnjnjnjnjnj2)2(112111xuuDnjnjj1xuuutaxuuuatuunjnjnjnjnjnjnjnj2)2(234122121Warming-BeamLax-Wendroff0阶重构阶重构 1阶精度阶精度线性重构线性重构 2阶精度
13、阶精度 一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法Euler方程:方程:演化过程可通过演化过程可通过Riemann解或近似解或近似Riemann解进行解进行Copyright by Li Xinliang102.半离散方法半离散方法全离散:全离散:积分方程积分方程 代数方程代数方程 (守恒性好,但复杂)(守恒性好,但复杂)半离散:半离散:积分方程积分方程 常微分方程常微分方程 (简便,便于使用(简便,便于使用R-K等成熟方法)等成熟方法)0)(xuftu0)(2/12/1jjxxdxxuftu仅空间积分02/12/1xfftunjnjnj2/12/1),(
14、1)(jjxxjdxtxuxtuf 在在j+1/2点的值,仍需要点的值,仍需要使用周围点使用周围点 进行插值进行插值njf2/1 通常无法精确计算,通常无法精确计算,可采用近似值可采用近似值 代替代替njf2/102/12/1xfftunjnjnj212/1njnjnjuuaf0211xuuatunjnjnj等价于二阶中心差分等价于二阶中心差分半离散 j-1 j j+1j-1/2 j+1/2)(kuf)()(2/12/1jnjnnjxuffxuu重构重构Copyright by Li Xinliang119.1.2 一维一维Euler方程的方程的迎风型迎风型有限体积法有限体积法 j-1 j j
15、+1j-1/2 j+1/20 xtf(U)U02/12/1xtnjnjnjffU半离散1.重构重构控制体积 j-1 j j+1左重构值左重构值右重构值右重构值选择不同的模板会得到不同的重构方案选择不同的模板会得到不同的重构方案向左偏的模板产生向左偏的模板产生向右偏的模板产生向右偏的模板产生差分法差分法 同一点的导数可使用同一点的导数可使用向前差分向前差分和和向后差分向后差分,根据特征方向选择之,根据特征方向选择之Lj2/1URj2/1U例如:例如:0阶重构阶重构 1阶单边重构阶单边重构12/12/1,jRjjLjUUUU)3(21),3(21212/112/1jjRjjjLjUUUUUU根据特
16、征方向,选择左通量或右通量根据特征方向,选择左通量或右通量Lj2/1URj2/1Unj2/1f途径途径1:FVS途径途径2:FDSCopyright by Li Xinliang122.分裂方法分裂方法 (1):FVS方法方法 (流通矢量分裂(流通矢量分裂 逐点分裂)逐点分裂)fff 具体方法:具体方法:Steger-Warming 分裂分裂 Lax-Friedrichs分裂分裂 Van Leer分裂:分裂:Liou-Steffen分裂:分裂:(压力项与其他项分开,(压力项与其他项分开,AUSM类格式的基础)类格式的基础)2kkkwcucuucucuu232221321321)(2)(2)1(
17、)()()1(2)1(22)(f2/)(*Uff根据当地根据当地Mach数分裂数分裂保证保证 的的Jocabian阵特征值为正,阵特征值为正,的为负的为负ffUAf)2/12/12/1RjLjnj(Uf(Uff正通量:正通量:向左偏斜重构;向左偏斜重构;负通量:负通量:向右偏斜重构向右偏斜重构 偏重向上游偏重向上游 与迎风差分法类似:与迎风差分法类似:网格基(或权重)偏重上游网格基(或权重)偏重上游差分、有限体积都可使用差分、有限体积都可使用一个参数,反映全部特征一个参数,反映全部特征Copyright by Li Xinliang13小知识:小知识:Liou-Steffen分裂分裂)()(2
18、200)()(pcFFpupEuuupEpuuf(U)对流项压力项思路:思路:决定特征的关键参数决定特征的关键参数 当地当地Mach数数1 1,00,11cuMa超音速,超音速,x-方向方向超音速,超音速,x+方向方向0,0,0321cucuu321,0,0,0321因此,对因此,对Mach数进行分裂更为简洁!数进行分裂更为简洁!1当01当4/)1(1当2MMMMMMaHauaMFc)(114/)1(102MMMMMM1012/)1(1MMMpMpp112/)1(10MpMMpMp显然:显然:pppMMMfff010paHauaMf参考文献:参考文献:Toro:Riemann Solvers
19、and Numerical Methods for Fluid Dynamics,section 8.4.4Liou:Ten Years in the making AUSM family,NASA TM-2001-210977类似类似 Van Leer分裂,但压力单独处理分裂,但压力单独处理MM保证光滑过渡保证光滑过渡M=1Copyright by Li Xinliang14(3)FDS 方法方法(通量差分分裂(通量差分分裂特征投影分裂)特征投影分裂)1.利用精确利用精确Riemann解解Godnov格式格式目的:Lj2/1URj2/1Unj2/1f j-1 j j+1j-1/2 j+1/2
20、控制体积 j-1 j j+1左重构值左重构值右重构值右重构值 1)精确求解精确求解Riemann问题问题Lj2/1URj2/1U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU2))f(Uf),()(1/2j2/1txtnj精度:精度:取决于重构的精度取决于重构的精度(原则上可任意阶)(原则上可任意阶)差分法:差分法:Godnov格式使用分格式使用分片常数,精度片常数,精度1阶阶 有限体积法:先重构,再解有限体积法:先重构,再解Riemann问题,可高阶问题,可高阶精确精确Riemann解(见本讲座第解(见本讲座第2讲)需迭代求解,计算量大讲)需迭代求解,计算量大-近似近似Rie
21、mann解解整体思路:整体思路:先重构先重构自变量自变量(两种方案得到(两种方案得到 ),),再求解再求解Riemann问题(或用问题(或用FVS)得到通量的方法通)得到通量的方法通常称为常称为MUSCL方法。方法。Lj2/1URj2/1UCopyright by Li Xinliang15差分法与有限体积法区别与差分法与有限体积法区别与联系(二阶迎风联系(二阶迎风+FVS为例)为例)差分、有限体积差分、有限体积0 xtf(U)U0 xtf(U)U0 xxtffU02/12/12/12/1xxtiiiiiffffU差分(通常做法):差分(通常做法):直接插值通量直接插值通量fi+1/2)/2f
22、(3ff)/2f(3ff2i1i1/2i1ii1/2i有限体积:有限体积:先插值自变量先插值自变量U,然后计然后计算通量算通量f:)/2U(3U)()/2U(3U)(2i1i2/11ii2/1ffffff1/2i1/2iRiLiUU先插值自变量,再计算通量的先插值自变量,再计算通量的方法,称为方法,称为MUSCL类方法。类方法。是有限体积法的常用方法(差是有限体积法的常用方法(差分法也可以用)分法也可以用)单侧重构,以避免跨过激波单侧重构,以避免跨过激波还可使用还可使用FDS方法,重构后求解方法,重构后求解Riemann问题问题当f=f(U)连续时,对f插值与对U插值精度相同。UGUfUUf)
23、()((称为数值流通量)(称为数值流通量)的含义的含义Copyright by Li Xinliang16重要概念澄清:重构与插值0)(xuftuA.有限差分法:有限差分法:xffxfjjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2jj-12/1jf)(2/1jxf2/1jf2/1jf 注意:注意:与与 f 在在xj+1/2点的值含义不同!点的值含义不同!2/1jf用周围几个点的值用周围几个点的值 计算计算 的过程称为的过程称为“重构重构”,不能理,不能理解为用解为用 来来插值插值2/1jf jf jf)(2/1jxf记号记号 确实容易混淆,让人容易联想起确实容易混淆,让人容易联想起 。记为。记
24、为 更好些更好些2/1jf)(2/1jxf2/1jf否则,最高只能否则,最高只能达到达到2阶精度了!阶精度了!是控制体内的平均值是控制体内的平均值 (称为数值流通量)(称为数值流通量)的含义的含义Copyright by Li Xinliang17重要概念澄清:重构与插值0)(xuftuB.有限体积法:有限体积法:02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1)(2/12/1jxxjjfxuff确实为确实为f在在xj+1/2点的值点的值!通常做法:通常做法:1)用用 计算出计算出 2)ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxu
25、uu在xj+1/2点的值!关键:关键:是用是用 计算计算 (称为(称为重构重构),而不是用,而不是用 计算计算 (是标准的(是标准的插值插值);否则最高也只能达到);否则最高也只能达到2阶精度。阶精度。ju2/1ju ju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1ju18概念:MUSCL与非MUSC类方法0)(xuftuxffxujjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2j-12/1jf2/1jf2/1jfxffxujjj2/12/1差分差分有限体积有限体积juju方法方法1 (非(非MUSCL类):类):直接利用周围几个点的函数值直接利用周围几个点的函数值 或或
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