平面的方程课件.ppt

1、 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：第一章第二章平面平面与直线与直线一般曲面一般曲面一般曲线一般曲线第三章第四章第五章二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线1 1、平面的方程、平面的方程2 2、平面与点的相关位置、平面与点的相关位置3 3、两平面的相关位置、两平面的相关位置4 4、空间直线的方程、空间直线的方程5 5、直线与平面的相关位置、直线与平面的相关位置6 6、空间两直线的相关位置、空间两直线的相关位置7 7、空间直线与点的相关位置、空间直线与点的相关位置8 8、平面

2、束、平面束哇！哇！第一节第一节 平面及其方程平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程1 1、方向矢量、方向矢量 在空间给定一个点在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量与两个不共线的矢量a,ba,b，则，则通过点通过点M0且与且与a,ba,b平行的平面平行的平面 就被唯一确定。矢量就被唯一确定。矢量a,a,b b称为平面称为平面 的方向矢量。的方向矢量。显然，任何一对与平面显然，任何一对与平面 平行的不共线矢量都可作平行的不共线矢量都可作为平面为平面 的方向矢量。的方向矢量。2 2、平面的矢量式参数方程、平面的矢量式参数方程 在

3、空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb （1）方程（1）称为平面的矢量式参数方程矢量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：第一节第一节 平面及其方程平面及其方程3 3、平面的坐标式参数方程、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2

4、则由（1）可得)2(210210210vZuZzzvYuYyyvXuXxx（2）式称为平面的坐标式参数方程坐标式参数方程。r=r0+ua+vb （1）第一节第一节 平面及其方程平面及其方程例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1,因此，平面的矢量式参数方程矢量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程坐标式参数方程为)4()()()()()()(131211312113121zzvzzuzzyyvyyuyyxxvxxu

5、xx设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为r3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1,第一节第一节 平面及其方程平面及其方程从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）与)6(0131211312113121zzzzzzyyyyyyxxxxxx或)7(01111333222111zyxzyxzyxzyx（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程平面的三点式方程。第一节第一节 平面及其方程平面及其方程特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,

6、c),其中abc0,则平面的方程为)8(1czbyax称为平面的截距式方程截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距截距。xzyM1M2M3o第一节第一节 平面及其方程平面及其方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量n1.法向量法向量:注注:1 对平面对平面,法向量法向量n不唯一不唯一;2 平面平面 的法向量的法向量n与与 上任一向量垂直上任一向量垂直.第一节第一节 平面及其方程平面及其方程2.2.平面的点法式方程平

7、面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=x x0,y y0,z z0,得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程点法式方程.(1)第一节第一节 平面及其方程平面及其方程例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即:x 2y+3z 8=0 第一节第一节 平面及其方程平面及其方程nM3M2M1解:先找

8、出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=3,4,6 M1M3=2,3,1可取n=M1M2 M1M3132643kji=14i+9j k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0即:14x+9y z 15=0 第一节第一节 平面及其方程平面及其方程例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n=1,1,-2.又所求平面过点M1M2的中点

9、M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第一节第一节 平面及其方程平面及其方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=A,B,C证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为0)0()0()(zCyBADxA它表示过定点)0,0,(0ADM注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的一般方程.且法向量为 n=A,B,C的平面.第一节第一节 平面及其方程平面及其方程例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程

10、.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,42(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即:2x 3y+4z 4=0第一节第一节 平面及其方程平面及其方程2.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0第一节第一节 平面及其方程平面及其方程(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x 轴上的单位向量 i=1,0,0垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是:平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz

11、+D=0;平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.第一节第一节 平面及其方程平面及其方程(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0例3:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即:y 3z=0 第一节第一节 平面及其方程平面及其方程例4:设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),

12、Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:cDCbDBaDAoyPxzQR第一节第一节 平面及其方程平面及其方程所求平面的方程为:0DzcDybDxaD即:1czbyax(3)第一节第一节 平面及其方程平面及其方程例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解第一节第一节 平面及其方程平面及其方程,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为第一节第一节 平面及其方程平面及其方程