D12-1-2-3-4-级数.ppt

1、无穷级数 第十二章常数项级数的概念和性质 第一节一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 1.无穷级数的定义无穷级数的定义：无穷个数无穷个数123,nuuuu相加的式子相加的式子,1nnu即即1nnunuuuu321其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项。一般项。123nuuuu称为无穷级数（简称级数），记为记为例1 写出级数的一般项，并把级数写成 的形式1nnu（1）34522341nnun解：，原级数可写为11nnn（2）111135711(1)21nnun 解：，原级数写为111(1)21nnn 。例2 写出级数 的前5项，并求级数前面2项、前面3 项、前面n 项的和。11

2、lnnnn解：34,ln3u 1ln2u 23,ln2u 45,ln4u 56,ln5u 级数前面2项的和为：2s 12uu3ln2ln2ln3级数前面3项的和为：3s 123uuuln4 级数前面n项的和为：ns 12nuuuln(1)n 。1lnnnun，级数前5项是：级数一般项为1nnu当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值21nnnnuuSSr为级数的为级数的余项余项。,lim不存在若nnS则称级数则称级数发散发散，发散的级数没有和。，发散的级数没有和。limnnSS2.级数收敛与发散性的定义级数收敛与发散性的定义设设前前 n 项的部分和为项的部分和为 ，若，若nS存在，则称存在，则称

3、 收敛收敛，S 称为此级数的称为此级数的和和，记作记作1nnu1nnSu例例1.讨论等比级数(又称几何级数)1211nnnaqaaqaqaq的敛散性(为常数，、称为公比).解解:,1q12nnqaqaqaaS(1)1nnaqSq时，当1qqannS1lim,级数收敛,;1 qa,1时当qlim,nnq,limnnS级数发散。和为0a aq、q1)若1q 当时，limnnS1(1)lim1(1)nna 不存在，发散。2).,1时当q,nSna 发散发散;所以：所以：1q时时,等比级数收敛等比级数收敛，和为，和为1q时时,等比级数发散等比级数发散。,;1 qalimnnS例例1.讨论等比级数(又称

4、几何级数)1211nnnaqaaqaqaq的敛散性(为常数，、称为公比).0a aq、q例例2.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:1111 44 77 10nS 1111 44 77 101(32)(31)nn11141311471311133231nn111,331nlimnnS13,原级数收敛原级数收敛。解：解：例例3 证明：调和级数证明：调和级数nnn13121111 用反证法，设级数收敛用反证法，设级数收敛,则则2lim()nnnSSnnnn21312111但但nnSS2，矛盾，矛盾!21发散发散.limnnSS12nn11112222nnnn证：证：所以所以2limnnSS从

5、而从而2limlimnnnnSSSS02lim()nnnSS12二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S,则级数则级数1nnku也收敛也收敛,12nkukuku即即1nnku收敛收敛,其和为其和为 k S.12lim(),nnuuuS注：注：级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变。且其和为且其和为 k S.证证:级数级数 前前 n 项的和：项的和：1nnku12()nk uuu由于由于所以所以12lim(),nnkukukukS性质性质2.如果级数如果级数 分别收敛于和分别收敛于和1,nnu1nnv则级数则级数

6、1()nnnuv也收敛也收敛,其和为其和为.S 1122lim()()()nnnuvuvuvS,S 证证:1()nnnuv前前 n 项的和的极限为：项的和的极限为：1212lim()()nnnuuuvvv。注注:(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则1()nnnuv一定发散一定发散.1()nnnuv 不一定发散不一定发散。(1)若两级数都收敛，则若两级数都收敛，则 一定收敛一定收敛.1()nnnuv(3)若两级数都发散若两级数都发散,则则性质性质3.在级数前面改变在级数前面改变有限项有限项,不改变级数的敛散性不改变级数的敛散性.级数前面有限项不影响敛散性级数前面有限项

7、不影响敛散性！在级数前面去掉在级数前面去掉有限项有限项,不改变级数的敛散性不改变级数的敛散性.在级数前面增加在级数前面增加有限项有限项,不改变级数的敛散性。不改变级数的敛散性。证证:将级数将级数121kkk nuuuuu的前的前 k 项去掉项去掉,knkSS类似可证在级数前面加上有限项或改变有限项的情况类似可证在级数前面加上有限项或改变有限项的情况。或者同时有极限，或者同时没有极限或者同时有极限，或者同时没有极限.所得新级数为所得新级数为1nkk nuu nk nS 与与n 因为因为 是与是与 n 无关的常数，所以无关的常数，所以 时，时，kS敛散性相同敛散性相同.新级数前新级数前 n 项的部

8、分和为项的部分和为1kk nuu性质性质4.如果如果 收敛收敛，则任意加括号后所得级数，则任意加括号后所得级数 仍收敛，且其和不变仍收敛，且其和不变.注注:（1）若加括号后所得级数收敛，原级数不一定收敛）若加括号后所得级数收敛，原级数不一定收敛.1nnu（2）若加括号后所得级数发散，则原级数一定发散。）若加括号后所得级数发散，则原级数一定发散。（3）正项级数收敛）正项级数收敛 加括号后所得级数收敛加括号后所得级数收敛级数收敛级数收敛加括号后所得级数收敛加括号后所得级数收敛性质性质5.（级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件）若级数若级数 收敛，收敛，1nnu则必有则必有lim0.nnu证证:n

9、u limnnu0SS注注：（1）若若 ，则级数，则级数 一定发散一定发散.lim0nnu1nnu1nnu （2）若若lim0nnu，则级数，则级数 可能收敛，可能收敛，也可能发散。也可能发散。limnnSS设设1nnSS1limlimnnnnSS例例4.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性3333(1)24816341111(2)13333n解解:这是公比这是公比 的等比级数，的等比级数，12q 收敛收敛.解解:13nnu记记则则1limlim3nnnnu11lim3nn0113原级数发散原级数发散.0121418(3)2349627。解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数12141

10、82349627112()23nin因为因为1111122iinn发散，发散，12()3ni收敛，收敛，所以原级数发散所以原级数发散例例5.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解:)()()(14114113113112112121 发散发散原级数发散原级数发散。考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数即：即：22 23 2n112,nn第二节第二节常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第十二章 一、正项级数的概念一、正项级数的概念若0,nu 1nnu定理定理 1.正项级数1nnu 收敛部分和 有界。nS则称为正项级数.二、正项级数的审敛法二、正项级数的审敛法定

11、理定理2(比较判别法比较判别法非极限形式非极限形式)(1)若大级数若大级数1nnv则小级数则小级数1nnu(2)若小级数若小级数1nnu 则大级数则大级数1nnv 收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.(1,2,)nnuvn设设,1nnu1nnv是两个正项级数是两个正项级数,且且注：注：小级数收敛，大级数不一定收敛；小级数收敛，大级数不一定收敛；大级数发散，小级数不一定发散。大级数发散，小级数不一定发散。例例1.讨论讨论 p 级数级数11111123ppppnnn(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解:1)若若1,p 则则 而而11nn由比较判别法得由比较判别法得11npn1n发

12、散发散。发散发散,1pn机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,p 1112nppSn2)若若211111dd2nppnxxn211111ddnppnxxxx111dnpxx1111(1)nppx11111(1)pppn111p即即 有界，所以原级数收敛有界，所以原级数收敛。nS机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 级数级数11pnn重要结论：重要结论：当当 p 1 时收敛，当时收敛，当 p 1 发散。发散。例如：例如：211nn，11nn n都收敛都收敛11,nn11nn都发散。都发散。,1nnu1nnv,limlvunnn则有则有两个级数同敛散两个级数同敛散;(2)当当 l=0,1收敛时

13、且nnv;1也收敛nnu(3)当当 l=,1发散时且nnv.1也发散nnu证证:据极限定义据极限定义,0对,N数存在正整lnnvu设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,时当Nn 定理定理3 (比较判别法比较判别法极限形式极限形式)。nnnvluvl)()(,l取由定理 2 可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散;)(Nn),()(Nnvlunn利用(3)当l=时,ZN存在,时当Nn,1nnvu即nnvu 由定理2可知,若1nnv发散,;1也收敛则nnu(1)当0 l 0,使使00nnnnnnxa xa xxnnnxxxa00nxxM0用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表

14、示幂级数收敛与发散的分界点,R 称为称为收敛半径收敛半径，在在(R,R)内，内，ox绝对收绝对收 敛敛）（）发散发散发散发散R，可能收敛也可能发散，可能收敛也可能发散；Rx幂级数一定收敛幂级数一定收敛；(R,R)称为称为收敛区间收敛区间。在在(,R)(R,)内，内，幂级数一定发散幂级数一定发散；在在xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2.若不缺项幂级数若不缺项幂级数0nnna x 满足满足1lim,nnnaa 证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散。x即1x时,1R R 0R 1)当当 0 时时,收敛半径收敛半径2)当当 0 时时,收

15、敛半径收敛半径3)当当 时时,收敛半径收敛半径即时,则则 1x考虑：，nnna x02)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,.0R对任意 x 原级数因此因此 因此级数的收敛半径.1R机动 目录 上页 下页 返回 结束。0(0)nnnna xa说明说明 幂级数幂级数收敛半径、收敛域的求法：收敛半径、收敛域的求法：一、对不缺项的幂级数一、对不缺项的幂级数1limnnnaa 1.求求2.求收敛半径求收敛半径1R 3.讨论讨论 时原级数的敛散性，得收敛域时原级数的敛散性，得收敛域.xR 210nnna x二、对缺项的幂级数（例如：缺偶数项级数二、

16、对缺项的幂级数（例如：缺偶数项级数 ）直接考虑绝对值级数，用比值法或根值法判断敛散性，直接考虑绝对值级数，用比值法或根值法判断敛散性，确定收敛域。确定收敛域。1nnxn=0=0例例1.1.求下列幂级数的收敛半径及收敛域求下列幂级数的收敛半径及收敛域.1limnnnaa 1R xR 不不缺缺项项级级数数处处（1）解：解：1,1nan11,2nan1limnnnaa 1,11R 1x11=0nn时，原级数为时，原级数为，发散，发散；1x(1)1=0nnn 时，原级数为时，原级数为，收敛，收敛；收敛域收敛域 1,1)1112(1)!nnnnxn（2）解：解：12(1)!nnnan112(1)(1)!

17、nnnan1limnnnaa R收敛半径收敛半径，收敛域，收敛域(,)1limnnnaa 1R xR 不不缺缺项项级级数数处处2lim0,1nn R231(1)2(1)3(1)xxx（3）缺项幂级数缺项幂级数对绝对值级数直接用比值法对绝对值级数直接用比值法解：解：考虑考虑231(1)2(1)3(1)xxx23112131xxx1limlim(1)|1|1|nnnnnxn x1|1|1|nxxn|1|1x20 x即即，原级数收敛，原级数收敛 2x时，原级数为时，原级数为 1(1)2(3)，发散，发散；0 x时，原级数为时，原级数为 1123 ，发散，发散；原级数的收敛域为原级数的收敛域为(2,0

18、)。2111(1)2nnnnxn（4）缺项幂级数缺项幂级数对绝对值级数直接用比值法对绝对值级数直接用比值法解：解：考虑考虑2111(1)2nnnnxn2111|2nnnxn21211|(1)limlim2|2nnnnnnxnxn2|2(1)nxn21|2x即即2x(1)2=1nnn 时，原级数为时，原级数为 ，收敛，收敛；21|12x22x 2x 时，原级数为时，原级数为1(1)2=1nnn ，收敛，收敛；，原级数收敛，原级数收敛原级数的收敛域为原级数的收敛域为2,2。三、幂级数的运算及性质三、幂级数的运算及性质定理定理3.设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及及的收敛半径分别为的收敛半径

19、分别为,21RR令令,min21RRR 00nnnnnna xb x0(),nnnnabxRx 则有则有:0,nnnc xRx 00nnnnnna xb x其中其中0nnkn kkca b注注:相当于合并同类项相当于合并同类项.注注:相当于拆开相乘后再合并同类项。相当于拆开相乘后再合并同类项。定理定理4 幂级数幂级数0nnna x()S x的和函数的和函数 逐项积分后的新级数与原级数的收敛半径相同，逐项积分后的新级数与原级数的收敛半径相同，在其收敛域上连续在其收敛域上连续定理定理5 幂级数幂级数0nnna x 在其收敛区间内可积，在其收敛区间内可积，并有并有逐项积分逐项积分公式公式00()dx

20、nnna xx101nnnaxn(,)xR R 但收敛域不一定相同。但收敛域不一定相同。00dxnnna xx定理定理6 幂级数幂级数0nnna x在其收敛区间内可导，在其收敛区间内可导，并有并有逐项求导逐项求导公式公式00()nnnnnna xa x 11nnnna x(,)xR R 逐项求导后的新级数与原级数的收敛半径相同，逐项求导后的新级数与原级数的收敛半径相同，但收敛域不一定相同。但收敛域不一定相同。例例2.(|1)x 1nnxn求下列幂级数的和函数求下列幂级数的和函数.（1）重要地：幂级数的和函数的求法重要地：幂级数的和函数的求法利用利用“，逐项求导，逐项积分，逐项求导，逐项积分”等

21、运算把等运算把幂级数化为可求出和函数的情形（例如化为等比级数）幂级数化为可求出和函数的情形（例如化为等比级数）.解：解：设设1nnxn()S x，则，则()S x1nnxn11nnx11x0()(0)()dxS xSS xx 010d1xxx ln(1)x解：解：设设()S x，则，则()S x 22111()1xx357357xxxx 并求级数并求级数 的和的和。（2）(11)x1111357357357xxxx 2461xxx0()(0)()dxS xSS xx arctan x1111357(1)S4(|1)x 211nnnx213nnn，并求，并求（3）求求 的和函数的和函数解：解：设

22、设211nnnx()S x，则，则()S x1()n122nx211()2nnx221()2 1xx2 2(1)xx213nnn11()33S2 211313(1()3964。幂级数求和函数的基本方法：幂级数求和函数的基本方法：1.设和函数为设和函数为 S（x）2.设法消去幂级数一般项中含设法消去幂级数一般项中含 n 的因子的因子 分母含分母含 n 时，两边求导把原级数化为等比级数；时，两边求导把原级数化为等比级数；分子含分子含 n 时，将原级数表示为等比级数的导数时，将原级数表示为等比级数的导数；例如：例如：1()nnxxn例如：例如：1()nnnxx 331()3nnxxn，2121()2

23、nnnxx，。1(1)2nnnn nx-1-1例例3.求求 的和函数的和函数.1(1)()2nnnn nS xx-1112nnnnx-12()112xxx2112nnnnxx-1211()2nnnxx-1解：解：316(2)xx先求得收敛域为（先求得收敛域为（2，2）思考与练习思考与练习 例例4.已知nnnxa00 xx 在处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在0 xx 收敛,0 xx 时发散.故收敛半径为.0 xR 机动 目录 上页 下页 返回 结束 竞赛题举例例1 11(1)nnnxn例2 求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域.求幂级数求幂级数 的收敛域的收

24、敛域.求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域.113(2)nnnnxn例3 求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域.111112nnxn例421nnna x例5 设幂级数设幂级数的收敛域是的收敛域是 ，求下列幂级数的收敛域及和函数：求下列幂级数的收敛域及和函数：21(1)2nnnnx20(21)nnnx 1,1求证：求证：1nnnaxn的收敛域也是的收敛域也是 。1,111nnnxn1(1)nnn nx例6求级数求级数 的和函数：的和函数：1220(|1)1nnnxxx例例7 求级数求级数1(1)2=1nnn的和。的和。例例8 求求2221212lim222nnn例例9 求级数求级数(1)(21)3=

25、1nnnnn的和。的和。第四节函数展开成幂级数 第十二章 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 0()f x00()()fxxx200()()2!fxxx()00()()!nnfxxxn为为 f(x)在在 的的泰勒级数泰勒级数.则称则称若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数,0()f xx在在定义定义 当当 x0=0 时时,称为称为 f(x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数。(0)f(0)fx2(0)2!fx()(0)!nnfxn0 xx定理定理1.则在该邻域内则在该邻域内的的充要条件充要条件是是设设 f(x)在点在点 x0 的某邻域内具有各阶导数的某邻域内具有各阶导数,

26、()f x(1)1()lim0(1)!nnnfxn(在在 0 与与x 之间。之间。)(0)f(0)fx2(0)2!fx()(0)!nnfxn(0)f(0)fx2(0)2!fx()(0)!nnfxn f(x)问题：问题：？例例1.()exf x（1）求）求 的麦克劳林级数；的麦克劳林级数；（2）f(x)是否等于其麦克劳林级数是否等于其麦克劳林级数？解解（1）f(x)的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为 1x313!x212!x1!nxn(0)f(0)fx2(0)2!fx()(0)!nnfxn(0)f1,(),xf xe()fx,xe(0)f1,xe()(0)nf1,()()nfx 对任何对任何 ,1

27、|e(1)!nxxn 故故(,)x (由于由于 在在 0 与与 x 之间之间，故，故 )(1)1()(1)!nnfxn 1e(1)!nxn 因为因为1|e0(1)!limnxnxn，所以，所以(1)1()0(1)!limnnnfxn ex。(,)x|eex 1x212!x1!nxn（2）f(x)是否等于其是否等于其 麦克劳林级数麦克劳林级数？(1)1()lim0(1)!nnnfxn(在在 0 与与x 之间。之间。)定理定理2.若若 f(x)能展成能展成 x 的幂级数的幂级数,则这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的,一定就是其麦克劳林级数一定就是其麦克劳林级数.证证:设设 f(x)所展成的幂级

28、数为所展成的幂级数为2012(),(,)nnf xaa xa xa xxR R 则则112()2;nnfxaa xna x1(0)af 22()2!(1);nnfxan na x122!(0)af()()!;nnfxn a()1!(0)nnnaf故结论成立。故结论成立。0(0)af二、函数展开成幂级数（二、函数展开成幂级数（直接展开法）直接展开法）与例与例1的方法类似，可得下列基本展开式：的方法类似，可得下列基本展开式：1e()!xnnxxn =0=0 1）。10ln(1)(1)(11)1nnnxxxn3）1(11)1nnxxx 0 0注：等比级数求和公式注：等比级数求和公式 2）2(1)2!

29、m mx(1)(1)!nm mmnxn(1)1mxm x(11)x注：很象二项式展开定理。注：很象二项式展开定理。6）201cos(1)()(2)!nnnxxxn 5）2101sin(1)()(21)!nnnxxxn 4）利用基本展开式及幂级数的运算利用基本展开式及幂级数的运算,将其展开。将其展开。三、函数展开成幂级数（三、函数展开成幂级数（间接展开法）间接展开法）()sin2f xx例例2 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn 201cos(1)()(2)!nnnxxxn 1e()!xnnxxn =0=010ln(1)(1)(11)1nnn

30、xxxn1(11)1nnxxx 0 0。()sin2f xx例例2 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn ()sin2f xx解：解：2101(1)(2)(21)!nnnxn212102(1)(21)!nnnnxn其中其中 2x即即 x。例例3 将将ee()ch2xxf xx展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn 201cos(1)()(2)!nnnxxxn 1e()!xnnxxn =0=010ln(1)(1)(11)1nnnxxxn1(11)1nnxxx 0 0例例3 将将ee()ch2xxf

31、xx展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.1e()!xnnxxn =0=0()f x解：解：111()2!nnnnxxnn=0=0=0=0 x 11(1)2!nnnxn=0=021112(2)!nnxn=0=021(2)!nnxn=0=0 其中：其中：x 即：即：x。1(ee)2xx例例4 将将arctanyx 展成展成 x 的幂级数的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn 201cos(1)()(2)!nnnxxxn 1e()!xnnxxn =0=010ln(1)(1)(11)1nnnxxxn1(11)1nnxxx 0 0。例例4 将将arctanyx展成展成 x 的幂级数的

32、幂级数.1(11)1nnxxx 0 0 211yx解：解：2()nnx=0=02(1)nnnx=0=0 211()x2(1)nnnx=0=00dxyx0dxxyn=0=0(1)n21121nxn(11)x(11)x例例5 将将()ln(2)f xx展成展成 的幂级数的幂级数.1x 10ln(1)(1)(11)1nnnxxxn1011ln3(1)()13nnnxn()ln(2)f xx解：解：ln 3(1)x1ln 3(1)3x1ln 3ln(1)3x1101ln3(1)3(1)nnnxn 其中：其中：1113x 即：即：42x。216xx例例6 将将展成展成 的幂级数的幂级数.1x 1(11)

33、1nnxxx0 0解：解：216xx1(3)(2)xx111()532xx 112(1)3(1)xx1 15 511111115231123xx11111()()52233nnnnxx00001111(1)(1)523nnnnnx0 0-其中其中：1112x 1113x 其中其中：即：即：13x。11!nnn=例例 7 求级数求级数 的和的和2101sin(1)()(21)!nnnxxxn 201cos(1)()(2)!nnnxxxn 1e()!xnnxxn =0=010ln(1)(1)(11)1nnnxxxn1(11)1nnxxx 0 0。1e,!xnnxn=0=011!nnn=例例 7 求

34、级数求级数 的和的和11!nnn=11()!nnnn=1111(1)!nnnn=由由得：得：1!nen=0=0e1e21e解：解：01!nn=01!nn=1 竞赛题举例竞赛题举例例例1 求级数求级数1(1)2=1nnn的和。的和。解法解法1 见前面见前面解法解法2 利用利用10ln(1)(1)(11)1nnnxxxn 例例2 设设是曲线是曲线na例例3 求求1,(1,2,)nnyxyxn所围区域的面积，记所围区域的面积，记1221,=1=1nnnnSaSa求求12,SS的值。的值。4812481215!9!13!13!7!11!15!例例4 函数函数2()ln(12)f xxx例例5展成展成 x 的幂级数，的幂级数，并指明收敛域。并指明收敛域。3()arctan3xf xx展成展成 x 的幂级数，的幂级数，写收敛域。写收敛域。例例6222()(1)(12)xf xxx展成展成 x 的幂级数，的幂级数，并指明收敛域。并指明收敛域。例例7 把把的和函数展成的和函数展成 x1 的的幂级数。幂级数。212(1)2(21)!=1nnnnxn例例8 设设，求，求32()ln(12)f xxx()(0).nf()f x=0nnna x()1(0)!nnnfxn