高中数学知识点归纳(理科)(DOC 66页).docx
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1、高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳必 修 一第一章集合与函数的概念一、集合:1集合的定义与表示( 1)集合的定义:把一些元素组成的总体叫做集合( 2)集合的表示:常用大写拉丁字母A, B, C ,表示,集合中的元素一般用小写拉丁字母a,b, c,表示( 3)集合的性质:确定性、互异性、无序性(集合中元素的性质)( 4)元素与集合的关系:属于 ( a A) , 不属于 ( a A )( 5)常用数集: N,N *,Z,Q, R( 6)集合的表示:列举法,描述法2集合间的基本关系(从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解)( 1)子集:一般地, 对于两个集合A, B ,如果集合 A 中任意
2、一个元素都是集合B 中的元素, 称集合 A 是集合 B的子集,记作AB (读作 A 含于 B )或 BA (读作 B 包含 A )。韦恩表示图略( 2)集合相等:如果集合 A 是集合 B 的子集( A B ),且集合 B 是集合 A 的子集( B A ),称集合 A 与集合 B 相等。记作 A B 。韦恩表示图略( 3)真子集:如果集合 AB ,但存在元素 xB, 且 xA, 称集合 A 是集合 B 的真子集,记作AB (读作 A真含于 B )或 BA (读作 B 真包含 A )。韦恩表示图略( 4)空集:不含任何元素的集合叫做空集。空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集(5)集合的
3、子集个数:含有 n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为 2 n 1,非空真子集个数为 2 n 23集合的基本运算 从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解)(1)并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合, 称为集合 A 与集合 B 的并集,记作 AB(读作: “并B”),即A B x x A, 或xB ,韦恩表示图略A(2)交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合, 称为集合 A 与集合 B 的交集,记作 AB(读1高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳作:“ 交B”),即ABx x A,且xB ,韦恩表示图略,数轴表示略A(3)
4、补集:对于一个集合 A ,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作 eU A ,即 eU A= x xU , 且xA ,韦恩表示图略,数轴表示略说明: 求并集、交集与补集时可借用数轴处理4集合的主要性质和运算律集合的主要性质和运算律包含关系:A A,A,若A U则CU A UAB, BCAC;(A B)A, (AB)B; A( AB), B( AB).集合的运算律:交换律: ABBA; ABBA.结合律: (A B) C A (BC);(AB)CA( BC ).分配律: A(BC )( AB)( AC); A(BC )(
5、 AB)( AC ).01 律:A,AA, UAA,UAU .等幂律: AAA, AAA; ABABAABB.求补律: ACU A, ACU AU,CUU,CUU ,CU (CU A)A.反演律: (CU A)(CU B)CU (AB); (CU A)(CU B)CU (AB).二、函数及其表示1函数的定义:(集合对应定义法)设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合 A 中的任意一个 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f: AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 yf ( x), x A ,其中, x 叫做自变量, x
6、的取值范围叫做函数的定义域;与x 的值对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f ( x) xA 叫做函数的值域,值域是集合B的子集.函数三要素:定义域(集合) ,值域(集合),解析式(表达式)区间(集合的另一种表示方式) :开区间、闭区间、半开半闭区间(左开右闭、左闭右开)(a,b); a, b ; a, b , a, b ;, a , a ; b, b,无穷大的引入:,2函数的表示:2高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图像法:用图表表示两个变量之间的对应关系列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系分段函数:映射:设 A、B 是非的集合
7、,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。会区分函数与映射的关系3函数的性质:(主要从文字叙述,数学符号,图象特征方面理解)( 1) 单调性 增函数,增区间,递增性一般地,设函数f ( x) 的定义域为 I :如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2 ,当x1x2 时,都有 f (x1)f ( x2 ) ,那么就说函数f ( x) 在区间 D 上是增函数;区间 D 叫做函数 f ( x) 的一个增区间;这种性质叫做函数的递增
8、性。 减函数,减区间,递减性一般地,设函数f ( x) 的定义域为 I :如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2 ,当x1x2 时,都有 f (x1)f ( x2 ) ,那么就说函数f ( x) 在区间 D 上是减函数;区间 D 叫做函数 f ( x) 的一个减区间;这种性质叫做函数的递减性。注:会从文字叙述,数学符号,图象特征等方面理解函数单调性会用定义判断并证明函数单调性( 2)函数的最大值与最小值: 函数的最大值:一般地,设函数 yf ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足 :(1)对于任意的 xI ,都有 f ( x)M ;(2)存在 x0I
9、 ,使得 f ( x0 )M 。那么,我们称 M 是函数 yf (x) 的最大值。 函数的最小值:一般地,设函数 yf (x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足(:1)对于任意的 xI ,都有 f ( x)M ;(2)存在 x0I ,使得 f ( x0 )M 。那么,我们称 M 是函数 yf (x) 的最小值。注:函数最小值的求法:基本函数法,图像法,单调性法等( 3)函数的奇偶性: 偶函数:一般地,如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (x)f ( x) ,那么函数叫做偶函数。偶函数图象关于 y 轴对称。 奇函数:一般地,如果对于函数f (x) 的定义域内任意一
10、个x ,都有 f ( x)f ( x) ,那么函数叫做奇函数。奇函3高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳数图象关于原点对称。第二章基本初等函数一、指数与指数函数1指数与指数幂的运算(1)根式:一般地,如果 xna ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根;当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数。当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们是一对互为相反数,记作n a (a0) 。负数没有偶次方根。式子 na 叫做根式, n 是根指数, a 叫做被开方数;由 n 次方根的意义得: ( n a) na(2)分数指数幂:mn am ;0 的正分数指数幂等于
11、0, 0 的负分数指数幂没有意义a n(3)指数幂的运算性质:ar asar s,( ar )sars ,( ab)rar br , 其中 a 0, b 0; r , s Q2指数函数及其性质:(1)指数函数:一般地,形如 yax ( a0, a1) 的函数,叫做指数函数;其中x 是自变量,函数的定义域为R 。(2)指数函数的图像与性质:指数函数 ya x ( a0, a1) 的图象与性质0a 1a1图象定义域R值域(0,)(1)过定点(0,1),即 x 0 时 y1性(2)单调性在 R 上是减函数在 R 上是增函数质3x0x 0时 y1 ;时 0y 1;( )范围4高中数学必备 (必须理解与
12、记忆)知识点归纳x 0时0y 1;x 0y 1;时3对数与对数的运算:(1)对数:(定义、记法、读法,各部分符号及名称)一般地,如果 a xN (a0, a1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x log a N注:理解对数定义的本质;熟记对数符号各部分名称,明确各部分的范围常用对数: log10 Nlg N自然对数: log e N ln N(2)对数与指数的互化: axNxlog a N ,( a0, a1)(3)对数的性质:log a 10, log a a1log a (MN )log aMlog aN(4)对数的运算性质: logaMlog a Mlog a NNl
13、og a Mnn log a M ( a0 , a1, M0 , N0 )(5)对数恒等式: alog a bb( a0,a1,b0)(6)对数换底公式: log ablog cb (a0,a1; c0, c1,b0)log calog ab1,log ablog bclog cdlog a dlog ba4对数函数及其性质:(1)对数函数:一般地,形如 ylog a x(a0, a1) 的函数,叫做对数函数; 其中 x 是自变量,函数的定义域为 0,。(2)对数函数的图象与性质:指数函数 ylog a x( a0, a1) 的图象与性质0a1a 1图象定义域0,值域R性1(1,0),即x1时
14、y0( )过定点5高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳质( )单调性在0,上是减函数在(0, )上是增函数20 x 1时 y0 ;0x 1 时 y0 ;(3)范围x 1时 y0 ;x 1时 y0 ;5幂函数:(1)幂函数定义:一般地,形如 yxa 的函数,叫做幂函数;其中x 是自变量, a 是常数。(2)幂函数的图象与性质:y xy x2y x 31y x 1y x2图象定义域RRR0,x x0值域R0,R0,y y0奇偶性奇函数偶函数奇函数无奇函数对称性原点对称y 轴对称原点对称原点对称,0 上递减0,0及单调性在R上递增在R上递增上递增0,上递增0,上递减公共点1,16函数图象变换
15、平移变换:左右平移与上下平移翻折变换:如何由 yf ( x) 图象得到 yf ( x ), yf ( x) 图象对称变换:如何由 yf ( x) 图象得到 yf (x), yf ( x), yf (x) 图象第三章函数的应用一、函数与方程1方程的根与函数的零点:(1)函数的零点:对于函数yf ( x) ,我们把使 f (x)0 的实数 x 叫做函数 yf ( x) 的零点。(2)方程的根与函数的零点的关系:方程 f (x)0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点6高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳( 3)方程的根与函数的零点存在性定理:一般地
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