高中数学导数知识点归纳总结(DOC 8页).doc
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1、14. 导 数 知识要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用 函数的极值函数的最值1. 导数(导函数的简称) 的定义: 设 x0 是函数 y f (x) 定义域的一点, 如果自变量 x 在 x0 处有 增 量 x , 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 y f (x0 x) f (x0 ) ; 比 值y f (x0 x) f (x0 )x x称为函数 y f (x) 在点 x0 到 x0 x 之间的平均变化率;如果极限limx 0yxlimx 0f (x0x) xf(x0)存在, 则称函数 y f (x) 在点
2、x0 处可导, 并把这个极限叫做 xy 在 x0 处的导数, 记作 ( 0 )f (x) f 或 xy ,即 ( 0 )| f =x x0limx 0yxlimx 0f (x0x) f x(x0).注: x是增量,我们也称为 “改变量 ”,因为 x 可正,可负,但不为零 . x以知函数 y f (x) 定义域为 A , y f ( ) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A B .2. 函数 y f (x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系:函数 y f ( x) 在点 x0 处连续是 y f (x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件 .可以证明,如果 y f (x) 在点
3、x0 处可导,那么 y f (x) 点 x0 处连续 .事实上,令 x x0 x ,则 x x0 相当于 x 0 .于是 lim ( ) lim ( ) lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )f x f x x f x x f x f x0x x x 0 x 00f (x x) f ( x ) f (x x) f (x )0 0 0 0 lim x f (x ) lim lim lim f (x ) f (x0) 0 f (x0 ) f (x00 0x 0 x 0 x 0 x 0x x).如果 y f ( x) 点 x0 处连续,那么 y f (x) 在点 x0 处可导,是不成立的 .例:
4、 f (x) | x |在点 x0 0 处连续,但在点 x0 0 处不可导,因为y | x |x x,当 x 0 时,yxy;当 x 0 时, 1,故1xylim 不存在 .xx 0注:可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义:函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f (x) 处的切线的斜率, x也 就 是说 , 曲线 y f ( x) 在 点 P (x0 , f ( x) 处 的切线 的斜 率 是 ( 0 ) f , 切线 方程 为yy ).0 f (x)(x x04. 求导数
5、的四则运算法则: (u v u v y ( ) ( ) . n ( ) ( ) ( ) . n ( )f1 x f x f x y f x f x f x2 1 2 ( ) ( uv) vu v u cv c v cv cv ( c为常数) u vu v u( v 0 )2v v注: u, v必须是可导函数 .若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导 .例如:设f2(x) 2 sin x ,x2g (x) cos x ,则 f (x), g( x) 在 x 0 处均不可导,但它们和xf ( x) g( x)sin x cos x 在 x
6、 0 处均可导 . x f u x 5. 复合函数的求导法则: f x ( ( ) ( ) ( ) 或 y x y u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .6. 函数单调性: x 函数单调性的判定方法: 设函数 y f (x) 在某个区间内可导, 如果 f ( ) 0,则 y f (x) 为增函数;如果 f (x) 0,则 y f (x) 为减函数 .常数的判定方法;如果函数 y f (x) 在区间 I 内恒有 f ( ) =0,则 y f ( x) 为常数 .x注: f ( x) 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y 2x3 在 ( , ) 上并不是都有
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