量子力学教程第3版知识点总结笔记课后答案(DOC 372页).docx

1、第1章波函数与Schrdinger方程1.1 复习笔记一、波函数的统计诠释1实物粒子的波动性de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m0的粒子，如电子） 也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长和频率为并称之为物质波（matter wave） 2波粒二象性的分析（）包括波动力学创始人Schrdinger，de Broglie等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的（）与物质波包相

2、反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子3. 概率波，多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是MBorn（1926）提出的概率波表征在r点处的体积元中找到粒子的概率这就是Born提出的波函数的概率诠释它是量子力学的基本原理之一根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点

3、的概率之总和为1，即要求波函数（r）满足下列条件这称为波函数的归一化（normalization）条件 归一化条件就可以简单表示为（，）=14. 动量分布概率动量分布概率密度即5. 不确定性原理与不确定度关系不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Heisenberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映6. 力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符l是一个矢量算符它的三个分量可以表示为一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出是与力学量A相应的算符如波函数未归一化，则与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为7. 统计诠释对

4、波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义根据统计诠释，究竟应对波函数（r）提出哪些要求?（1） 根据统计诠释，要求|（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求（r）取有限值（2） 按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）但概率描述中实质的问题是相对概率因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数（3） 按照统计诠释，要求|（r）|2单值是否由此可得出要求（r）单值?否（4） 波函数（r）及其各阶微商的连续性二、Schrdinger方程1. Schrdinger方程的引进在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrdinger波动方程，它揭示

5、了微观世界中物质运动的基本规律2. Schrdinger方程的讨论（）定域的概率守恒对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变即（1）（1） 式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同（2） 初值问题，传播子Schrdinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系， 取初始时刻为t，则t时刻波函数可以表示为式中称为传播子（propagator）可以证明就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅3. 能量本征方程以下讨论一个极为重要的特殊情况假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）其中E（r）满足下列方程：（2）在有的条件下，特别

6、是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrdinger方程不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的（设E取离散值），即Schrdinger方程的更普遍的表示是（3）是体系的Hamilton算符当不显含t时，体系的能量是守恒量， 方程（3）可以分离变量此时，不含时Schrdinger方程，即能量本征方程，为4. 定态与非定态

7、若在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态（r，0）=E（r），则（4）形式如式（4）的波函数所描述的态，称为定态（stationary state）处于定态下的粒子具有如下特征：（1） 粒子在空间的概率密度（r）= |（r）|2以及概率流密度j显然不随时间改变（2） 任何（不显含t的）力学量的平均值不随时间改变（3） 任何（不显含t的）力学量的测量概率分布也不随时间改变 由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态，称为非定态（nonstationary state）5. 多粒子体系的Schrdinger方程设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为mi（i=1，2，3， N）体系的波函数表示为（

8、r1 ，rN，t）设第i个粒子受到的外势场为Ui（ri），粒子之间相互作用为V（r1 ，rN，t），则Schrdinger方程表示为其中而不含时Schrdinger方程表示为E为多粒子体系的能量 三、量子态叠加原理1. 量子态及其表象当（r）给定后，三维空间中一个粒子所有力学量的测值概率分布就确定了从这个意义上来讲，（r）完全描述了一个三维空间中粒子的量子态所以波函数也称为态函数2. 量子态叠加原理，测量与波函数坍缩（1） 设体系处于描述的态下，测量力学量A所得结果是一个确切直a1（1也称为A的本征态，A的本征值为a1）又假设在2态下，测量A得的结果是另一个确切值a2（2也是A的一个本征态，本

9、征值为a2） 则在所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a1，也可能为a2（但不会是另外的值），而测得结果为a1或a2的相对概率是完全确定的我们称态是1态和2态的相干叠加态（2） 按照von Neumann的看法，量子态坍缩（collapse）即在测量过程中，粒子的状态从叠加态坍缩成为某一能量本征态1.2课后习题详解1.1设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。（a）证明粒子的能量平均值为，式中（能量密度）（b）证明能量守恒公式（能流密度）证明：（a）粒子能量平均值为（设已归一化）（势能平均值）（动能平均值）其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见量子力学教程，18

10、页脚注），所以（b）按能量密度W和能流密度s的定义因此1.2 考虑单粒子的Schrodinger方程V1与V2为实函数（a） 证明粒子的概率（粒子数）不守恒；（b） 证明粒子在空间体积内的概率随时间的变化为证明：由Schrodinger方程取复共轭得积分，利用Stokes定理对于可归一化波函数，当，上式第一项（面积分）为0，而，所以 不为0，即粒子数不守恒1.3 对于一维自由粒子（a） 设波函数为，试用Hamilton算符 对运算，验证；说明动量本征态是Hamilton量（能量）本征态，能量本征值为（b） 设粒子在初始（t=0）时刻，求 （c） 设波函数为 ，可以看成无穷多个平面波的叠加，即无

11、穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态?（d） 设粒子在t=0时刻，求 解：（a）容易计算出所以动量本征态量（能量）的本征态，能量本征值为（b）其Fourier变换为由于（x，0）是能量本征态，按量子力学教程1.2节，（37） 式，（c） 对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于是无穷多个动量本征态的叠加，所以不是能量本征态（d） 因为，按量子力学教程1.2节，（5）式所以计算中利用了积分公式或，所以1.4 设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包（1） 证明初始时刻，（2） 计算t时刻的波函数解：（1）初始时刻按量子力学教程1.2节，（18）式之逆变换所以（2）按量子力学教程1.

12、2节的讨论（见1.2节，（5）式，（18） 式）可知，在t0时的波函数可见随时间的增加，波包逐渐扩散，振幅逐渐减小，而其宽度x 逐渐增大1.5 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中是（x，0）的Fourier变换提示：利用证明：根据自由粒子的动量（能量）本征态随时间变化的规律，式中所以时刻t的波函数为当时间足够长后（t），利用积分公式上式被积函数中指数函数具有函数的性质，即1.6 按照粒子密度分布和粒子流密度分布j的表示式（1.2节式（13），（14）定义粒子的速度分布v证明设想v描述一个速度场，则v为一个无旋场 证明：按照上述v的定义，可知1.7 处于势场V（r）中的粒子，在坐标

13、表象中的能量本征方程表示成试在动量表象中写出相应的能量本征方程 解：利用的Fourier变换可知即所以在动量表象中相应的能量本征方程为1.3名校考研真题详解一、选择题1光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（ ）中南大学2009研A1 B31010 C3.310-11 D8.710-21【答案】A【解析】由德布罗意波长公式,波长相同则二者动量大小必定相同，选A。2. 考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d，则干涉图样（ ）。

14、中南大学2009研图1-1A向上移动距离d B向下移动距离d C向上移动距离d2 D向下移动距离d2【答案】B【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d3. 上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则（）。中南大学2009研A干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B干涉图

15、样向上移动C干涉图样变蓝D干涉图样消失【答案】A【解析】A项，由德布罗意波长公式以及可知，当能量E增加后，动量p增加，导致电子的德布罗意波长减小，而干涉条纹间距，因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小B项，电子能量增加并不会对光程产生影响，故不影响干涉图像位置C项，电子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝D项，题中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失4. 题2中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（）。中南大学2009研A. 加倍B. 为原来的四倍 C为原来的二分之一D不变【答案】C【解析】设狭缝间

16、距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距，则显然当d加倍时，必定导致条纹间距变为原来的二分之一。5. 题2中，如果每个缝宽度加倍则干涉图样中相邻最大值之间距离（）。中南大学2009研A. 加倍B. 为原来的四倍 C为原来的二分之一D不变【答案】D【解析】设狭缝间距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距，则显然条纹间距与缝的宽度无关，即条纹间距不变。6. 题2中，如果只有一个缝的宽度加倍（原来两缝宽度相同），则（）。中南大学2009研 A干涉图样消失B干涉图样中相邻最大值之间距离改变C干涉图样向变宽狭缝移动D干涉图样的最大强度与最小强度之差减小【答案】D【解析】A项，缝宽度的变化并不会影响产

17、生干涉图样的条件 电子波长与缝的间距相近，干涉条纹不会消失B项，同样由条纹间距可知，条纹间距也不会有变化C项，缝宽度变化也不会影响光程，干涉图样位置也不会因此发生变化D项，只改变一个缝的宽度将导致从缝射出的两列光波振幅不同，因而最小强度无法变为0，最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小7. 题2中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电子是否通过该狭缝，则（）。中南大学2009研A干涉图样向装探测器的狭缝移动 B干涉图样中相邻最大值之间距离改变C干涉图样消失D干涉图样变弱【答案】C【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量不确定，以至于电子波长和频率会受到

18、极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条件之一就是参与干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失二、填空题1. 普朗克的量子假说揭示了微观粒子 特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的 性。中南大学2010研【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说，爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这位量子力学的诞生奠定了基 础2. 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的除非体系处于 。中南大学2010研【答案】本征值；定态【解析】物

19、理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值三、简答题1. 什么是定态？若系统的波函数的形式为，问（x，t）是否处于定态？湖南大学2009研答：体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化不是，体系能量有E和-E两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值2. 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由。南京大学2009研答：量子态的叠加原理：若为粒子可能处于的态，那

20、么这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处于的态叠加系数不依赖于时空变量因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量。四、计算题设一维谐振子的初态为即基态与第一激发态叠加，其中为实参数。（1） 求t时刻的波函数(x，t)。（2） 求t时刻处于基态及第一激发态的概率。（3） 求演化成-(x，t)所需的最短时间tmin。中科院2010研 解：（1）一维谐振子定态能量和波函数： 任意时刻t的波函数可表示为已知t=0时刻的波函数是由得，在n=0,1的本征态的相应能量分别为： ， 则任意时刻t的波函数可以表示为 （2） t时刻处于基态的几率为，处于第一激发态的几率 （3

21、） 设时刻粒子的波函数是，即可得，解得所以当n=1时有最小时间，即第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质 （1）此即一维粒子的能量本征方程以下定理1到4，不仅对一维问题成立，对于三维问题也同样适用1. 定理l 设（x）是方程（1）的一个解，对应的能量本征值为E，则*（x）也是方程（3）的一个解，对应的能量也是E2. 定理2 对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加3. 定理3 设V（x）具有空间反射不变性，V（-x）=v（x）如（x）是方程（1）的对应于能量本征值E的解，则（-x）也是方程（

22、1） 的对应于能量E的解（1） 空间反射算符P 空间反射算符P定义为（2） 偶宇称与奇宇称如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称（parity）对于上式中C=+1的解称为偶字称（even parity）解 对于C=-1的解称为奇宇称（odd parity）解4. 定理4 设V（-x）=V（x），则对应于任何一个能量本征值E， 总可以找到方程（3）的一组解（每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可用它们来展开5. 定理5 对于阶梯形方位势（V2V1）有限，则能量本征函数（x）及其导数（x）必定是连续的（但如，则定理不成立）6. 定理6 对于一维粒子，设1（

23、x）与2（x）均为方程（1）的属于同能量E的解，则（与x无关）（2）特殊情况：对于束缚态（bound state ，指粒子局限在有限空间中 即在无穷远处找到粒子的概率为0），当x，所以式（2）中常数必为0因此，对于同属于能量E的任何两个束缚态波函数1，与2，7. 定理7 设粒子在规则（regular）势场V（x）（V（x）无奇点） 中运动如存在束缚态，则必定是不简并的二、方势1. 无限深方势阱，离散谱（1） 无限深方势阱本征能量该本征能量表达式说明说明：并非任何E值所相应的波函数都满足本问题所要求的边条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的， 即构成的能谱是离散的（disorete）（2）

24、 无限深方势阱本证波函数归一化波函数表示为2. 有限深对称方势阱设a为阱宽，V0为势阱高度以下讨论束缚态（0EV0）情况 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取sinkx或coskx形式（1） 偶宇称态引进无量纲参数有（2） 奇宇称态同（1）可得只当时，才可能出现最低的奇宇称能级3. 束缚态与离散谱只当粒子能量取某些离散值E1，E2，E3，时，相应的渡函数1（x），2（x），3（x），才满足束缚态边条件：|x|处， （x）0这些能量值即能量本征值，相应波函数即能量本征函数4. 方势垒的反射与透射设具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒（图2-1）图2-1 一维方势（V00）

25、（a） 方势垒的反射与透射EV0（b） 方势垒的反射与透射，EV0，（c） 方势阱的反射，透射与其振，E0（1） EV0时的情况透射系数为反射系数为（2） EV0时的情况透射系数为5. 方势阱的反射、透射与共振方势阱对应的透射系数为（3）由式（3）可以看出，如，则一般说来T值很小，除非入射粒子能量E合适，使sinka=0，此时，T=1（反射系数|R|2=0），这现象称为共振透射它出现的条件是：共振时的能量（4）式（4）所确定的E，称为共振（resonance）能级三、势1. 势的穿透设质量为m的粒子（能量E0）从左入射，碰到势垒（图2-2）图2-2（3）式称为势中的跃变条件 （3）势垒的反射系

26、数和透射系数如下：2. 势阱中的束缚态要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称以下分别讨论（1） 偶宇称态归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取C为实数）（2） 奇宇称态波函数应表示为：3. 势波函数微商的跃变条件势波函数微商的跃变条件如下：四、一维谐振子1. 一维谐振子本征能量此即谐振子的能量本征值可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为2. 一维谐振子本征波函数一维谐振子波函数常用的关系式如下其中。2.2课后习题详解2.1设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数，如a=b=c，讨论能级的简并度。解：在匣子内即其中采用直角坐标系，方程的解可以分离变量。

27、再考虑到边条件能量本征函数可表示为再考虑到可以求出粒子的能量本征值为而归一化的能量本征函数为对于方匣子a=b=c，能级的简并度为满足条件的正整数解的个数。【参阅：量子力学，卷，PP420421，练习2】2.2 设粒子处于一维无限深方势阱中，证明处于能量本征态的粒子，讨论的情况，并与经典力学计算结果比较 证明：设粒子处于第n个本征态，其本征函数为在经典情况下，在区域（0，a）中粒子处于dx范围中的概率为， 所以当，量子力学的结果与经典力学计算值一致2.3 设粒子处于一维无限深方势阱中处于基态（n=1，见22节式（12），求粒子的动量分布 解：基态波函数测量粒子的动量的概率分布为。【参阅：量子力学

28、，卷I，PP8788，练习4和练习5】2.4 设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为A为归一化常数，（a）求A；（b）求测得粒子处于能量本征态的概率特别是作图，比较与曲线从来说明两条曲线非常相似，即几乎与基态完全相同，解：（a）根据归一化条件可得，所以（b）用展开，只当n=1，3，5，时， 才不为0，特别是，非常接近于1考虑到归一化条件，可知 概率几乎为0， 即与概率几乎完全相同（c）（实线）（虚线）2.5 同上题，设粒子处于基态（n=1），设t=0时刻阱宽突然变为2a，粒子波函数来不及改变，即试问：对于加宽了的无限深方势阱是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值 的概率 解：对于加宽了的

29、无限深方势阱，能量本征值和能量本征态分别为可见不再是它的能量本征态，由于势阱突然变宽，粒子波函数和能量来不及改变，粒子能量仍保持为，而可以按展开，经过计算可得所以粒子处于，即能量仍为的概率为2.6 设粒子（能量E0）从左入射，碰到下图所示的势阱，求透射系数与反射系数答：考虑上图所示势阱中粒子，可证明粒子碰到侧壁的透射系数为其中反射系数为其中不难验证概率守恒关系式【参见量子力学卷I，108页，有详细解答】2.7 利用Hermite多项式的递推关系（附录A3，式（13），证明谐振子波函数满足下列关系：并由此证明，在 态下证明：已知所以利用本征函数的正交性，可得同样，利用本征函数的正交归一性，可得2

30、.8 同上题，利用Hermite多项式的求导公式（附录A3，式（14），证明并由此证明，在 态下 证明：利用所以（利用2.7题）利用本征函数的正交性归一性，可知类似，利用本征函数的正交归一性，可得所以2.9 谐振子处于 态下，计算解：按2.7题，在 态下，所以按2.8题，在 态下，所以因而2.10 荷电a的谐振子，受到外电场 的作用， 求能量本征值和本征函数（提示：对V（x）进行配方，相当于谐振子势的平衡点不在x=0，而在点）。【解答参见量子力学习题精选与剖析上，74页，3.7题】3.7电荷为q的自由谐振子，能量算符为（1）能量本征函数记为，能级记为如外加均匀电场，使振子额外受力，从而总能量算

31、符变成 （2）新的能级记为，本征函数记为求和 ，并将用表示出来解一：H0和H中，P是动量算符，式（2）中势能项可以写成其中如作坐标平移，令由于H可以表示成比较式（1）和（6），易见H和H0的差别在于变量由x换成x，并添加了常数项，由此可知如所周知，自由振子的能级为因此如引入坐标平移算符它对波函数的作用是则H和H0的本征函数可用平移算符联系起来：反之，解二：利用自由振子的升、降算符将H0及H表示成引入则其中比较式（14）、（16），H和H0的差别在于，以及添加了常数项在题3.1中，从基本对易式出发，证明了能级公式（9）以及本征态之间的递推关系并得出了基态波函数满足的方程由于所以用同样的逻辑推理也

32、可得出H的本征值和本征函数的类似结论，只需在整个推导过程中用代替a，用代替的本征值显然就是式（10）本征函数的递推关系及基态方程则是，即得等价于，因此将中x换成和可以通过算符联系起来：2.11 设粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级，解：Schrodinger方程为此即Hermite多项式所满足的微分方程，但要求满足要保证则必须（见量子力学教程，49 页，（11）式），方程（1）的解为，为归一化常数），相应能量本征值为但根据x=0点的边界条件只能取奇数因此能量本征值只能取即只包含量子力学教程2.4节中给出的谐振子解中的奇宇称解，对于奇宇称解，自动保证2.12 一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻

33、（t=0）处于与分别为基态和第一激发态，求（b） 能量平均值 ；（c） 能量平方平均值 ；（d） 能量的涨落（e） 体系的特征时间计算解：（a）按量子力学教程21页上的讨论（见21页，（34）式和（37）式）可知所以（b）（c）（d）（e）由可以求出周期特征时间所以2.13 设粒子处于半壁无限高的势场中求粒子能量本征值，以及至少存在一条束缚能级的条件【解答参见量子力学，卷1，9497页，例1，有详细解答】*例1半壁无限高的势垒（下图）考虑一情况，分三个区域讨论： z0区域有 0xa区域有利用的边条件，可知所以 xa区域，有其中考虑到处，要求 为0的边界条件，只能取然后根据x=a处的连续条件，可

34、求出试与式（34）比较，上式可改写成所以ka处在第，象限中上式还可改为其中用图解法可以近似求出方程（47）的根下图是有5个根的情况， 这5个根是y= 的交点（交点在，象限中者）当，即无限深方势阱情况，直线变成y=0（横轴），它与的交点（在，象限中者）为ka=n，n=1，2，3，与式（6）完全一致与对称势阱不同，半壁无限深势阱中的粒子，并不一定存在束缚态，而至少有一个束缚态存在的充要条件为：在ka=2处，y=ka k#0al，即或上式平方，利用式（48），得这是对势阱的深度V0及宽度a的限制2.14 求不对称势阱（见下图）中粒子的能量本征值解：（以下限于）讨论离散能级，即情况，这时，Schrod

35、inger 方程为考虑到束缚态的边条件可表示为由在x=0和a处的连续条件，得出（1）式等价于从（2）式中的两式消去 得当时，并不是任何条件下都有束缚态，由（3）式可知，仅当时才有束缚态解如能从（3）式求出k的可能取值则相应的能量本征值为【此题的详细讨论和解答，可以参阅Landau & Lifashitz，Quantum Mechanics，Nonrelativistic Theory，22，pp6566】2.15 设谐振子初态为与基态相同的Gauss波包，但波包中心不在x=0点，而是在点，（1） 计算（2） 讨论波包中心的运动规律，与经典谐振子比较，考虑波包形状（波包宽度Ax）是否随时间改变?

36、试与自由粒子的Gauss波包随时间的演化比较【此题的详细讨论和解答可以在量子力学，卷，128131页中找到】答：设处于谐振子势中的粒子在初始时刻（t=0）状态为即波形与基态波函数#0（X）相同，但波包中心不在谐振势的平衡点（X=0），而在X=X#0点从经典力学观点来看，粒子将围绕平衡点振动从量子力学来看，这个态就不可能是一个定态（处于定态的粒子，其空间分布概率密度不随时间改变）事实上，它既不再是基态， 也不是任何一个能量本征态，而是无限多个能量本征态按一定的权重的相干叠加，即即的能量本征态可以证明更简单的计算方法是用代数方法，即用平移算符作用于基态波函数0（x）而得出 利用谐振子的升降算符可以

37、表示为于是（无量纲）利用代数恒等式式中C=A，B，并假定A，C=B，C=0按照 ，可得所以与式（3）一致。按式（2）、（3）及，可得出t时刻的波函数因此与相比，可见是一个围绕x=0点振荡的Gauss波包，波形不变（波包不扩散），波包中心位置在处与经典振子（初位置在X=x#0处）的振动规律完全相同所以相干态是一个最理想的准经典态2.16 对于一维粒子，证明：使坐标与动量不确定度之积取最小值的波包必为Gauss型波包。【详细证明见，LISchiff，Quantum Mechanics，（第3版）61 62页】2.3名校考研真题详解一、选择题一维自由电子被限制在x和x+x处两个不可穿透壁之间，x=0

38、.5埃，如果E0是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（）中南大学2009研A. 2E0 B3E0 C4E0 D8E0【答案】C【解析】一维无限深方势阱中能级公式为，则可知，较高级能量与基态能量比值为，由题意，基态能量为，则第一激发态能量为二、填空题1. 自由粒子被限制在x和x1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理如果没有给出其他资料，则粒子在x和x13之间的概率是 。中南大学2010研 A025B033C011 D067【答案】B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为2. 上题中，按照量子力学处于最低能态的粒子在x和x+l/3之间

39、被找到的概率是 A019 B072 C033 D050【答案】A 。中南大学2010研【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即三、计算题1. 在一维情况下，若用Pab（t）表示时刻t在axb区间内发现粒子的几率（a） 从薛定谔方程出发，证明 =J（a,t）-J（b,t），其中J（x,t） 是几率流密度（b） 对于定态，证明几率流密度与时间无关华南理工大2009研 解：（a）设t时刻粒子的波函数 ，波函数满足薛定谔方程： （1） 对（1）两端取复共轭得， （2）做运算得上式两边同除以移项得，则几率流密度公式为，上式可表示为，两端积分得：又由于t时刻在区间（a，b）内发现粒子的几率为： 代入上式

40、可得，（b）对于定态波函数，代入几率流密度方程可得，是一个与t无关的量，故定态的几率流密度与时间无关2. 证明（x）=A（22x2-1） 是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量式中A为归一化常数，华南理工大2009研解：已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为，本题中波函数所以是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2，因此容易得到其，本征能量为3. 质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动（a） 建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程（b） 当粒子处于状态（x）= 1（x）+ 2（x）时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率其中1（x）和2（x）分别是基态和第一激发态（c） 若上式的（x）是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数华南理工大学2010研解：（a）如图建立坐标系，图2-1设 ，哈密顿算符波函数满足薛定谔方程当时，=0； 当时，令，则 的通解可表示为利用边界条件得， 由归一化可解得，定态薛定谔方程的解为