复数的知识点总结与题型归纳(DOC 8页).docx
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1、复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1复数的有关概念我们把集合C中的数,即形如abi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位全体复数所成的集合C叫做复数集复数通常用字母z表示,即zabi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式对于复数zabi,以后不作特殊说明都有a,bR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部说明:(1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成abi(a,bR)的形式,其中000i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数zabi只有在a,bR时才是复数的代数形式,否则不是代数形式2复数相等在复数集C中任取两个数abi,cdi(a,b,c,dR),我们规定:ab
2、i与cdi相等的充要条件是ac且bd.3复数的分类对于复数abi,当且仅当b0时,它是实数;当且仅当ab0时,它是实数0;当b0时,叫做虚数;当a0且b0时,叫做纯虚数这样,复数zabi可以分类如下:复数z说明:复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4复数的几何意义(1)复数zabi(a,bR) 复平面内的点Z(a,b)(2)复数zabi(a,bR) 平面向量.5复数的模(1)定义:向量OZ的模r叫做复数zabi(a,bR)的模(2)记法:复数zabi的模记为|z|或|abi|.(3)公式:|z|abi|r(r0,rR)说明:实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数;除了原点外
3、,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z00i0,表示的是实数6复数的加、减法法则设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则z1z2(ac)(bd)i,z1z2(ac)(bd)i.7复数加法运算律设z1,z2,z3C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3)8复数加、减法的几何意义设复数z1,z2对应的向量为,则复数z1z2是以,为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数,z1z2是连接向量与的终点并指向的向量所对应的复数它包含两个方面:一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理,另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解
4、释,使复数作为工具运用于几何之中9复数代数形式的乘法法则设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.10复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3C,有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)分配律z1(z2z3)z1z2z1z311.共轭复数已知z1abi,z2cdi,a,b,c,dR,则(1)z1,z2互为共轭复数的充要条件是ac且bd.(2)z1,z2互为共轭虚数的充要条件是ac且bd0.12复数代数形式的除法法则:(abi)(cdi)i(cdi0)说明:在进行复数除法时,分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi
5、,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似二、题型总结题型一:复数的概念及分类典例实数x分别取什么值时,复数z(x22x15)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解(1)当x满足即x5时,z是实数(2)当x满足即x3且x5时,z是虚数(3)当x满足即x2或x3时,z是纯虚数复数分类的关键(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式zabi(a,bR)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a,bR),则z为实数b0,z为虚数b0,
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