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类型最新排列组合知识点汇总及典型例题(全)(DOC 8页).doc

  • 上传人(卖家):2023DOC
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  • 上传时间:2023-04-29
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    最新排列组合知识点汇总及典型例题全DOC 8页 最新 排列组合 知识点 汇总 典型 例题 DOC
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    1、精品文档一基本原理1加法原理:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。二排列:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一1.公式:1. 2. (1) (2) ;(3)三组合:从n个不同元素中任取m(mn)个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ; 若四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事(审题) 有序还是无序 分步还是分类。2解排列、组合题的基本

    2、策略(1)两种思路:直接法;间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。(4)两种途径:元素分析法;位置分析法。3排列应用题:(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先

    3、考虑、特殊位置优先考虑;(3)相邻问题:捆邦法:对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。(5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加

    4、排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;(6)“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。(8)数字问题(组成无重复数字的整数) 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数能被4整除的

    5、数的特征:末两位是4的倍数。 能被5整除的数的特征:末位数是0或5。能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。4组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2) “含”与“不含” 用间接排除法或分类法:3分组问题:均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。4分配问题:定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人

    6、数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22A4448. 从而应填48例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?解一:间接法:即解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.(1) 甲排在最右端时,有种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲

    7、有种排法,乙有种排法,其他人有种排法,共有种排法,分类相加得共有+=504种排法例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生,有A种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有种,选.解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;

    8、故不同的取法有台,选.2从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛(1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题.解:(1)先从男生中选2人,有种选法,再从女生中选2人,有种选法,所以共有=60(种);(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有=21(种);(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得

    9、到符合条件的选法数:=91(种);直接法,则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数=91(种).(4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数=120(种).直接法:分别按照含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为=120(种).16个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为()A40 B50 C60 D70 解析先分组再排列,一组2人一组4人有C15种不同的分法;两组各3人共有10种不同的分法,所以乘车方法数为25250,故选B.2有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36种 B48

    10、种 C72种 D96种 解析恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共AA72种排法,故选C.3只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A6个 B9个 C18个 D36个 解析注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有AC6(种)排法,所以共有3618(种)情况,即这样的四位数有18个4男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有()A2人或3人

    11、B3人或4人 C3人 D4人 解析设男生有n人,则女生有(8n)人,由题意可得CC30,解得n5或n6,代入验证,可知女生为2人或3人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A45种 B36种 C28种 D25种 解析因为108的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28种走法6某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A24种 B36种 C38种 D108种 解析

    12、本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C种分法,然后再分到两部门去共有CA种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C种方法,由分步乘法计数原理共有2CAC36(种)7已知集合A5,B1,2,C1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36 解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有CA12个;所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有

    13、1个1的有CAA18个;所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C3个故共有符合条件的点的个数为1218333个,故选A.8由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144 解析分两类:若1与3相邻,有ACAA72(个),若1与3不相邻有AA36(个)故共有7236108个9如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A50种 B60种 C120种 D210种 解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有

    14、6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法CA120种,故选C.10安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有_种(用数字作答) 解析先安排甲、乙两人在后5天值班,有A20(种)排法,其余5人再进行排列,有A120(种)排法,所以共有201202400(种)安排方法11今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有_种不同的排法(用数

    15、字作答) 解析由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有CCC1260(种)排法12将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_种(用数字作答) 解析先将6名志愿者分为4组,共有种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A种分法,故所有分配方案有:A1 080种13要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有_种不同的种法(用数字作答) 解析5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,有432(1211)72种14. 将标号为1,2

    16、,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共

    17、有种方法故共有1008种不同的排法排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法2,排列 排列定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数定义;从n个不同元素中,任取m(mn)个元素的所有排列的个数公式 = 规定0!=13,组合 组合定义 从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数

    18、 从n个不同元素中,任取m(mn)个元素的所有组合个数 = 性质 = 排列组合题型总结一 直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位,数字6不在千位。分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,由乘法原理:=2402特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下的有,共有=192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法=252Eg 有五张卡片,它的

    19、正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数? 分析:任取三张卡片可以组成不同的三位数个,其中0在百位的有个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法)(2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻)(3) 两端不能排女生(4) 两端不能全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原

    20、节目顺序,有多少中插入方法? 分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有=100中插入方法。三 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(),2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有()(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列)四 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用

    21、法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有种五 平均分推问题 eg 6本不同的书按一下方式处理,各有几种分发?(1) 平均分成三堆,(2) 平均分给甲乙丙三人(3) 一堆一本,一堆两本,一对三本(4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本 分析:1,分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有=6种,而这

    22、6种分法只算一种分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 2,六本不同的书,平均分成三堆有x种,平均分给甲乙丙三人就有x种 3, 5, 五 合并单元格解决染色问题Eg 如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。 分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素 的全排列数 ()当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形()类似同理可得 种着色法()当2、4与3、5分别同色时,将

    23、2、4;3、5分别合并,这样仅有三个单元格 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有种方法 由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)练习1(天津卷(文)将3种作物种植 13、你是否购买过DIY手工艺制品?2是 否3(3)优惠多45 “碧芝”隶属于加拿大的公司。这家公司原先从事首饰加工业,自助首饰的风行也自西方,随着人工饰品的欣欣向荣,自制饰品越来越受到了人们的认同。年碧芝自制饰品店在迪美购物中心开张,这里地理位置十分优越,交通四八达,由于是市中心,汇集了来自各地的游客和时尚人群,不用担心客流量问题。迪美有多家商铺,不包括柜台,现在这个商铺的位置还是比较合适的,位于中心地带,左

    24、边出口的自动扶梯直接通向地面,从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央,周边、条地下通道都交汇于此,从自家店铺门口经过的的顾客会因为好奇而进看一下。月生活费人数(频率)百分比在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , (1)价格低不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)营销调研课题2某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种(以数字作答)(120)(3)个性体现标题:手工制作坊 2004年3月18日(三)上海的文化对饰品市场的影响图3 图43如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数(540)4如图5:四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)图5 图65将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共 种(420) 精品文档

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