立体几何知识点和例题(含有参考答案)(DOC 14页).doc
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1、【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质,空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及
2、它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定,进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形)的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路,会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系(1)角相交直线所成的角;异面
3、直线所成的角转化为相交直线所成的角;直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角;二面角用二面角的平面角来度量。(2)距离两点之间的距离连接两点的线段长;点线距离点到垂足的距离;点面距离点到垂足的距离;平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离;异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长;线面距离平行线上一点到平面的距离;面面距离平面上一点到另一平面的距离;球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系:4.在直接证明有困难
4、时,可考虑间接证法,如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归,各种具体方法如下:(1)求空间中两点间的距离,一般转化为解直角三角形或斜三角形。(2)求点到直线的距离和点到平面的距离,一般转化为求直角三角形斜边上的高;或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高,即用体积法。(3)求异面直线所成的角,一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线;或过空间任一点分别作两异面直线的平行线,这样就作出了两异面直线所成的角,构造一个含的三角形,解三角形即可。方法二是补形法:将空间图形补成熟悉的、完整的几何体,这样有利于找
5、到两条异面直线所成的角。(4)求直线与平面所成的角,一般先确定直线与平面的交点(斜足),然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线,再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影),最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形,求出直线与平面所成的角。(5)求二面角,一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角,就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有:根据定义作二面角的平面角;垂面法作二面角的平面角;利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角;无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法:即在一个平面上的图形面积为S,它在另一个平面上的投影面积为S,这两个平面的夹角为,则S=
6、Scos。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程,推理是运算的基础,运算只是推理过程的延续。如求二面角,只有根据推理过程找到二面角后,进行简单的运算,才能求出。因此,求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例1 如图7-1,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1,A1B1,BC,CD,DA,DE,CL的中点。(1)求证:EFGF;(2)求证:MN平面EFGH;(3)若AB=2,求MN到平面EFGH的距离。解 (1)如图7-2,作GQB1C1于Q,连接FQ,则GQ平面A1B1C1D1,且Q为B1C1的中
7、点。在正方形A1B1C1D1中,由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ,由三垂线定理得EFGF。(2)连DG和EG。N为CL的中点,由正方形的对称性,N也为DG的中点。在DEG中,由三角形中位线性质得MNEG,又EG平面EFGH,MN平面EFGH,MN平面EFGH。(3)图7-3为图7-2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h,VENGH=VNHEGAA1SNHG=hSHEG2=hEHHG又EH=,HG= =hh=例2 如图7-4,已知ABC中, ACB=90,CDAB,且AD=1,BD=2,ACD绕CD旋转至ACD,使点A与点B之间的距离AB=。(1
8、)求证:BA平面ACD;(2)求二面角ACDB的大小;(3)求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。解 (1)CDAB,CDAD,CDDB,CD平面ABD,CDBA。又在ADB中,AD=1,DB=2,AB=,BAD=90,即BAAD,BA平面ACD。(2)CDDB,CDAD,BDA是二面角ACDB的平面角。又RtABD中,AD=1,BD=2,ADB=60,即 二面角ACDB为60。(3)过A作AEBD,在平面ABD中作DEAE于E,连CE,则CAE为AC与BD所成角。CD平面ABD,DEAE,AECE。EAAB,ADB=60,DAE=60,又AD=1,DEA=90,AE=又在RtACB中,AC=
9、AC=AC=RtCEA中,cosCAE=,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为。例3 已知三棱锥PABC中,PA平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC。(1)求三棱锥PABC的体积V;(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE,并求AE的长;(3)求二面角APCB的大小。解 (1)PA平面ABC,PB=PC,由射影定理得,AB=AC=4。PA平面ABC,PAAC。在RtPAC中,可求出PC=5。则PB=BC=5。取BC中点D,连AD。在等腰ABC中,求出底边上的高AD=。V=53=。 (2)连PD,则PDBC,又ADBC,BC平面PAD。又BC平面PBC,平面PAD平面PBC。作AEPD
10、于E,则AE平面PBC,AE为点A到平面PBC的垂线段。在RtPAD中,由PAAD=AEPD,得3=AE,求出AE=。(3)作AFPC于F,连EF,由三垂线定理逆定理,得EFPC,AFE为二面角APCB的平面角。在RtPAC中,由PAAC=PCAF,即34=5AF,求出AF=,sinAFE=,则AFE=arcsin。例4 如图7-7,已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A与AB,AC均成45角,且A1EB1B于E,A1FCC1于F。(1)求证:平面A1EF平面B1BCC1;(2)求点A到平面B1BCC1的距离;(3)当AA1多长时,点A1到平面ABC与平面B1BCC
11、1的距离相等?解 (1)已知A1EB1B于E,A1FC1C于F,且B1BC1C, B1BA1F。又A1EA1F=A1,B1B平面A1EF。平面A1EF平面B1BCC1。(2)因为A1B1B=A1AB=A1AC=A1C1C=45,A1B1=A1C1,A1EB1=A1FC1=90,A1B1=2,RtA1B1ERtA1C1F, A1E=A1F=,B1EC1F,EF=B1C1=2,A1E2+A1F2=EF2,A1EF为等腰直角三角形,取EF的中点N,连A1N,则A1NEF,A1N平面B1BCC1,A1N为点A1到平面B1BCC1的距离。又有A1N=EF=1,所以点A1到平面B1BCC1的距离为1。(3
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