沪教版(上海)七年级第二学期-第十四章-三角形-吃透全等基础知识点+题型巩固35题(含答案)(DOC 26页).docx

1、全等三角形知识框架：知识精讲：全等图形：能够完全重合的两个图形。 形状完全相同，大小相等。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。全等三角形的周长相等，全等三角形的面积也相等。注意事项：一、 全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时关键是寻找对应角和对应边。二、 正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念。一般地：对应边、对应角针对全等三角形，对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角。例如：如图，ABC和DEF全等，记作ABCDEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应

2、边；A和D,B和E,C和F是对应角。三、 表示两个角全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；也就是题中出现两个三角形全等我们就可以利用对应的字母寻找对应角以及对应边。“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对应角对应相等”的两个三角形不一定全等；四、 时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。全等交换：全等变换是指只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.如图，把ABC沿直线BC移动线段BC的距离,可以变到ECD的位置;如图,以直线BC为轴把ABC翻折，可以变到DBC的位置；如图，以点A以点为中心把ABC旋转180，可以变到AED的位置.像这样，只改变图形

3、的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换.在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素.以上三种全等变换分别叫做平移变换、翻折变换和旋转变化.例题： 如图， ABC和DEF全等，问经过怎样的图形变换，可使这两个三角形重合？分析：解法一:先将DEF沿着CB方向平移，使点E与点B重合（此时点F与点C重合)，再将移动后的DEF沿着直线BC翻折，此时DEF与ABC重合解法二：先把DEF沿直线以EF翻折，再把翻折后的DEF沿着CB方向平移，使点E与点B重合，则DEF与ABC重合.经典题型：判定两个三角形全等的条件：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）在ABC和ABC中

4、AB=ABAC=ACBC=BCABCABC（SSS）例题：1、已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AC=DF,AB=DF,BE=CF.求证：ACDF.分析：BE=CFBC=EF在ABC和DEF中AB=DEBC=EFAC=DFABCDEF（SSS）ACB=FACDF.2、已知，如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证：ABCDEF.分析：AF=DCAF-CF=DC-CF,即AC=DF在ABC和DEF中AC=DFAB=DEBC=EFABCDEF（SSS）3、如图，ABCD,AEDF,CEFB,求证：BAECDF.分析：CE=BF,CE+EF=BF+EF,即C

5、F=BE.在ABE和DCF中AB=DCAE=DFBE=CFABEDCF(SSS).BAE=CDF（全等三角形的对应角相等）.判定两个三角形全等的条件：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角，要注意隐含的等角，如等角、公共角、对顶角、角平分线等；在书写“SAS”的格式时，要按照“SAS”的顺序书写，以表明三个元素的位置关系；“SSA”不能证明两个三角形全等.在ABC和ABC中 AB=ABA=A AC=ACABCABC（SAS）例题：1、 如图，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC,DAB=

6、CBA,求证：AC=BD分析：在ADB和BAC中AD=BCDAB=CBAAB=BAADBBCA(SAS)BD=AC2、 如图，点A、B、C、D在同一直线上，CEDF,AC=DF,CE=BD,求证：A=F.分析：CEDFACE=D在ACE和FDB中AC=FDACE=DCE=DBACEFDB（SAS）A=F.3、 如图，AB=AD,AC平分BAD,求证：ABCADC.分析：AC平分BAD,BAC=DAC.在ABC和ADC中AB=ADBAC=DACAC=AC ABCADC(SAS).判定两个三角形全等的条件：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）在ABC和ABC中

7、B=BBC=BC C=CABCABC（ASA）例题：1、 已知，C=CAF=90，点E在AC上，且AE=BC,EFAB于点D.求证AB=FE分析：EFAB于点D,ADE=901+2=90又C=901+B=90B=2在ABC和FEA和B=2BC=AEC=FAEABCFEA(ASA)AB=FE2、 如图，已知EC =AC，BCE=DCA，A=E，求证：BC=DC.分析：由已知条件求得BCA=DCE，再利用“ASA”判定BCADCE，即可得证 证明BCE=DCA， BCE+ACE= DCA+ACE， 即BCA=DCE.又AC=EC，A=E， BCADCE(ASA)BC =DC.判定两个三角形全等的条

8、件：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）“AAS”是由“ASA”推导得出的，将两者结合起来可知：两个三角形如果其备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等在ABC和ABC中 B=BC=CAB=ABABCABC（AAS）例题：1、如图，已知1=2，C=D,求证：OC=OD.分析：在ABC于BAD中1=2C=DAB=BAABCBAD（AAS）AD=BC1=2AO=BOAD-AO=BC-BO即OC=OD.2、已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC,点D是BC的中点，CEAD，垂足为点E,BFAC交CE的延长线于点F.求证：AC=2BF.分析：BF

9、ACF=FCARtACD中，CEADBCF+F=90，BCF+ADC=90F=ADC在ACD和CBF中ACD=CBF=90F=ADCAC=BCACDCBF(AAS)CD=BFD为BC中点CD=BDBF=CD=BD=12BC=12AC则AC=2BF判定两个直角三角形全等的方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边与直角边”或“HL”）在RtABC和RtABC中AB=ABBC=BCRtABCRtABC（HL）例题：1、如图，已知ABBD,ABED,AB=ED,要说明ABCEDC,若以“SAS”为依据，还要添加的条件为？若添加条件AC=EC.则可以用-公理（或定理）判定全等。分

10、析：ABBD,ABEDEDBDB=D=90第一小问：AB=ED在ABC和EDC中当BC=DC时，ABCEDC(SAS)第二小问：在RtABC和RtEDC中AB=EDAC=ECRtABCRtEDC(HL)3、 已知：如图，AB=AC,点D是BC的中点，AB平分DAE.AEBE,垂足为E.求证：AD=AE.分析：AB=AC,点D是BC的中点，ADBCADB=90AEABE=90=ADBAB平分DAEBAD=BAE在ADB和AEB中ADB=EBAD=BAEAB=ABADBAEB(AAS)AD=AE4、如图，AD是ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC予点F，且BE=AC，DE=AC，你能说明

11、BE与AC垂直吗？分析： 能只要说明BFA= 90即可，即只要说明l+2 =90即可，又1+4=90，2=3，所以只要说明3=4即可应考虑BED和ACD全等以下证明略关于三角形全等的总结：一般三角形的判定方法1.定义法：能够完全重合的两个三角形全等2.SAS：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等3.ASA：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等4.AAS：两个角及其其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等5.SSS：三条边对应相等的两个三角形全等直角三角形的判定方法1.定义法；2.SAS；3.ASA；4.AAS；5.SSS；6HL不能判定三角形全等的两种情况1.SSA：有两边和其中一边对角对

12、应相等的两个三角形不一定全等2.AAA：有三个角对应相等的两个三角形不一定全等温馨提示 判定两个三角形全等的每件中，“边”是必不可少的. “SAS”包含“边”和“角”两种元素，是两边夹一角而不是两边和其中一边对角对应相等，一定要注意元素的“对应”关系.“HL”是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立能力提升：（简单中等练习题）1、如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB,BCDF,C=F,求证AC=EF【解析】CABFED（AAS）2、已知：如图，点D是ABC内的一点，且满足BD=CD,ABD=ACD,求证：AB=AC;ADBC【解析】（1）BD=CD，则DBC=DCB，所以ABC=A

13、CB，则AB=AC（2）证ABDACD（SAS）得AD平分BAC延长AD与BC相交，根据等腰三角形三线合一性质可证的ADBC4、 如图，四边形ABCD中，AD=BC,且ADBC，E、F是对角线AC上两点，AE=CF.求证ADFCBE.【解析】由AE=CF得AF=CE，索伊ADFCBE（SAS）5、 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF.求证：ADEBFE连接EG,判断EG与DF的位置关系，并说明理由.【解析】（1）ADEBFE（ASA）或（AAS）（2）由（1）可知E是FD的中点，因为GDF=ADF=F，GD=

14、GF根据等腰三角形三线合一的性质，GE垂直且平分DF6、 已知，如图ABC中，AB=AC,A=50，BD=CE,BF=CD,求FDE的度数。【解析】A=50，AB=AC得出B=C=65可证FBDDCE（SAS）得BFD=CDE得EDF=B=657、 如图，ACBD于点C,F是AB上一点，FD交AC于点E,B=D互余。（1） 试说明：A=D.（2） 若AE=1，AC=CD=2.5，求BD的长.【解析】（1）B+D=90得DFAB，根据8字型（A+AFD=D+ACD）可证A=D（3） 根据ASA可证ABCDEC，得BD=BC+CD=1.5+2.5=48、 如图，ABC中，AB=AC,A=36，DE

15、垂直平分AB,BEC的周长为22，BC=9.（1） 求EBC的度数.（2） 求三角形ABC的周长.【解析】（1）AB=ACABC=（180-36）2=72又ED垂直平分ABA=ABEEBC=72-36=36（2）根据垂直平分线的性质得AE=BEAC+BC=22根据BC=9可得AC=13CABC=359、 如图在ABC与ABD中，BC=BD,点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE,AF,AE=AF.求证C=D.【解析】先证ABEABF（SSS），再证ABCABD（SAS）即可10、 已知：如图，在等腰直角ABC中，BAC=90，BD平分ABC，交AC于点D,过点C作CEBD,交BD的延长线于点

16、E,交BA的延长线于点F,连结DF.(1) 求证：BD=CF(2) 若CE=4，求BDF的面积.【解析】（1）证BADCAF（ASA）即可（2）根据BD是角平分线，CEBD可证BF=BC且E是CF的中点所以SBDF=BDEF=84=1611、 如图，点C在线段AB上，ADEB,AC=BE,AD=BC,CF平分DCE.求证：ACDBEC；CFDE.【解析】（1）SAS可证三角形全等（3） 等腰三角形的性质，底边上三线合一可证CFDE12、 如图，在ABC中，AB=CB,ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1） 若CAE=30，求ACF的度数.（2） 求证：AB=CE

17、+BF.【解析】（1）FBCEBA（HL）得EAB=FCB=15，所以ACF=60（3） 由（1）可知BF=BE，AB=BC=CE+BE=CE+BF13、 已知ABC，其中AB=BC=AC，BAC=B=ACB=60，点D、E分别在AB,BC上且AD=BE,线段AE,CD相交于点F.（1） AE与CD相等吗？请说明理由.（2） 求AFC的度数.【解析】（1）ABECAD（SAS）得AE=CD（2）AFC=EAD+ADC=EAD+AEB=12014、如图，ABC是等边三角形，点E、F分别在边AB和AC上，且AE=BF.（1）求证：ABEBCF（2）若ABE=20，求ACF的度数（3）猜测BOC的度

18、数并证明你的猜想【解析】（1）ABEBCF（SAS）（2）ACF=ACB-FCB=40（3）BOC=120；BOF=A=60（A字型：即BOF+BFO=A+AEB）15、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC,AE是边BC的中线，过点C作CFAE，垂足点为F，过点B作BDBC交CF的延长线于点D.（1）试说明：AF=CD（2）若AC=12cm，求线段BD的长度.【解析】（1）证明DBCECA（AAS或ASA）（2）由（1）可知BD=EC= AC16、如图：在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上.（1）求证：BE=CE.（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC,垂

19、足为F,BAC=45，原题设其他条件不变，求证：AEFBCF.【解析】等腰三角形三线合一的性质等腰三角形底边中线，垂线，顶角角平分线三线合一。（1）AD是BC的垂直平分线，BE=CE（2）CAD=22.5，FBC=22.5，AF=BF，所以AEFBCF（ASA）17、如图，在ABC和DBC中，ACB=DBC=90，E是BC的中点，DEAB,垂足为点F，且AB=DE.（1）求证：DB=BC.（2）若BD=6cm，求AC的长.【解析】（1）证DBEBCA（AAS/ASA）（3） AC=3cm18、在ABC中，BC=AC,BCA=90，P为直线上AC上一点，过点A作ADBP于点D，交直线BC于点Q.

20、（1）如图1，当P在线段AC上时，请说明：BO=AQ.（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？【解析】（1）证CBPCAQ（AAS）（2）成立19、如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC,ADBC，垂足为D,AE平分BAD,交BC于点E，在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC.（1）求证：BE=CF（2）在AB上取点M，使BM=2DE,连接MC，连接MC，交AD于点N,连接ME,求证：MEBC；CM平分ACB；DE=DN.【解析】（1） AFCAEB（ASA） 20、如图，AD是BAC平分线，点E在AB上，且AE=AC，EFBC交AC于点F,AD与CE于点G,与

21、EF交于点H.（1）证明：AD垂直平分CE（2）若BCE=40，求EHD的度数.【解析】（1）证AEGACG（SAS）即可（2）5021、如图，ABC=90，D,E分别在BC、AC上，ADDE,且AD=DE,连结MC.（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？请说明理由.【解析】添加条件：“F是AE中点”（1）ADMDEC（AAS），FD=DE；FM=FC（2）ADMC，EDMC，ADDE；ADMC22、图中是一副三角板， 45的三角板 Rt DEF的直角顶点 D 恰好在 30 的三角板 Rt ABC斜边 AB 的中点处，A=30，E= 45，EDF=ACB= 90， DE 交 AC

22、 于点G ，GM AB于点M （1）如图 1，当DF 经过点C 时，作CN AB于点N ，求证： AM= DN （2）如图 2，当 DF AC时，DF 交 BC 于H ，作 HN AB于N ，（1）的结论仍 然成立，请你说明理由分析：】 A= 30 ，ACB=90，D是AB 的重点，BC=BD,B=60BCD是等边三角形又CNDB,DN=12DB，EDF=90，BCD是等边三角形ADG=30，而A=30，GA=GDGMAB,AM=12AD又AD=DB，AM=DN（2）DFAC,BDF=A=30，AGD=GDH=90，ADG=60B=60，AD=DBADGDBH，AG=DH又BDF=AGMAB，HNABAMGDNH,AM=DN.23、已知：BD CE是ABC的高，点 P 在 BD的延长线上，BP =AC ，点Q 在CE 上，CQ =AB =，求证： AP =AQ =； APAQ 【解析】如图，设CE 交 BD于F 由BD垂直 CA，CEAB ，知BEF= CDF=90而 BFE=CFD，故ABD=QCA 由已知，有AB =QC ，BP= CA ，从而ABPQCA D D即有AP=AQ . 由可得AQC=PAB，而AQC =QEA+QAE=QAE+90 =PAB=PAQ+QAE从而可得PAQ =90，即APAQ .