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1、第一节第一节 函数函数一、函数的概念一、函数的概念三、分段函数三、分段函数四、函数的几种简单性质四、函数的几种简单性质二、初等函数二、初等函数第一章第一章 函数和极限函数和极限一、函数的概念一、函数的概念 1 1常量与变量常量与变量 注意注意 一个量究竟是常量还是变量一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的不是绝对的,要要根据具体过程和条件来确定根据具体过程和条件来确定.而在过程中可取不同数值的量称为而在过程中可取不同数值的量称为变量变量.在某过程中始终保持同一数值的量称为在某过程中始终保持同一数值的量称为常量常量,例如：人的身高例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是在研究少儿发育成长的过程

2、中是常量常量；而在研究成人的健康状况时通常是；而在研究成人的健康状况时通常是变量变量函数的概念函数的概念因变量因变量自变量自变量)(xfy Dx是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域域而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域.Dxy定义定义1-1 设和是同一变化过程中的两个变量，设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律，的每一允许的取值，按照一定的规律，变量变量 总有一个确定值与之对应，则称变量总有一个确定值与之对应，则称变量 是变量是变量 的函数变量的

3、函数变量 称为自变量，变量称为自变量，变量 称为因变量称为因变量.记为记为xyyxxyxy注意注意1 在实际问题中在实际问题中,定义域是由实际问题决定的定义域是由实际问题决定的.注意注意2 2 函数的两要素为：函数的两要素为：定义域定义域与与对应规律对应规律 注意注意3 3 函数的表示法有函数的表示法有:公式法、图像法和表格法公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化这三种表述各有特点并可以相互转化 因此因此,两个函数只有当它们的两个函数只有当它们的对应规律对应规律和和定义域定义域都完都完全相同时全相同时,才认为是两个相同的函数才认为是两个相同的函数.例例1-1 在出生后在出生后

4、 16个月期间内个月期间内,正常婴儿的体重近正常婴儿的体重近似满足以下关系似满足以下关系:xy603.,61x公式法公式法tTo370t)(0tT 例例1-2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线的变化曲线,如下图示如下图示:例例1-3 某地区统计了某年某地区统计了某年112月中当地流行性出血月中当地流行性出血热的发病率热的发病率,见下表见下表 (月份)()12345678910111216.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0ty（5）三角函数）三角函数,cot,tan,cos,sinx

5、yxyxyxy.csc,secxyxy（4）对数函数）对数函数);1,0(logaaxya（3）指数函数）指数函数);1,0(aaayx（2）幂函数）幂函数);(为为任任意意实实数数 xy （1）常函数）常函数);(是是实实数数ccy 二、初等函数二、初等函数1.基本初等函数基本初等函数（6）反三角函数）反三角函数,arctan,arccos,arcsinxyxyxyxarcycot等等.)(ufy)(xu)(xfy变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个

6、中间变量的传递而构成的变量的传递而构成的u,arctan,lg1xvvuuy 例例1-4 设设求求 关于关于yx的复合函数的复合函数2.复合函数复合函数 定义定义1-2 设变量设变量 是变量是变量 的函数的函数,变量又是变量变量又是变量yuux的函数的函数,即即xuy 如果变量如果变量 的某些值通过变量的某些值通过变量 可以确定变量可以确定变量 的值的值,则称则称 是是 的复合函数的复合函数,记为记为xy例例1-5 设设,)(,)(xxxgxxf12试求试求)(),(xffxgf).(),(xggxfg解解42221xxxffxxxgf)()(,)()(xxxxxxxggxxxfg211111

7、22)(,)(解解 这里，变量传递顺序是规定好了的，这里，变量传递顺序是规定好了的，是的中是的中间变量，间变量，是是 的中间变量，故依次代入可得的中间变量，故依次代入可得vuuy)1arctan(lgxy).,1(x 可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合意义，或者说它们不能复合例如例如，22xuuy,arcsin就不能复合因为就不能复合因为,122 x)arcsin(22xy的定义域为空集的定义域为空集,即函数即函数)arcsi

8、n(22xy无意义无意义.例例1-6 将下列复合函数将下列复合函数“分解分解”为简单函数为简单函数)sin()(cbxay 1kxay21 2)()coslg()(xy211 3解解cbxuuay,sin)(1kxvuuayv,)(21 2xvvuuycos,lg)(211 3 注意注意 简单函数简单函数是指基本初等函数或由基本初等函是指基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算而得到的函数数经过四则运算而得到的函数.定义定义1-3 由基本初等函数经过有限次的四则运算以由基本初等函数经过有限次的四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，

9、称为初初等函数等函数3.初等函数初等函数 在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数为分段函数0,10,12)(2xxxxxf例例1-7三、分段函数三、分段函数12 xy12 xyxyo这是一个分段函数，如图这是一个分段函数，如图 例例1-8 设某药物的每天设某药物的每天剂量为剂量为y(单位单位:毫克毫克),对于对于16岁以上的成年人用药剂量是一常数岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为设为2mg.而对于而对于16岁以下的未成年人岁以下的未成年人,则每天用药剂量则每天用药剂量y 成比于年龄成比于年龄x,比例比例常数为常数为0.125mg/岁

10、岁,其函数关系为其函数关系为1621601250 xxxy.o162xy0,10,00,1)(xxxxf当当当1-1xyo 定义为：当定义为：当 时时，例例1-9 设设)(xf0 xxxxf/)(当当 时，时，则则0 x0)(xf1.有界性有界性四、函数的几种简单性质四、函数的几种简单性质.),()(内内无无界界在在则则称称函函数数如如果果不不存存在在这这样样的的baxfM，对对于于所所若若存存在在正正数数内内有有定定义义在在设设函函数数,.),()(Mbaxf.),()(,)(),(内有界内有界在在则称函数则称函数恒有恒有有的有的baxfMxfbax有界有界M-Myxoy=f(x)bay无界

11、无界M-Mxo0 xbaRxy上上有有界界在在函函数数例例如如sin,.),(,),(上上有有界界在在内内无无界界在在而而函函数数1101xy2.单调性单调性)(xfy)(1xf)(2xfxyoab)(xfy)(1xf)(2xfxyoba增函数增函数减函数减函数 设设 、是函数是函数 在定义区间在定义区间 内的任意内的任意两点两点,且且.若若,则称在则称在内是单调递增的内是单调递增的;若若,则称在则称在 内是内是单调递减的单调递减的.)(xf1x2x),(ba)()(21xfxf)(xf),(ba)()(21xfxf),(ba)(xf21xx 3.奇偶性奇偶性偶函数偶函数yx)(xf )(xf

12、y ox-x)(xf)(xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数奇函数)()(xfxf)()(xfxf 如果对于函数如果对于函数 定义域内的任意点定义域内的任意点 ,恒有恒有)(xfx,则称则称 是偶函数是偶函数;如果对于函数如果对于函数)(xf定义域内的任意点定义域内的任意点 ,恒有恒有)(xfx,则称则称是奇函数是奇函数.)(xf4.函数的周期性函数的周期性 对于函数对于函数 ,如果存在正的常数如果存在正的常数T,使得使得 恒成立恒成立,则称则称 为周期函数为周期函数,满足这个等式的最小正数满足这个等式的最小正数T,称为函数的周期称为函数的周期.)()(Txfxf)(xf)(xf 例如例如 都是周期函数都是周期函数,周期为周期为 .xxxxcot,tan,cos,sin2主要内容主要内容.常量变量常量变量 函数的概念函数的概念.基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 分段函数分段函数 初等函数初等函数.函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性