基本不等式 (2).ppt

1、基本不等式基本不等式0)b0,(a2baab（3 3）移：）移：在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线距最大或最小的直线;（4 4）求：）求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解；（5 5）答：）答：作出答案。作出答案。（2 2）画：）画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；（1 1）列：）列：根据题意列出线性约束条件及目标函数；根据题意列出线性约束条件及目标函数；解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：五步法：五步法：

2、“列列.画画.移移.求求.答答”1.要了解基本不等式的变式：要了解基本不等式的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)；(2)(a，bR)；(3)(ab0)；(4)(a，bR).以上各式当且仅当以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式时取等号，并注意各式中字母的取值要求中字母的取值要求.22abab 2baab22222abab复习复习:2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.2222abab2ababab3.已知两个正数已知两个正数x，y，求，求x+y与积与积xy的最值的最值.2p214s(1)xy为定值为定

3、值p，那么当，那么当xy时，时，x+y有最小值有最小值 ；(2)x+y为定值为定值s，那么当，那么当xy时，时，积积xy有最大值有最大值 .积定和小积定和小和定积大和定积大想一想想一想:错在哪里？错在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值xxxf1)(11:()22112.fxxxxxxxx 解当 且 仅 当即时 函 数取 到 最 小 值运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个这个条件条件已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf33()22223326fxxxxxxxxx解：当 且

4、仅 当即时，函 数的 最 小 值 是。23x 大 家 把代 入 看 一 看，会 有什 么 发 现？用 什 么 方 法 求 该 函 数 的最 小 值？用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这个条这个条件件的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y。函数的最小值为解：4,4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意“相等相等”的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.正：正：两项必须都是正数；两项必须都是正数；定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，

5、它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为定值。等等：等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在.注意注意:在使用在使用“和为常数，积有最大值和为常数，积有最大值”和和“积为常数，和有最小值积为常数，和有最小值”这两个结论时，应这两个结论时，应把握三点：把握三点：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等、四最值四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件.1.下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的有的有那些那些?(A)(B)(C)(D)xxxy0sin4sin-xxeey4103loglog3xxyxxxy4B下面请大家

6、来研究下列几个问题下面请大家来研究下列几个问题:(2)已知已知:x0,y0.且且2x+5y=20,求求 xy的最大值的最大值.方法方法1:基本不等式法基本不等式法2252510.1040 xyxyxy20252 2 5,10.xyx yxy方法方法2:减元构造函数减元构造函数构造法构造法(5)y=2x ,(0 x1),求求y的最大值的最大值22b21b21 x(6)已知已知a、b是正数是正数，且，且a2+=1，求求a 的最大值的最大值.(4)已知已知a、b是实数，且是实数，且a+b=4,求求2a+2b的最小值的最小值当且仅当当且仅当a=b=2时时,2a+2b取得最小值取得最小值8.222222

7、2211122213222224babababa2222212212122xxyxxx当且仅当1 1变形变形:函数函数 的最小值的最小值 是是2614(1)1xxyxx 10例例:已知，则函数已知，则函数 的最大值是的最大值是54x 14245yxx 22122xxyxx练习练习:求函数求函数 的最大值；的最大值；2abRa2b111.ab例、已 知、，且，求的 最 小 值xyRlgx lgy125.xy练习：已知、，且+，求的最小值用代换法构造基本不等式用代换法构造基本不等式3abRab+3abab.例、已知、，且，求 的最小值2,23abababab.解不等式可得。231330,0.1.1

8、3151411ababb aaababaaa aaaabaa 方法方法1方法方法29ab4y2x 15 2x.例、求函数=-+-的最大值15()22x221 2(21)(52)524221 52yxxxxxx 解题心得解题心得:根式的问题可以平方转化根式的问题可以平方转化.注意一题多解注意一题多解.方法方法1:利用基本不等式利用基本不等式22(21)(52)3428,222xxyxy当且仅当时，的最大值为2。根式根式:利用平方转化利用平方转化方法方法2:求二次函数定区间上的最值求二次函数定区间上的最值22225ab0+ab111ab211252ab.ab2例、已知、（，），且，求证：（）；（）

9、（+）（）应用均值不等式时要注意应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”综合法综合法分析法分析法问题：是否积或和为定值时，就一定可以求最值？222222222,0,0,22244282xyxyzxyxyzxyxyxyxyzxyxy若求的 最 小 值.解:的 最 小 值 为 8.下面运算是否正确下面运算是否正确?正：正：两项必须都是正数；两项必须都是正数；定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为定值。等等：等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在.小结小结:在使用在使用“和为常数，积有最大值和为常数，积有最大值”和和“积为常数，和有最小值积为常数，和有最小值”这两个结论时，应这两个结论时，应把握三点：把握三点：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等、四最值四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件.