6线性方程组迭代法2.ppt
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- 关 键 词:
- 线性方程组 迭代法
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1、2 线性方程组的误差分析线性方程组的误差分析 /*Error Analysis for Linear system of Equations*/求解求解 时,时,A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响?有何影响?bxA bx 设设 A 精确,精确,有误差有误差 ,得到的解为,得到的解为 ,即,即bb xx bbxxA )(bAx 1|1bAx 绝对误差放大因子绝对误差放大因子|xAxAb 又又|1bAx|1bbAAxx 相对误差放大因子相对误差放大因子2 Error Analysis for .bxA 设设 精确,精确,A有误差有误差 ,得到的解为,得到的解为 ,即,即bA xx bxxAA
2、 )(bxxAxxA )()()(1xxAAx|11AAAAAAxxx bxAAxAA )()(xAxAA )(xAxAAIA )(1xAAAAIx 111)(Wait a minute Who said that(I+A 1 A)is invertible?(只要只要 A充分小,使得充分小,使得)1|11 AAAA|1|1|1111AAAAAAAAAAAAxx 是关键是关键的误差放大因子,称为的误差放大因子,称为A的的条件数条件数,记为,记为cond(A),越越 则则 A 越病态,越病态,难得准确解。难得准确解。|1 AA大大2 Error Analysis for .bxA 注注:cond
3、(A)的具体大小与的具体大小与|的取法有关,但相的取法有关,但相对大小一致。对大小一致。cond(A)取决于取决于A,与解题方法无关。,与解题方法无关。|)(1)(|bbAAAAAcondAcondxx 常用条件数有:常用条件数有:cond(A)1cond(A)cond(A)2)(/)(minmaxAAAATT 特别地,若特别地,若 A 对称,则对称,则|min|max)(2 Acond条件数的性质:条件数的性质:A可逆,则可逆,则 cond(A)p 1;A可逆,可逆,R 则则 cond(A)=cond(A);A正交,则正交,则 cond(A)2=1;A可逆,可逆,R正交,则正交,则 cond
4、(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2。2 Error Analysis for .bxA 精确解精确解为为.11 x例:例:97.199.1,98.099.099.01bA计算计算cond(A)2。10000990099009800A 1=解:解:考察考察 A 的特征根的特征根 0)det(AI 000050504.0980050504.121 212)(Acond 39206 1 测试病态程度:测试病态程度:给一个扰动给一个扰动b 3410106.01097.0b,其相对误差为,其相对误差为%01.010513.0|422 bb 此时此时精确解精确解为为 0203.13*x 02
5、03.22*xxx 22|xx 2.0102 200%2 Error Analysis for .bxA 例:例:Hilbert 阵阵 12111131211211nnnnnHcond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9 106cond(Hn)as n 注:注:一般判断矩阵是否病态,并不计算一般判断矩阵是否病态,并不计算A 1,而由经验,而由经验得出。得出。行列式很大或很小(如某些行、列近似相关);行列式很大或很小(如某些行、列近似相关);元素间相差大数量级,且无规则;元素间相差大数量级,且无规则;主元消去过程中出现小主元;主元消去过程中出现小主元;特征值相差大数量级。
6、特征值相差大数量级。2 Error Analysis for .bxA 近似解的误差估计及改善:近似解的误差估计及改善:设设 的近似解为的近似解为,则一般有,则一般有bxA*x0*xAbrbrxxx|*|cond(A)误差上限误差上限 改善方法:改善方法:Step 1:近似解近似解 bxA;1xStep 2:;11xAbr Step 3:;111drdA Step 4:;112dxx 若若 可被精确解出,则有可被精确解出,则有 就是精确解了。就是精确解了。1dbAxAbAxx11112)(2x经验表明经验表明:若:若 A 不是非常病态(例如:不是非常病态(例如:),),则如此迭代可达到机器精度
7、;但若则如此迭代可达到机器精度;但若 A 病态,则此算法也病态,则此算法也不能改进。不能改进。1)(Acond HW:p.66#2,#4,#53 Jacobi 法和法和 Gauss-Seidel 法法 /*Jacobi&Gauss-Seidel Iterative Methods*/Jacobi Iterative Method nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111 nnnnnnnnnnnnbxaxaaxbxaxaaxbxaxaax11112212122211212111.1.1.10 iia写成写成矩阵形式矩阵形式:A=LU
8、DbxULxDbxULDbxA )()(bDxULDx11)(BfJacobi 迭代阵迭代阵bDxULDxkk1)(1)1()(3 Jacobi&Gauss-Seidel Iterative Methods Algorithm:Jacobi Iterative Method Solve given an initial approximation .Input:the number of equations and unknowns n;the matrix entries a ;the entries b;the initial approximation X0;tolerance TOL;
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