高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件.pptx

1、第九章专题A、充分但不必要条件 B、充分必要条件C、必要但不充分条件 D、既非充分也非必要条件1.函数 在点 沿任意方向导数存在，是函数),(yxfz 在点),(yx 可微的：),(yxfz ),(yx选择题选择题2.函数 在点 的偏导数),(yxfx连续，是函数),(yxfz 在点),(yxA、充分条件B、充要条件C、必要条件D、既非充分也非必要条件),(yxfz),(yx可微的：),(yxfy3.函数 在点 可微，则函数),(yxfz 在点),(00yxA、连续 B、偏导数存在C、偏导数连续 D、有定义),(yxf处结论不一定成立的是：),(00yx004.(,)(,)(,)()()()(

2、)()f x yxyf x yABCD函函数数在在点点处处连连续续是是在在该该点点两两个个偏偏导导数数都都存存在在的的充充分分条条件件必必要要条条件件充充要要条条件件无无关关条条件件A、无定义 B、无极限 C、有极限但不连续 D、连续处处在在点点函函数数)0,0(0 ,20 ,)(2sin),(.622222222 yxyxyxyxyxf5.230(1,1,0)2220 240 2240 240zexyAxyzBxyzCxyzDxyz 曲曲面面在在点点处处的的切切平平面面方方程程为为、)0,0()00(42),(8 fxyxyyxf连续，应定义连续，应定义，在点在点、要使、要使21.21.41

3、.41.DCBA 067)1,2,1(333 xzxyzzyx，则则、设设函函数数5.51.5.51.DCBA )1,1(22),1ln(21.9dzyxz则则设设)(21)()(3)()()(31)(dydxDdydxCdydxBdydxA 0010.(,)(,)()()()()()zf x yxyABCD 函函数数在在点点连连续续是是函函数数在在该该点点处处可可微微的的充充分分不不必必要要条条件件必必要要不不充充分分条条件件充充要要条条件件 即即不不充充分分也也不不必必要要条条件件1.曲线 在点（2，4，5）处的切线与x 轴所夹锐角=4422yyxz4 填空题填空题_)0,0()0,0(9

4、3),(.2 fxyxyyxf连连续续，则则应应定定义义在在点点要要使使3._yxzedz函数的全微分1/6dyexdxexydzxyxy12 4._.xyzdzxy函数的全微分5.ln()_.zxydz 函函数数的的全全微微分分2(1,2)6.,_xyzzyxey二元函数则2)(22yxxdyydx 1()2ln()xdyydxxyxy 21e 227.()(,)22 (1,1)_f x yxaxxyya管理做 若函数在点处取得极值，则常数58.设u=x+xy+xyz在点(1,2,0)的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向 .9.曲面xy+yz+xz=1在点(3,-1,2)处的法线方程为

5、.(3,1,2)225113 zyx2210.3(1,1,1)_.zxyM在点处的切平面方程为0522 zyx。，求求具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，其中其中、设、设222),(),(1yzyzxzvufyyxfz ，1fxz 解解:，212 f yfyz 2222121211224222fyf yff yfyz .24422221211ffyf yf .,),(.22yxuyuxufxyyxfu 求求具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，设设,21f yfxu ,21fxfyu .)(2212112fxyfyxff ).(2221212112fxfyffxfyxu 解:.,),()

6、,32(.32yxzyzxzvufyxyxfz 求求具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，设设，212ffxz 解解:，213ffyz .3232222112112ffffyxz .56221211fff 224.(,)().zz x yxzyf xzzzzyxy 函函数数由由方方程程确确定定，且且偏偏导导数数存存在在，求求),22)(122xzzxzxf yxz ,)(211)(22222zxfyzzxfxyxz ),2)()(2222yzzzxf yzxfyz ,)(21)(2222zxfyzzxfyz yzyxzz x.练习练习.已知已知f(s,t)具有连续的偏导数，且具有连续的偏导数

7、，且 ,方程方程 确定确定z是是x,y的函数，试求的函数，试求 。0),(2 tsf0),(xzxyfyzyxzx z.(,)0,.zzF xaz ybzabxyF 练练习习设设计计算算其其中中 是是它它的的变变元元的的任任意意可可微微函函数数1答答案案：；公公式式法法或或两两边边求求051xyzdy dzxyzdx dx 、设设方方程程组组，求求，。.)()(zyxxzydxdy .)()(zyxyxzdydz 解解:方程组两边对方程组两边对x求导求导,得得 ，)2(0)1(01dxdzxydxdyxzyzdxdzdxdy(2)式式xy(1)式式,得得,0)(dxdyxyxzxyyz即即(2

8、)式式xz(1)式式,得得,0)(dxdzxzxyxzyz即即22222.(),6 (),.zxyyy xxyzdydzzz xdx dx 练练习习 设设方方程程组组确确定定的的隐隐函函数数存存在在且且可可导导，求求3226.21(1,2)(4,6).zxx yxyMN 求求函函数数在在点点沿沿着着从从该该点点到到点点的的方方向向导导数数.0,dxdzyxdxdy1 答答案案：7.(,)ln(),(1)(,)(0,0)(2)(,)(1,1)(3,4)xyf x yeef x yf x y 设设求求在在点点处处的的梯梯度度，求求在在点点处处沿沿方方向向的的方方向向导导数数。107)21,21()

9、0,0()1,1(lfgradf22.ln()(1,1).zxy 练练习习求求函函数数在在点点处处，沿沿函函数数在在该该点点梯梯度度方方向向上上的的方方向向导导数数 2答答案案：32.(,),(,)(1,1,0)(,)f x y zxxyzf x y zPf x y zP练练习习设设求求在在点点处处的的梯梯度度，并并求求在在 点点处处沿沿梯梯度度方方向向的的方方向向导导数数。3)1,2,2()0,1,1()1,2,2(nfgradf(,),0,0,-10.xOyM x yxyxy 7 7、在在平平面面上上求求点点使使得得它它到到三三条条直直线线的的距距离离的的平平方方和和最最小小1 1(,)4

10、 4M 225859(0,0).xxyyO 8 8、求求椭椭圆圆到到坐坐标标原原点点的的最最远远距距离离和和最最近近距距离离31最最远远距距离离为为，最最近近距距离离为为9.写出椭球面写出椭球面 在在椭球面上的点椭球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。处的切平面方程。1222222 czbyax10.写出球面写出球面 在球面上的点在球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。处的切平面方程。2222Rzyx 1202020 czzbyyaxx2000Rzzyyxx 222000000.(,)axbyczkM xyzax xby ycz zk1111证证明明二二次次曲曲面面在在点点处处

11、的的切切平平面面方方程程为为：.(,)123,F nxlz nymzxyzFlmn 1 12 2 证证明明：曲曲面面在在任任意意一一点点处处的的切切平平面面都都平平行行于于直直线线其其中中具具有有连连续续的的偏偏导导数数第十章专题 exeyeeeedxx,yfdyDdxx,yfdyCdxx,yfdyBdxx,yfdyAyy1ln01ln01010)()()()(、交交换换次次序序后后得得是是连连续续函函数数，则则设设 ),(),(.21ln0 exdyyxfdxyxf I),(.1010则则的的积积分分次次序序，交交换换二二重重积积分分ydxyxfdyI xyxydyyxfdxDdyyxfdx

12、CdyyxfdxBdyyxfdxA001010101100),()(;),()(),()(;),()(xxdyyxfdx121),(.3 212122121121121121),(),(),(),(),(yyyyyxxdxyxfdyDdxyxfdydxyxfdyCdxyxfdyBdxyxfdyA、_101arcsin .1 ydxxxdyI交换二次积分的次序交换二次积分的次序3.交换积分次序，yydxyxfdy2202),(100arcsinxdydxxx xxdyyxfdx240),(_),(.2100 IdxyxfdyIy的积分次序，则的积分次序，则交换二重积分交换二重积分 110),(x

13、dyyxfdxI dyxRRyxyxDD222222,|),(.5设设 adxdyyxayxyxD则则又又设设区区域域,8)(,|),(.6D22222 2224.(,),14,_DIf x y dDxyI 设设其其中中 是是圆圆环环区区域域将将 化化为为极极坐坐标标下下的的二二次次积积分分是是 2120)sin,cos(rdrrrfdI 2222222227.()(,)|1,ln(1)(3)_1x y zxyzzxyzdxdydzxyz 理理工工做做 设设积积分分区区域域则则4323R 2312128.(),(),1,11,_.DDIxydIxydDxyxyII 设设其其中中区区域域 由由与

14、与直直线线围围成成，则则的的大大小小关关系系是是21II .dsind.1101 yxxxy计计算算二二重重积积分分1cos1 I换换序序答答案案：4221ln2.dd.1yxyxx 计计算算 2ln21I 答答案案：换换序序.2,2 )(.322围围成成的的闭闭区区域域为为由由，其其中中计计算算xyxyyDdxyxD 解解:区域区域D可表示为可表示为:y/2 x y,0 y 2.则则 Ddxyx)(22 yydxxyxdy2/2220)(2022333)4(212)8(31dyyyyyy 2023)832419(dyyy38834162419 .613 224.2,1.DxIdxdyDxyx

15、 xyy 计计算算，其其中中 由由所所围围成成解解:积分区域积分区域D(见图见图):1 x 2,1xyx 所以所以,xxDdyyxdxdxdyyx1222122dxyxxx1212)1(dxxxx 212)1(dxxx 213)(2124)24(xx .49 22 5.()0,0,1 06 .xyxyzxyz 管管理理做做 求求由由平平面面所所围围成成的的柱柱体体被被平平面面及及抛抛物物面面截截得得的的立立体体的的体体积积.617 解解:所求立体的体积所求立体的体积V为为:,)6(22 DdyxV 其中其中D为由直线为由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的平面区域所围成的平面区域.xdyyx

16、dxV102210)6(1032)1(31)1()1(6(dxxxxx22222246.sin.xyxy dxdy 计计算算二二重重积积分分.62 202422sinsin2222rdrrddxdyyxyx 2cos2rrdcos|cos222 rdrrr cos2cos22 sin2sin 22222D7,(0)xyedxdyDxyaa、计计算算其其中中 为为。).1(2ae 2222248.ln(),DxydxdyDexye 计计算算其其中中 是是由由所所围围成成的的闭闭区区域域。)3(24ee 22cos22229.()()lim()/.xyDtF tedxdyDxytF tt 管管理理

17、做做 设设，其其中中为为，求求 DyxdxdyetF22cos)(解解:由极坐标得由极坐标得,trrdred0cos20 trrdre0cos2 则则 F(t)=2 ecost t 所以所以,.22lim)(limcos22 tttettF10.计算dyyxxdxdyyxxdxxx 22022210221022222211.,2 Dxy dxdyDxyy 计计算算积积分分其其中中 是是由由围围成成的的区区域域。0sin202932 drrdI极坐标极坐标22222212.(),0,0.DRxy dxdyD xyRyx x 管管理理做做 计计算算积积分分其其中中:312R 213.,1,Dydx

18、dyDyxyx yx 计计算算二二重重积积分分其其中中 由由围围成成。322222214(),1xydvzxyz、其其中中 为为由由及及所所围围成成的的闭闭区区域域。.10 解解:用柱坐标用柱坐标,则则 为为:0 2,0 r 1,r z 1.所以所以 12102022)(rrdzrdrddvyx 103)1(2drrr 2012 222cos,2z dxdydzzxyz 练练习习：计计算算三三重重积积分分其其中中为为由由曲曲面面及及平平面面所所围围成成的的区区域域sin42先二后一，222215.8.zxyzxyIzdv 设设空空间间区区域域是是由由曲曲面面和和所所围围成成，用用柱柱面面坐坐标

19、标计计算算三三重重积积分分.8 解解:两曲面的交线为两曲面的交线为x2+y2=4,故故空间区域空间区域 在柱面在柱面坐标系中表示为坐标系中表示为:02,0 r 2,r z 208202rrzdzrdrdzdvI 202)4(2rdrr 42 222216.()(),1.xydvzxyz 理理工工做做 计计算算三三重重积积分分其其中中为为由由曲曲面面及及平平面面所所围围成成的的立立体体32222222217.()sin()2,0,0 .VxyzdVVxyzxyxy 理理工工做做 计计算算，其其中中为为所所确确定定的的闭闭区区域域).22cos1)(211(6 解解:用球坐标计算用球坐标计算.积分

20、区域积分区域V:,20,40,20 r 所以所以,)(sin3222 VdVzyx 20234020sinsindrrrdd 203340sinsin6drrd 20340coscos6r 22222222222cos18.()16.xyzIdvxyzxyz 理理工工做做 计计算算，其其中中为为由由所所确确定定解解:用球坐标用球坐标.:0 2 ,0 ,r 4 .42020222222sincoscosdrrrrdddvzyxzyx 40cossin2rdrrd)sin|sin(2244 rdrrr 4|cos4r=4 2=8 .22222219.(),.Vxyz dvVxyzz 理理工工做做

21、计计算算其其中中为为球球体体10 第十一章专题 ln,41L222 dsyxxyL则则曲曲线线积积分分为为下下半半圆圆周周、设设平平面面曲曲线线2ln4.2ln3.2ln2.2ln.DCBA LLLLydxDydxCxdyBydxxdyADLD )(.2、面面积积的的积积分分是是积积分分等等于于所所围围，下下列列正正向向是是由由简简单单闭闭曲曲线线闭闭区区域域 dyyxfdxyxfyyxLyxyxfyLx),(),(3194194),(.32222的的正正向向，则则是是，具具有有二二阶阶连连续续的的偏偏导导数数在在设设 81 63 36 81 、DCBA LdsyxxyL)(1 .4222曲曲

22、线线积积分分，则则为为下下半半圆圆周周设设平平面面曲曲线线 4 3 2 、DCBA Ldsyx_5221.设设L为圆周为圆周x2+y2=4,则对弧长的曲线积分则对弧长的曲线积分 122.(,)_LLxOyxaP x y dx 设设 为为平平面面内内直直线线上上一一段段，则则03.(,)_LLxQ x y dy 若若 为为平平行行于于 轴轴的的一一段段有有向向直直线线段段，则则曲曲线线积积分分04.(,),(,)_LP x yQ x yDPdxQdy 设设函函数数在在单单连连通通区区域域内内具具有有一一阶阶连连续续的的偏偏导导数数，则则曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关的的充充分分必必要要条条

23、件件为为_)4()(.5222 adyyxydxayxxoyL与与路路径径无无关关，则则平平面面内内，若若积积分分在在yPxQ 2 a2226.0,01,1_LLxyy dxx dy 设设 是是抛抛物物线线上上从从（）到到（）的的一一段段弧弧，则则曲曲线线积积分分103222229 .xyzaz dS 、是是球球面面，则则曲曲面面积积分分8.(),()()_Vzy dxdyyx dxdz 理理工工做做 设设是是由由光光滑滑曲曲面面 所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域且且体体积积为为则则 外外侧侧的的积积分分2V434a 7.设设L为正向圆周为正向圆周x2+y2=2在第一象限中部分，曲线在第一

24、象限中部分，曲线积分积分 Lydxxdy_223).0()0,0()0,()cos()sin(.122 aaxyxOaALdymyedxmyyeLxx的的上上半半圆圆周周到到是是从从点点其其中中，计计算算曲曲线线积积分分.82ma 解解:由于由于P=exsinymy,Q=excosym,则则myPxQ (常数常数).补曲线补曲线L0:y=0,从点从点O(0,0)到到A(a,0)一一段段,与曲线与曲线L一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线L+L0,所所围成区域围成区域D为半径为为半径为a/2的半圆的半圆,其其 由格林公式得由格林公式得:0)cos()sin(LLxxdymyedxmyye面积为面积为

25、 a2/8.Dmd,0)cos()sin(0 Lxxdymyedxmyye.82ma 而而 Lxxdymyedxmyye)cos()sin(所以所以 A(a,0)O2、).,()()()(1lim20222为为常常数数逆逆时时针针方方向向，证证明明是是沿沿圆圆周周nmbabmdynymxdxbyaxttyxLLt 解解:由于由于P=ax+by,Q=mx+ny在在xoy平面内的一阶平面内的一阶偏导数连续偏导数连续,且且,bmyPxQ 则由格林公式得则由格林公式得:DLdyPxQdynymxdxbyax)()()(=(mb)t2.(其中其中D为为圆周圆周 x2+y2=t2 围成的区域围成的区域)从

26、而从而,所证极限式成立所证极限式成立.的的曲曲线线段段。到到点点沿沿上上半半圆圆周周是是从从点点其其中中、计计算算曲曲线线积积分分)0,2(2)0,0(O,)53()43(32LAxxyLdyxydxyx .210 A(2,0)O-L解解:由于由于P=x3y+4,Q=3y+x5,则则yPxQ =1(3)=4(常数常数).补曲线补曲线L0:y=0,从点从点O(0,0)到到A(2,0)一段一段,与曲线与曲线L一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线L+L0,所围成区域所围成区域D为半径为为半径为1的半圆的半圆,其面积其面积 由格林公式得由格林公式得:为为/2.Dd 4.2 而而所以所以 0)53()43(

27、LLdyxydxyx.10)4()53()43(200 dxxdyxydxyxL Ldyxydxyx)53()43(。所所围围面面积积为为轴轴，则则且且不不通通过过为为逆逆时时针针方方向向，线线、试试证证明明：若若简简单单闭闭曲曲 LxydxLxyL221)0(4证明证明:由于由于简单闭曲线简单闭曲线L不通过不通过y轴轴,则则 LLxydxxdyxxydx22221)(21 Lydxxdy21 此式就是由此式就是由逆时针方向的简单闭曲线逆时针方向的简单闭曲线L围成的区围成的区域的面积域的面积.因此结论得证因此结论得证.)0,2()0,2(4,)2()(Green).(42222有有向向弧弧的的

28、一一段段到到点点上上从从点点是是抛抛物物线线其其中中公公式式计计算算用用管管理理做做 BAxyLdyexydxyyxLy2222kaa .)0(.52222 LaaxyxLdsyx为曲线为曲线，其中，其中计算计算22226.,(0)Lxy dsLxyay a 计计算算其其中中 为为曲曲线线解解:曲线曲线L的参数方程为的参数方程为:.,sin2,cos22 ayaax,cos2,sin2 ayax ,222ayx ,2cos2cos122 aayx daadsyxL22cos22所以所以 2sin2a.22a 22a).20()cos(sin),sin(cos )(.722 ttttayttta

29、xLdsyxL为曲线为曲线，其中，其中计算计算).21(2232 a解解:x =a(sint+sint+t cost)=at cost,y =a(cost cost+t sint)=at sint,22atyx x2+y2=a2(1+t2).所以所以,202222)1()(atdttadsyxL 2033)(dttta228.(),cos,sin,02xydsxat yat zktt 计计算算曲曲线线积积分分其其中中 为为螺螺旋旋线线上上对对应应 从从 到到的的一一段段弧弧22229.,1,.Lxy dsLxyyxx 计计算算其其中中 为为圆圆直直线线及及 轴轴围围成成的的第第一一象象限限内内

30、扇扇形形的的整整个个边边界界14 .0)()(.1022 LydyxdxyxfLuf的的闭闭曲曲线线，则则曲曲线线积积分分为为分分段段光光滑滑一一阶阶连连续续可可导导，且且试试证证：若若 证明证明:由条件知由条件知P=xf(x2+y2),Q=yf(x2+y2)的一阶偏导的一阶偏导连续连续,且且yPxQ =yf(x2+y2)2x xf(x2+y2)2y=0.此曲线积分与路径无关此曲线积分与路径无关,.0)(22 Lydyxdxyxf因此因此11、.)()(sin)(1)(与与路路径径无无关关，使使曲曲线线积积分分，试试确确定定已已知知 LdyxdxxyxxIx 解解:设设),(,)(sinxQx

31、yxxP 由于曲线积分与路径无关由于曲线积分与路径无关,则则 ),(1)(sinxxQyPxxx 因此因此(x)满足一阶线性微分方程满足一阶线性微分方程,)1(sinxxxyy =).cos1(1)(xxx 12、设f(1)=0,确定f(x),使为某二元函数u(x,y)的全微分。dyxfdxxyxfx)()(sin )cos1(cos1)(xxxf 13、).(2)()(1,1)0()(22xfdyxxfdxxfxxyIfxfL试试求求与与路路径径无无关关，曲曲线线积积分分可可微微，设设 解解:设设,2)(),(122xxfQxfxxyP 由于曲线积分与路径无关由于曲线积分与路径无关,则则 ,

32、)()(12xxfxQyPxfxx 因此因此f(x)满足一阶线性微分方程满足一阶线性微分方程,)1(12xyxxy =.1)(2xxf 15.(3,2,1)(0,0,0)xydxyzdyzxdzAO 计计算算曲曲线线积积分分，其其中中 为为从从点点到到的的直直线线段段。325-.sincos(,0)(0,1)2 LydxxdyLyxAB 1414计计算算，其其中中 为为余余弦弦曲曲线线从从点点到到的的一一段段有有向向弧弧14 223216(38)(812)(,)(,).yx yxydxxx yedyu x yu x y、验验证证是是某某一一函函数数的的全全微微分分，并并求求出出一一个个这这样样

33、的的的的ceyxyxyxuy 124),(223：用用曲曲线线积积分分或或凑凑微微分分法法17、.,max),(),(122MQdyPdxQPMLyxQQyxPPLL 证证明明上上的的连连续续函函数数，其其中中是是定定义义在在，的的弧弧长长为为设设平平面面上上光光滑滑曲曲线线 证明证明:由两类曲线积分的联系及对弧长曲线积分由两类曲线积分的联系及对弧长曲线积分的性质的性质,得得|)cos,(cos),(|LLdsQPQdyPdx LdsQP|)cos,(cos),(|LdsQP|)cos,(cos|),(|而而|(P,Q)|,22MQP|(cos,cos)|=1,.|)cos,(cos|),(|

34、MdsMdsQPLL 所以所以22218.()10,0.xyzdxdyxyzxy 理理工工做做 计计算算曲曲面面积积分分，其其中中 是是球球面面外外侧侧在在的的部部分分 1022201cossin2rdrrrd .152;1:2211yxz .1:2222yxz 解解:把把 分成上半分成上半 1和下半和下半 2两部分两部分,即即 21 xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212则则 1,2在在xoy面上的投影区域面上的投影区域 Dxy:x2+y2 1,x 0,y 0.1022201cossin2rdr

35、rrd 202sin 1021)1(duuu 102321)(21duuu令令1r2=u,则则 1u=r2,du=2rdr.r=0时时,u=1,r=1时时,u=0.2222219(),Axy dxdyzRxy 、班班做做（）是是上上半半球球面面下下侧侧。32222222220.()().xdydzydzdxzdxdyxyzxyza 理理工工做做 计计算算，其其中中是是球球面面的的外外侧侧.24R 解解:曲面在曲面在xoy面上的投影区域面上的投影区域D为为:x2+y2 R2.由于由于曲面取下侧曲面取下侧,所以所以 Ddxdyyxdxdyyx)()(2222 Rrdrrd0220 424R .4

36、2222221.().zxyzRxyxdydzydzdxzdxdy 理理工工做做 设设是是由由锥锥面面与与半半球球面面围围成成的的空空间间区区域域，是是的的整整个个边边界界的的外外侧侧，求求).211(23 R 解解:设设P=x,Q=y,R=z,则由高斯公式得则由高斯公式得:zdxdyydzdxxdydz dvzRyQxP)(dv3用球坐标用球坐标.:0 2 ,0 ,0 r R.4 Rdrrdddv024020sin Rdrrd0240sin2 .3)221(23R zdxdyydzdxxdydz所以所以 22.(理工做理工做)计算计算曲面积分曲面积分 ，其中，其中 为下为下半球面半球面 的上

37、侧。的上侧。2222)1(zyxdxdyzxdydz221yxz 333222223.(),x dydzy dzdxz dxdyxyzR 理理工工做做 计计算算其其中中 为为球球面面的的外外侧侧。2 5512 RI 球面坐标系球面坐标系高斯公式高斯公式33322224.(),(0).Gaussx dydzy dzdxz dxdyzaxya 理理工工做做 用用公公式式计计算算其其中中 是是上上半半球球面面的的上上侧侧556a 第十二章专题下下列列级级数数绝绝对对收收敛敛的的是是 .1 13211112)1(1sin)1()1()1(1)1(nnnnnnnnnDnCnnBnA、=1=12=1=12

38、.()3!()()()!1()()28knnnnnnnnAkZBnnnnCDnn 下下列列级级数数中中收收敛敛的的是是下下列列级级数数发发散散的的是是 .3 112111)1()1(1 1cos )1(nnnnnnnnDnCnBnA、下下列列级级数数发发散散的的是是：.4 13211112)1(1sin)1()1(1 1)1(nnnnnnnnDnCnnBnA、5.设设a为常数，则级数为常数，则级数 1cos1)1(nnnaA、发散、发散 B、绝对收敛、绝对收敛C、条件收敛、条件收敛 D、收敛性与、收敛性与a的取值有关的取值有关6.设设幂幂级数级数 的的收敛半径收敛半径 1232)1(nnnnn

39、xx（A）2 （B）1/3 （C）1/2 （D）1 )(3)(31)(1)()(33.71DCBAxnnnn的收敛半径是的收敛半径是幂级数幂级数.4)1(1121 Rxnnnnn的的收收敛敛半半径径、幂幂级级数数_)5()(x0 10 0)(2)()(.2 sxsxxfxf，则则和和函函数数为为，它它的的傅傅里里叶叶级级数数的的的的周周期期函函数数，且且是是周周期期为为设设理理工工做做_,2lim .31121 nnnnnnRxaaa的的收收敛敛半半径径则则级级数数设设4.设幂级数 的和函数为 。02!2)1(nnnnxn21/22122xe，xxxxf0 ,0 ,0)(5.设周期函数在一个周

40、期内的表达式为则它的傅立叶级数在x=处收敛于 .2323222227.,25101 _nnxxxxnR 设设幂幂级级数数其其收收敛敛半半径径_ .611应满足的范围是应满足的范围是收敛，则收敛，则若级数若级数pnnnp 1/225 p2 11._)1(.8nnnnx的收敛域是的收敛域是幂级数幂级数19.()_.2!nnnxs xn 幂幂级级数数的的和和函函数数10.2()f x 周周期期为为的的函函数数的的傅傅里里叶叶系系数数中中，111._nnxn 幂幂级级数数的的收收敛敛域域是是1,1(2xe nxdxxfbnsin)(1)1,1 1、.211和函数和函数的收敛半径、收敛域及的收敛半径、收

41、敛域及求幂级数求幂级数 nnnxn解解:由由,21212)1(1lim1 nnnnn则该幂级数的收敛半径为则该幂级数的收敛半径为2.当当x=2时时,12111 nnnnnxn发散发散;当当x=2时时,)1(2111 nnnnnnxn收敛收敛.则该幂级数的收敛则该幂级数的收敛域域为为2,2).,21)(1 nnnxnxs设设 1121)(nnnxxs 11)2(21nnx21121x .21x 注意到注意到s(0)=0,所以所以 xxdxxdxxsxs0021)()(xx0)2ln(,22lnx x 2,2).2、.31的的收收敛敛域域及及其其和和函函数数求求幂幂级级数数 nnnx,313xx

42、解解:11)3(3nnnnnxx).31,31(,313)(xxxxs|3x|1.故该幂级数收敛域为故该幂级数收敛域为:),31,31(其和函数为其和函数为:3、.311和和函函数数的的收收敛敛半半径径、收收敛敛域域及及求求幂幂级级数数 nnnxn4、.3)3(1的的收收敛敛域域及及和和函函数数求求幂幂级级数数 nnnnx5.设设幂幂级数级数 的的收敛半径、收敛域及和函数收敛半径、收敛域及和函数 1nnnx)6,0),32ln()(:);6,0:xxxs和和函函数数收收敛敛域域答答案案2)1()(:(-1,1):1xxxs ，和和函函数数，收收敛敛域域收收敛敛半半径径：1(1).nnnxn 6

43、 6、求求幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径、收收敛敛域域，并并求求其其和和函函数数0(1)(1).nnnnx 7 7、求求幂幂级级数数的的收收敛敛区区域域、和和函函数数)1ln()(1,1(1 xxs和和函函数数为为，收收敛敛域域为为收收敛敛半半径径为为21(1,1),(),(1,1)(1)s xxx 收收敛敛域域为为和和函函数数为为8、时，收敛时，收敛时，发散时，发散时，发散时，发散1110 aaa1101,111nnaaaa 求求幂幂级级数数在在和和三三种种条条件件下下的的敛敛散散性性。第七章专题1.微分方程的的通通解解为为：ydxdy2 CeyDCeyCCeyBCeyAxxxx 22 2

44、2、2.微分方程的的通通解解为为：yxdxdy23 CeyDCeyCCeyBCeyAxxxx 3232 33、的的方方程程是是为为下下列列微微分分方方程程中中，通通解解)sincos(.3212xCxCeyx xeyyyDyyyCyyyByyyA254)(052)(054)(054)(的的特特解解是是满满足足微微分分方方程程40.43 xyxdyydx;7)(;)(;43)(;25)(222222 xyDCyxCCyxByxA221212121)()()()()(.5CxCyDCxCyCCeCyBCeCyAxyyxx 的通解是的通解是微分方程微分方程*26.2()()()()()()()()x

45、xxxxyyyxeyAyAxeByAxB eCyx AxB eDyxAxB e 对对于于微微分分方方程程-，利利用用待待定定系系数数法法求求其其特特解解 时时，下下列列特特解解设设法法正正确确的的是是_ )(),(,0)()()()(3,3,3 .123221则方程的通解是则方程的通解是的三个特解，的三个特解，是连续函数是连续函数其中其中是微分方程是微分方程函数函数xqxpxfxfyxqyxpyexyxyyx .)(),(),(,0)()()()(,122321通通解解是是的的三三个个特特解解，则则方方程程的的为为连连续续函函数数其其中中是是微微分分方方程程、函函数数xfxQxPxfxfyxQ

46、yxPyxyxyy _ cos,sin,)(3.321该该方方程程的的通通解解为为，则则特特解解为为方方程程的的三三个个设设二二阶阶线线性性非非齐齐次次微微分分管管理理做做xxyxxyxy y=c1x2+c2ex+3 212(1)(1)1c xcx12sincoscxcx_065 .4的的通通解解为为方方程程 yyy_02 .5的通解是的通解是方程方程 yyy6.已知已知y=C1e2x+C2e-x 是某个微分方程的通解，则是某个微分方程的通解，则该微分方程为该微分方程为 。y=c1e2x+c2e3x02 yyy2127.(cos3sin3)_.xyeCxCx 已已知知是是某某个个微微分分方方程

47、程的的通通解解，则则该该微微分分方方程程为为0134 yyyy=C1e2x+C2e-x 128.0,_ypyqyriri当当微微分分方方程程的的特特征征方方程程有有一一对对复复数数根根时时，其其通通解解为为9.(1,1),(,)1_yx yx 过过点点且且在在点点的的切切线线斜斜率率为为的的曲曲线线方方程程为为)sincos(21xCxCeyx xy 12的的通通解解求求微微分分方方程程xeyyx2sin4.12 xexeeCeCyxxxx2sin2012cos101222221 微微分分方方程程，第第二二类类二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性2 2、求微分方程求微分方程 y+4y=co

48、s2x的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为:r2+4=0,特征根为特征根为 r1,2=2i,所以所以,对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为:Y=c1cos 2x+c2sin 2x,由由 f(x)=cos2x,得得=0,=2,即即+i =2i 是单特征根是单特征根,Pl(x)=1,Pn(x)=0,所以原方程有特解所以原方程有特解:y*=xAcos 2x+Bsin 2x而而 y*=Acos 2x+Bsin 2x+x2Asin 2x+2Bcos 2x,y*=4Asin 2x+Bcos 2x+4xAcos 2x Bsin 2x代入原方程得代入原方程得:所以所以,比较得比较得 4A=0,4B=1

49、,从而从而,原方程的特解为原方程的特解为:y*=xsin2x,原非齐次方程通解为原非齐次方程通解为:y=c1cos 2x+c2sin 2x+xsin2x.41413、.3sin303cos189的的通通解解求求微微分分方方程程xxyy 解解:特征方程为特征方程为:r2+9=0,特征根为特征根为 r1,2=3i,所以所以,对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为:Y=c1cos 3x+c2sin 3x,由由 f(x)=18cos3x30sin3x,得得=0,=3,即即+i =3i 是单特征根是单特征根,Pl(x)=18,Pn(x)=30,所以原方程有特解所以原方程有特解:y*=xAcos 3x+

50、Bsin 3x而而 y*=Acos 3x+Bsin 3x+x3Asin 3x+3Bcos 3x,y*=6Asin 3x+Bcos 3x+9xAcos 3x Bsin 3x代入原方程代入原方程得得比较比较得得 A=5,B=3,从而从而,原方程的特解为原方程的特解为:y*=5xcos3x+3xsin3x,原非齐次方程通解为原非齐次方程通解为:y=c1cos 3x+c2sin 3x+5xcos3x+3xsin3x.的的一一个个特特解解。）求求方方程程（的的一一个个特特解解。是是之之和和的的一一个个特特解解与与特特解解的的一一个个）证证明明：微微分分方方程程（xeyyyxfxfbyyayyyyxfby